Номер 646, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 646, страница 151.

646. Упростите выражение:

a) $\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\sqrt{x}=\frac{x-y-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{x-y-x+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}·\sqrt{y}-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}= \\ =\frac{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\sqrt{y} \end{gathered}$$

б) $\sqrt{x}-\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-\left(x-y\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{x+\sqrt{x}·\sqrt{y}-x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}·\sqrt{y}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}= \\ =\frac{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{y} \end{gathered}$$

а) Для упрощения выражения $\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} - \sqrt{x}$ воспользуемся формулой разности квадратов для числителя дроби. Заметим, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$, при условии, что $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Тогда числитель $x-y$ можно представить в виде:

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} - \sqrt{x}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x}-\sqrt{y})$, при условии, что $\sqrt{x} \neq \sqrt{y}$ (т.е. $x \neq y$):

$(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - \sqrt{x}$

Теперь выполним вычитание:

$\sqrt{x}+\sqrt{y} - \sqrt{x} = \sqrt{y}$

Ответ: $\sqrt{y}$

б) Упростим выражение $\sqrt{x} - \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$. Как и в предыдущем задании, разложим числитель дроби $x-y$ на множители, используя формулу разности квадратов:

$x - y = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$

Подставим полученное выражение в исходное:

$\sqrt{x} - \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x}+\sqrt{y})$, при условии, что $\sqrt{x}+\sqrt{y} \neq 0$ (что верно для $x \ge 0, y \ge 0$, кроме случая $x=y=0$):

$\sqrt{x} - (\sqrt{x}-\sqrt{y})$

Раскроем скобки. Обратите внимание, что знак перед скобкой – минус, поэтому знаки внутри скобок изменятся на противоположные:

$\sqrt{x} - \sqrt{x} + \sqrt{y}$

Приведем подобные слагаемые:

$\sqrt{x} - \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{y}$

Ответ: $\sqrt{y}$