Номер 653, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 653, страница 153.

653. В прошлом году в фермерском хозяйстве собрали 192 ц пшеницы. В этом году благодаря использованию новых технологий удалось повысить урожайность пшеницы на 2 ц с гектара. В результате такой же урожай собрали с площади, на 0,4 га меньшей. Какова была урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году?

Пусть x ц/га - урожайность в прошлом году, тогда (x+2)ц/га - урожайность пшеницы в этом году. Зная, что собранный урожай пшеницы составляй 192ц, найдём площадь, с которой собирали пшеницу в прошлом и в этом году:

${\displaystyle \frac{192}{x}}\backslash frac\{192\}\{x\}$ (га) - площадь пшеницы в прошлом году,

${\displaystyle \frac{192}{x+2}}\backslash frac\{192\}\{x+2\}$ (га) - площадь пшеницы в этом году.

Известно, что в этом году площадь была на 0,4га меньшей, чем в прошлом году.

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{192}{x}=\frac{192}{x+2}+0,4\mathrm{/}·x\left(x+2\right) \\ 192\left(x+2\right)=192x+0,4x\left(x+2\right) \\ 192x+384=192x+0,4x^2+0,8x \\ 0,4x^2+0,8x-384=0 \\ D=0,64-4·0,4·\left(-384\right)=0,64+614,4=615,04 \\ x=\frac{-0,8\pm \sqrt{615,04}}{0,8};x=\frac{-0,8\pm 24,8}{0,8} \end{gathered}$$

$x_1=30; x_2=-32$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 30 ц/га

Для решения задачи введем неизвестную переменную. Пусть $x$ — это урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году, измеряемая в центнерах с гектара (ц/га).

В прошлом году было собрано 192 ц пшеницы. Площадь, с которой был собран этот урожай, можно выразить как отношение общего сбора к урожайности:

Площадь в прошлом году: $S_1 = \frac{192}{x}$ га.

В этом году, благодаря новым технологиям, урожайность повысилась на 2 ц/га. Таким образом, новая урожайность составляет $(x+2)$ ц/га. Общий сбор урожая остался прежним — 192 ц. Площадь, с которой собрали урожай в этом году, равна:

Площадь в этом году: $S_2 = \frac{192}{x+2}$ га.

По условию задачи, площадь в этом году оказалась на 0,4 га меньше, чем в прошлом. На основе этого мы можем составить уравнение:

$S_1 - S_2 = 0,4$

Подставим в это уравнение выражения для $S_1$ и $S_2$:

$\frac{192}{x} - \frac{192}{x+2} = 0,4$

Теперь решим полученное уравнение. Для начала приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{192(x+2) - 192x}{x(x+2)} = 0,4$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{192x + 384 - 192x}{x^2 + 2x} = 0,4$

Упростим числитель:

$\frac{384}{x^2 + 2x} = 0,4$

Выразим $x^2 + 2x$:

$x^2 + 2x = \frac{384}{0,4}$

$x^2 + 2x = 960$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 960 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-960) = 4 + 3840 = 3844$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{3844}}{2} = \frac{-2 + 62}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{3844}}{2} = \frac{-2 - 62}{2} = \frac{-64}{2} = -32$

Так как урожайность ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -32$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи. Таким образом, единственное подходящее решение — это $x=30$.

Ответ: урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году была 30 ц/га.