Номер 655, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 655, страница 153.

655. Предприниматель приобрёл акции одинаковой стоимости на 110 000 р. Если бы он отложил покупку на год, то сумел бы приобрести на эту сумму на 20 акций меньше, так как цена одной акции данного вида возросла за этот год на 50 р. Сколько акций приобрёл предприниматель?

Пусть х акций приобрёл предприниматель, тогда x-20 акций он смог бы приобрести через год на эту же сумму. Зная, что он приобрёл акций на сумму 110000р., можно узнать цену одной акции:

$\frac{110000}{x}$р. - цена одной акции,

$\frac{110000}{x-20}$ р. - цена одной акции через год.

Известно, что цена одной акции через год выросла на 50р. Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{110 000}{x}+50=\frac{110 000}{x-20} /·x(x-20) \\ 110 000 (x-20)+50x(x-20)=110 000x \\ 110 000x-2 200 000+50x^2-1000x=110 000x \\ 50x^2-1000x-2 200 000=0 \\ {x}^2-20x-44 000-0 \\ D={(-20)}^2-4·1·(-44 000)=400+176 000= \\ =176 400 \end{gathered}$$

$x=\frac{20\pm \sqrt{176 400}}{2}; x=\frac{{\displaystyle 20\pm 420}}{{\displaystyle 2}}$

$x_1=220; x_2=-200$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 220 акций

Для решения задачи введём переменные. Пусть $n$ — это количество акций, которое изначально приобрёл предприниматель, а $p$ — цена одной акции в рублях на момент покупки.

Общая сумма, потраченная на покупку, составляет 110 000 рублей. Это можно выразить первым уравнением:

$n \cdot p = 110000$

Из условия известно, что если бы предприниматель отложил покупку на год, цена одной акции выросла бы на 50 рублей и стала бы равной $p + 50$. На ту же сумму 110 000 рублей он смог бы купить на 20 акций меньше, то есть $n - 20$ акций. Составим второе уравнение:

$(n - 20) \cdot (p + 50) = 110000$

Мы получили систему из двух уравнений. Так как правые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$n \cdot p = (n - 20) \cdot (p + 50)$

Выразим цену $p$ из первого уравнения:

$p = \frac{110000}{n}$

Теперь подставим это выражение для $p$ во второе уравнение:

$(n - 20) \cdot (\frac{110000}{n} + 50) = 110000$

Раскроем скобки в левой части:

$n \cdot \frac{110000}{n} + 50n - 20 \cdot \frac{110000}{n} - 20 \cdot 50 = 110000$

Упростим выражение:

$110000 + 50n - \frac{2200000}{n} - 1000 = 110000$

Вычтем 110 000 из обеих частей уравнения:

$50n - \frac{2200000}{n} - 1000 = 0$

Умножим обе части уравнения на $n$, чтобы избавиться от знаменателя (при $n \ne 0$):

$50n^2 - 1000n - 2200000 = 0$

Для упрощения разделим всё уравнение на 50:

$n^2 - 20n - 44000 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44000) = 400 + 176000 = 176400$

Теперь найдём корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{176400} = 420$

$n_1 = \frac{20 + 420}{2} = \frac{440}{2} = 220$

$n_2 = \frac{20 - 420}{2} = \frac{-400}{2} = -200$

Так как количество акций не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -200$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, единственным верным решением является $n = 220$.

Ответ: предприниматель приобрёл 220 акций.