Номер 654, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 654, страница 153.

654. На молодёжном карнавале Андрей купил билеты лотереи «Надежда» на 240 р. Если бы он потратил эти деньги на билеты лотереи «Удача», то смог бы купить на 4 билета больше, так как они были на 5 р. дешевле. Сколько стоил билет лотереи «Надежда»?

Пусть х руб. - цена билета лотереи "Надежда", тогда (х-5)р. - цена билета лотереи "Удача". Зная, что на 240р. он смог бы купить на 4 билета больше лотереи "Удача", можно составить и решить уравнение.

Для этого узнаем, сколько билетов одного и другого вида смог бы купить Андрей:

${\displaystyle \frac{240}{x}} \backslash frac\{240\}\{x\}$- количество билетов лотереи "Надежда",

${\displaystyle \frac{240}{x-5}} \backslash frac\{240\}\{x-5\}$- количество билетов лотереи, "Удача"

$$\begin{gathered} \frac{240}{x}+4=\frac{240}{x-5} /·x(x-5) \\ 240(x-5)+4x(x-5)=240x \\ 240x-1200+4x^2-20x=240x \\ 4x^2-20x-1200=0 /:4 \\ {x}^2-5x-300=0 \\ D={(-5)}^2-4·1·(-300)=25+1200=1225 \end{gathered}$$

$x={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{1225}}{2}} x\; =\; \backslash frac\{5\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{1225\}\}\{2\}$; $x={\displaystyle \frac{5\pm 35}{2}} x\; =\; \backslash frac\{5\; \backslash pm\; 35\}\{2\}$

x₁= 20; x₂ = -15 - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 20 р.

Пусть $x$ рублей — цена одного билета лотереи «Надежда».

Тогда количество билетов лотереи «Надежда», которые купил Андрей на 240 рублей, составляет $\frac{240}{x}$ штук.

По условию, билеты лотереи «Удача» на 5 рублей дешевле, значит, цена одного билета «Удача» равна $(x - 5)$ рублей.

На те же 240 рублей Андрей мог бы купить $\frac{240}{x - 5}$ билетов лотереи «Удача».

Известно, что билетов «Удача» он мог бы купить на 4 больше, чем билетов «Надежда». На основании этого составим уравнение:

$\frac{240}{x - 5} - \frac{240}{x} = 4$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $x(x - 5)$:

$\frac{240x - 240(x - 5)}{x(x - 5)} = 4$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{240x - 240x + 1200}{x^2 - 5x} = 4$

$\frac{1200}{x^2 - 5x} = 4$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 5x$ (при условии $x \neq 0$ и $x \neq 5$):

$1200 = 4(x^2 - 5x)$

Разделим обе части уравнения на 4:

$300 = x^2 - 5x$

Получим квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 300 = 0$

Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) + 35}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 35}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-(-5) - 35}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 35}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Поскольку цена билета не может быть отрицательной, корень $x_2 = -15$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, цена билета «Надежда» равна 20 рублям.

Проверка:

Цена билета «Надежда» — 20 р. Количество купленных билетов: $240 \div 20 = 12$ шт.

Цена билета «Удача»: $20 - 5 = 15$ р. Количество билетов, которое можно было бы купить: $240 \div 15 = 16$ шт.

Разница в количестве билетов: $16 - 12 = 4$ шт. Решение верное.

Ответ: 20 рублей.