Номер 652, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 652, страница 153.

652. Чтобы ликвидировать опоздание на 1 ч, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой шёл по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?

Пусть x км/ч - скорость поезда по расписанию, тогда (x+10)км/ч - увеличенная скорость поезда. Зная, что расстояние, которое нужно преодолеть поезду, равно 720 км, найдём время поезда, потраченное на это расстояние:

$t_1={\displaystyle \frac{720}{x}}t\_1\; =\; \backslash frac\{720\}\{x\}$ ч - время, которое потратил поезд, следуя по расписанию,

$t_2={\displaystyle \frac{720}{x+10}}t\_2\; =\; \backslash frac\{720\}\{x+10\}$ ч - время, которое потратил поезд, следуя с увеличенной скоростью.

Известно, что при увеличенной скорости поезд тратит на 1ч меньше времени.

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{720}{x}=\frac{720}{x+10}+1 /·x\left(x+10\right) \\ 720\left(x+10\right)=720x+x\left(x+10\right) \\ 720x+7200=720x+x^2+10x \\ {x}^2+10x-7200=0 \\ D=10^2-4·1·\left(-7200\right)=100+28800=28900 \\ x=\frac{-10\pm \sqrt{28900}}{2}; x=\frac{-10\pm 170}{2} \end{gathered}$$

$x_1=80; x_2=-90$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 80 км/ч

Для решения задачи введем переменную. Пусть $v$ (км/ч) — это скорость поезда по расписанию.

Расстояние, которое должен проехать поезд, составляет $S = 720$ км.

Время, которое поезд должен был затратить на этот путь по расписанию, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$. Таким образом, плановое время $t_{план} = \frac{720}{v}$ часов.

Чтобы ликвидировать опоздание, поезд увеличил скорость на 10 км/ч. Его фактическая скорость стала $(v + 10)$ км/ч.

Время, которое поезд фактически затратил на путь, составляет $t_{факт} = \frac{720}{v + 10}$ часов.

По условию, поезд сократил время в пути на 1 час, чтобы наверстать опоздание. Это значит, что разница между плановым и фактическим временем составляет 1 час. Составим уравнение:

$t_{план} - t_{факт} = 1$

$\frac{720}{v} - \frac{720}{v + 10} = 1$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 10)$. Домножим обе части уравнения на этот знаменатель, предполагая, что $v \neq 0$ и $v \neq -10$:

$720(v + 10) - 720v = v(v + 10)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$720v + 7200 - 720v = v^2 + 10v$

$7200 = v^2 + 10v$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$v^2 + 10v - 7200 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7200) = 100 + 28800 = 28900$

Найдем корни уравнения по формуле $v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{-10 + \sqrt{28900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 170}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{-10 - \sqrt{28900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 170}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Так как скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -90$ не является решением задачи. Следовательно, скорость поезда по расписанию составляет 80 км/ч.

Ответ: 80 км/ч.