Номер 647, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 647, страница 151.

647. Сравните с нулём значение выражения:

$\mathbf{\text{а)}} \frac{3ab}{a^2+b^2}<0,$ где a>0, b<0, значит ab<0, a $a^2+b^2>0$

$\mathbf{\text{б)}} \frac{5a^3{b}^2}{a+b}>0,$ где a<0, b<0, тогда $$\begin{gathered} a^3<0, b^2>0\Rightarrow a^3{b}^2<0 \\ a+b<0 \end{gathered}$$

а)

Для того чтобы сравнить с нулём значение выражения $\frac{3ab}{a^2 + b^2}$ при условиях $a > 0$ и $b < 0$, необходимо определить знаки числителя и знаменателя дроби.

1. Знак числителя $3ab$:
По условию $a$ — положительное число ($a > 0$), а $b$ — отрицательное число ($b < 0$).
Произведение положительного числа $a$ и отрицательного числа $b$ будет отрицательным: $ab < 0$.
При умножении этого отрицательного произведения на положительное число 3, результат также будет отрицательным.
Следовательно, $3ab < 0$.

2. Знак знаменателя $a^2 + b^2$:
Квадрат любого ненулевого числа всегда положителен. Так как $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$.
Сумма двух положительных чисел ($a^2$ и $b^2$) всегда является положительным числом.
Следовательно, $a^2 + b^2 > 0$.

3. Знак всего выражения:
Дробь представляет собой частное от деления отрицательного числителя на положительный знаменатель. Результат такого деления всегда отрицателен.
Таким образом, $\frac{3ab}{a^2 + b^2} < 0$.

Ответ: значение выражения меньше нуля.

б)

Для того чтобы сравнить с нулём значение выражения $\frac{5a^3b^2}{a + b}$ при условиях $a < 0$ и $b < 0$, необходимо определить знаки числителя и знаменателя дроби.

1. Знак числителя $5a^3b^2$:
По условию $a < 0$, следовательно, $a^3$ (нечётная степень отрицательного числа) будет отрицательным числом: $a^3 < 0$.
По условию $b < 0$, следовательно, $b^2$ (чётная степень отрицательного числа) будет положительным числом: $b^2 > 0$.
Числитель является произведением положительного числа 5, отрицательного числа $a^3$ и положительного числа $b^2$.
Произведение $5 \cdot a^3 \cdot b^2$ имеет знак $(+) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.
Следовательно, $5a^3b^2 < 0$.

2. Знак знаменателя $a + b$:
По условию $a < 0$ и $b < 0$.
Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом.
Следовательно, $a + b < 0$.

3. Знак всего выражения:
Дробь представляет собой частное от деления отрицательного числителя на отрицательный знаменатель. Результат такого деления всегда положителен.
Таким образом, $\frac{5a^3b^2}{a + b} > 0$.

Ответ: значение выражения больше нуля.