Страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

650. Один из лыжников прошёл расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой.

Пусть х км/ч - скорость первого лыжника, тогда (х+2)км/ч - скорость второго лыжника. Зная, что расстояние, которое они проходили, 20км, можно найти время, за которое они преодолели данное расстояние:

$t_1={\displaystyle \frac{20}{x}}t\_1\; =\; \backslash frac\{20\}\{x\}$ч - время первого лыжника,

$t_2={\displaystyle \frac{20}{x+2}}t\_2\; =\; \backslash frac\{20\}\{x+2\}$ч - время второго лыжника.

Известно, что второй лыжник преодолел данное расстояние на 20мин быстрее, чем первый. Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{20}{x}=\frac{20}{x+2}+\frac{20}{60} \\ \frac{20}{x}-\frac{20}{x+2}=\frac{1}{3} /·3x\left(x+2\right) \\ 20·3\left(x+2\right)-20·3x=x\left(x+2\right) \\ 60x+120-60x=x^2+2x \\ {x}^2+2x-120=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-120\right)=4+480=484 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{484}}{2}; x=\frac{-2\pm 22}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-12$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

10+2=12 (км/ч)

Ответ: 10км/ч; 12км/ч

Пусть скорость медленного лыжника равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость быстрого лыжника равна $(x + 2)$ км/ч.

Оба лыжника прошли расстояние $S = 20$ км.

Время, которое затратил на путь медленный лыжник, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{20}{x}$ часов.

Время, которое затратил на путь быстрый лыжник, составляет $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{20}{x+2}$ часов.

Из условия известно, что быстрый лыжник прошел дистанцию на 20 минут быстрее. Переведем разницу во времени в часы, так как скорость измеряется в км/ч:

$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

Разница во времени движения лыжников составляет $\frac{1}{3}$ часа. Так как медленный лыжник был в пути дольше, мы можем составить следующее уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{3}$

$\frac{20}{x} - \frac{20}{x+2} = \frac{1}{3}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{20(x+2) - 20x}{x(x+2)} = \frac{1}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{20x + 40 - 20x}{x^2 + 2x} = \frac{1}{3}$

$\frac{40}{x^2 + 2x} = \frac{1}{3}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:

$1 \cdot (x^2 + 2x) = 40 \cdot 3$

$x^2 + 2x = 120$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 120 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не является решением задачи.

Таким образом, скорость медленного лыжника составляет 10 км/ч.

Скорость быстрого лыжника: $x + 2 = 10 + 2 = 12$ км/ч.

Ответ: скорость одного лыжника 10 км/ч, скорость другого лыжника 12 км/ч.

651. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.

Пусть x км/ч - скорость второго автомобиля, тогда (x+10) км/ч - скорость первого автомобиля. Зная, что расстояние между городами равно 560 км, найдём время, за которое каждый автомобиль преодолел это расстояние:

$t_1={\displaystyle \frac{560}{x+10}}t\_1\; =\; \backslash frac\{560\}\{x+10\}$ч - время первого автомобиля,

$t_2={\displaystyle \frac{560}{x}}t\_2\; =\; \backslash frac\{560\}\{x\}$ч - время второго автомобиля.

Известно, что первый автомобиль приезжает на место на 1ч раньше второго. Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{560}{x}=\frac{560}{x+10}+1 \mathrm{/}·x\left(x+10\right) \\ 560\left(x+10\right)=560x+x\left(x+10\right) \\ 560x+5600=560x+x^2+10x \\ {x}^2+10x-5600=0 \\ D=10^2-4·1·\left(-5600\right)=100+22400=22500 \\ x=\frac{-10\pm \sqrt{22500}}{2}; x=\frac{-10\pm 150}{2} \end{gathered}$$,

$x_1=70; x_2=-80$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

70+10=80 (км/ч)

Ответ: 80 км/ч; 70 км/ч

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение на основе предоставленных данных.

Пусть $x$ км/ч — скорость второго автомобиля. Поскольку скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше, она будет равна $(x + 10)$ км/ч.

Расстояние между городами составляет 560 км. Время, которое затратил на путь каждый автомобиль, можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время в пути для первого автомобиля: $t_1 = \frac{560}{x + 10}$ часов.

Время в пути для второго автомобиля: $t_2 = \frac{560}{x}$ часов.

Из условия известно, что первый автомобиль приезжает на 1 час раньше второго. Это означает, что время второго автомобиля на 1 час больше времени первого. Математически это можно записать как уравнение:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:

$\frac{560}{x} - \frac{560}{x + 10} = 1$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x + 10)$ и умножим на него обе части уравнения, учитывая, что $x > 0$ (скорость не может быть отрицательной или равной нулю):

$560(x + 10) - 560x = x(x + 10)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$560x + 5600 - 560x = x^2 + 10x$

$5600 = x^2 + 10x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 5600 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{22500}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 150}{2}$

Вычислим два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70$

$x_2 = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -80$ не является решением задачи. Таким образом, скорость второго автомобиля составляет 70 км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля:

$x + 10 = 70 + 10 = 80$ км/ч.

Проверка:
Время первого автомобиля: $t_1 = \frac{560 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 7$ часов.
Время второго автомобиля: $t_2 = \frac{560 \text{ км}}{70 \text{ км/ч}} = 8$ часов.
Разница во времени: $t_2 - t_1 = 8 - 7 = 1$ час, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, а скорость второго автомобиля — 70 км/ч.

652. Чтобы ликвидировать опоздание на 1 ч, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой шёл по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?

Пусть x км/ч - скорость поезда по расписанию, тогда (x+10)км/ч - увеличенная скорость поезда. Зная, что расстояние, которое нужно преодолеть поезду, равно 720 км, найдём время поезда, потраченное на это расстояние:

$t_1={\displaystyle \frac{720}{x}}t\_1\; =\; \backslash frac\{720\}\{x\}$ ч - время, которое потратил поезд, следуя по расписанию,

$t_2={\displaystyle \frac{720}{x+10}}t\_2\; =\; \backslash frac\{720\}\{x+10\}$ ч - время, которое потратил поезд, следуя с увеличенной скоростью.

Известно, что при увеличенной скорости поезд тратит на 1ч меньше времени.

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{720}{x}=\frac{720}{x+10}+1 /·x\left(x+10\right) \\ 720\left(x+10\right)=720x+x\left(x+10\right) \\ 720x+7200=720x+x^2+10x \\ {x}^2+10x-7200=0 \\ D=10^2-4·1·\left(-7200\right)=100+28800=28900 \\ x=\frac{-10\pm \sqrt{28900}}{2}; x=\frac{-10\pm 170}{2} \end{gathered}$$

$x_1=80; x_2=-90$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 80 км/ч

Для решения задачи введем переменную. Пусть $v$ (км/ч) — это скорость поезда по расписанию.

Расстояние, которое должен проехать поезд, составляет $S = 720$ км.

Время, которое поезд должен был затратить на этот путь по расписанию, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$. Таким образом, плановое время $t_{план} = \frac{720}{v}$ часов.

Чтобы ликвидировать опоздание, поезд увеличил скорость на 10 км/ч. Его фактическая скорость стала $(v + 10)$ км/ч.

Время, которое поезд фактически затратил на путь, составляет $t_{факт} = \frac{720}{v + 10}$ часов.

По условию, поезд сократил время в пути на 1 час, чтобы наверстать опоздание. Это значит, что разница между плановым и фактическим временем составляет 1 час. Составим уравнение:

$t_{план} - t_{факт} = 1$

$\frac{720}{v} - \frac{720}{v + 10} = 1$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 10)$. Домножим обе части уравнения на этот знаменатель, предполагая, что $v \neq 0$ и $v \neq -10$:

$720(v + 10) - 720v = v(v + 10)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$720v + 7200 - 720v = v^2 + 10v$

$7200 = v^2 + 10v$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$v^2 + 10v - 7200 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7200) = 100 + 28800 = 28900$

Найдем корни уравнения по формуле $v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{-10 + \sqrt{28900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 170}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{-10 - \sqrt{28900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 170}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Так как скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -90$ не является решением задачи. Следовательно, скорость поезда по расписанию составляет 80 км/ч.

Ответ: 80 км/ч.

653. В прошлом году в фермерском хозяйстве собрали 192 ц пшеницы. В этом году благодаря использованию новых технологий удалось повысить урожайность пшеницы на 2 ц с гектара. В результате такой же урожай собрали с площади, на 0,4 га меньшей. Какова была урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году?

Пусть x ц/га - урожайность в прошлом году, тогда (x+2)ц/га - урожайность пшеницы в этом году. Зная, что собранный урожай пшеницы составляй 192ц, найдём площадь, с которой собирали пшеницу в прошлом и в этом году:

${\displaystyle \frac{192}{x}}\backslash frac\{192\}\{x\}$ (га) - площадь пшеницы в прошлом году,

${\displaystyle \frac{192}{x+2}}\backslash frac\{192\}\{x+2\}$ (га) - площадь пшеницы в этом году.

Известно, что в этом году площадь была на 0,4га меньшей, чем в прошлом году.

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{192}{x}=\frac{192}{x+2}+0,4\mathrm{/}·x\left(x+2\right) \\ 192\left(x+2\right)=192x+0,4x\left(x+2\right) \\ 192x+384=192x+0,4x^2+0,8x \\ 0,4x^2+0,8x-384=0 \\ D=0,64-4·0,4·\left(-384\right)=0,64+614,4=615,04 \\ x=\frac{-0,8\pm \sqrt{615,04}}{0,8};x=\frac{-0,8\pm 24,8}{0,8} \end{gathered}$$

$x_1=30; x_2=-32$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 30 ц/га

Для решения задачи введем неизвестную переменную. Пусть $x$ — это урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году, измеряемая в центнерах с гектара (ц/га).

В прошлом году было собрано 192 ц пшеницы. Площадь, с которой был собран этот урожай, можно выразить как отношение общего сбора к урожайности:

Площадь в прошлом году: $S_1 = \frac{192}{x}$ га.

В этом году, благодаря новым технологиям, урожайность повысилась на 2 ц/га. Таким образом, новая урожайность составляет $(x+2)$ ц/га. Общий сбор урожая остался прежним — 192 ц. Площадь, с которой собрали урожай в этом году, равна:

Площадь в этом году: $S_2 = \frac{192}{x+2}$ га.

По условию задачи, площадь в этом году оказалась на 0,4 га меньше, чем в прошлом. На основе этого мы можем составить уравнение:

$S_1 - S_2 = 0,4$

Подставим в это уравнение выражения для $S_1$ и $S_2$:

$\frac{192}{x} - \frac{192}{x+2} = 0,4$

Теперь решим полученное уравнение. Для начала приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{192(x+2) - 192x}{x(x+2)} = 0,4$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{192x + 384 - 192x}{x^2 + 2x} = 0,4$

Упростим числитель:

$\frac{384}{x^2 + 2x} = 0,4$

Выразим $x^2 + 2x$:

$x^2 + 2x = \frac{384}{0,4}$

$x^2 + 2x = 960$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 960 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-960) = 4 + 3840 = 3844$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{3844}}{2} = \frac{-2 + 62}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{3844}}{2} = \frac{-2 - 62}{2} = \frac{-64}{2} = -32$

Так как урожайность ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -32$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи. Таким образом, единственное подходящее решение — это $x=30$.

Ответ: урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году была 30 ц/га.

654. На молодёжном карнавале Андрей купил билеты лотереи «Надежда» на 240 р. Если бы он потратил эти деньги на билеты лотереи «Удача», то смог бы купить на 4 билета больше, так как они были на 5 р. дешевле. Сколько стоил билет лотереи «Надежда»?

Пусть х руб. - цена билета лотереи "Надежда", тогда (х-5)р. - цена билета лотереи "Удача". Зная, что на 240р. он смог бы купить на 4 билета больше лотереи "Удача", можно составить и решить уравнение.

Для этого узнаем, сколько билетов одного и другого вида смог бы купить Андрей:

${\displaystyle \frac{240}{x}} \backslash frac\{240\}\{x\}$- количество билетов лотереи "Надежда",

${\displaystyle \frac{240}{x-5}} \backslash frac\{240\}\{x-5\}$- количество билетов лотереи, "Удача"

$$\begin{gathered} \frac{240}{x}+4=\frac{240}{x-5} /·x(x-5) \\ 240(x-5)+4x(x-5)=240x \\ 240x-1200+4x^2-20x=240x \\ 4x^2-20x-1200=0 /:4 \\ {x}^2-5x-300=0 \\ D={(-5)}^2-4·1·(-300)=25+1200=1225 \end{gathered}$$

$x={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{1225}}{2}} x\; =\; \backslash frac\{5\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{1225\}\}\{2\}$; $x={\displaystyle \frac{5\pm 35}{2}} x\; =\; \backslash frac\{5\; \backslash pm\; 35\}\{2\}$

x₁= 20; x₂ = -15 - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 20 р.

Пусть $x$ рублей — цена одного билета лотереи «Надежда».

Тогда количество билетов лотереи «Надежда», которые купил Андрей на 240 рублей, составляет $\frac{240}{x}$ штук.

По условию, билеты лотереи «Удача» на 5 рублей дешевле, значит, цена одного билета «Удача» равна $(x - 5)$ рублей.

На те же 240 рублей Андрей мог бы купить $\frac{240}{x - 5}$ билетов лотереи «Удача».

Известно, что билетов «Удача» он мог бы купить на 4 больше, чем билетов «Надежда». На основании этого составим уравнение:

$\frac{240}{x - 5} - \frac{240}{x} = 4$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $x(x - 5)$:

$\frac{240x - 240(x - 5)}{x(x - 5)} = 4$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{240x - 240x + 1200}{x^2 - 5x} = 4$

$\frac{1200}{x^2 - 5x} = 4$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 5x$ (при условии $x \neq 0$ и $x \neq 5$):

$1200 = 4(x^2 - 5x)$

Разделим обе части уравнения на 4:

$300 = x^2 - 5x$

Получим квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 300 = 0$

Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) + 35}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 35}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-(-5) - 35}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 35}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Поскольку цена билета не может быть отрицательной, корень $x_2 = -15$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, цена билета «Надежда» равна 20 рублям.

Проверка:

Цена билета «Надежда» — 20 р. Количество купленных билетов: $240 \div 20 = 12$ шт.

Цена билета «Удача»: $20 - 5 = 15$ р. Количество билетов, которое можно было бы купить: $240 \div 15 = 16$ шт.

Разница в количестве билетов: $16 - 12 = 4$ шт. Решение верное.

Ответ: 20 рублей.

655. Предприниматель приобрёл акции одинаковой стоимости на 110 000 р. Если бы он отложил покупку на год, то сумел бы приобрести на эту сумму на 20 акций меньше, так как цена одной акции данного вида возросла за этот год на 50 р. Сколько акций приобрёл предприниматель?

Пусть х акций приобрёл предприниматель, тогда x-20 акций он смог бы приобрести через год на эту же сумму. Зная, что он приобрёл акций на сумму 110000р., можно узнать цену одной акции:

$\frac{110000}{x}$р. - цена одной акции,

$\frac{110000}{x-20}$ р. - цена одной акции через год.

Известно, что цена одной акции через год выросла на 50р. Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{110 000}{x}+50=\frac{110 000}{x-20} /·x(x-20) \\ 110 000 (x-20)+50x(x-20)=110 000x \\ 110 000x-2 200 000+50x^2-1000x=110 000x \\ 50x^2-1000x-2 200 000=0 \\ {x}^2-20x-44 000-0 \\ D={(-20)}^2-4·1·(-44 000)=400+176 000= \\ =176 400 \end{gathered}$$

$x=\frac{20\pm \sqrt{176 400}}{2}; x=\frac{{\displaystyle 20\pm 420}}{{\displaystyle 2}}$

$x_1=220; x_2=-200$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 220 акций

Для решения задачи введём переменные. Пусть $n$ — это количество акций, которое изначально приобрёл предприниматель, а $p$ — цена одной акции в рублях на момент покупки.

Общая сумма, потраченная на покупку, составляет 110 000 рублей. Это можно выразить первым уравнением:

$n \cdot p = 110000$

Из условия известно, что если бы предприниматель отложил покупку на год, цена одной акции выросла бы на 50 рублей и стала бы равной $p + 50$. На ту же сумму 110 000 рублей он смог бы купить на 20 акций меньше, то есть $n - 20$ акций. Составим второе уравнение:

$(n - 20) \cdot (p + 50) = 110000$

Мы получили систему из двух уравнений. Так как правые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$n \cdot p = (n - 20) \cdot (p + 50)$

Выразим цену $p$ из первого уравнения:

$p = \frac{110000}{n}$

Теперь подставим это выражение для $p$ во второе уравнение:

$(n - 20) \cdot (\frac{110000}{n} + 50) = 110000$

Раскроем скобки в левой части:

$n \cdot \frac{110000}{n} + 50n - 20 \cdot \frac{110000}{n} - 20 \cdot 50 = 110000$

Упростим выражение:

$110000 + 50n - \frac{2200000}{n} - 1000 = 110000$

Вычтем 110 000 из обеих частей уравнения:

$50n - \frac{2200000}{n} - 1000 = 0$

Умножим обе части уравнения на $n$, чтобы избавиться от знаменателя (при $n \ne 0$):

$50n^2 - 1000n - 2200000 = 0$

Для упрощения разделим всё уравнение на 50:

$n^2 - 20n - 44000 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44000) = 400 + 176000 = 176400$

Теперь найдём корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{176400} = 420$

$n_1 = \frac{20 + 420}{2} = \frac{440}{2} = 220$

$n_2 = \frac{20 - 420}{2} = \frac{-400}{2} = -200$

Так как количество акций не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -200$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, единственным верным решением является $n = 220$.

Ответ: предприниматель приобрёл 220 акций.

656. Старинная задача. Несколько человек обедали вместе и по счёту должны были уплатить 175 шиллингов. Оказалось, что у двоих не было при себе денег. Поэтому каждому из остальных пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Сколько человек обедало?

Пусть x человек обедали вместе, тогда x-2 человек оплачивали обед. Зная, что счёт за обед составил 175 шиллингов, можно узнать сколько шиллингов заплатит каждый:

$\frac{175}{x}$ шиллингов с человека, если бы обед оплачивали все,

${\displaystyle \frac{175}{x-2}}\backslash frac\{175\}\{x-2\}$ шиллингов с человека оплачено реально.

Известно, что каждому пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{175}{x}+10=\frac{175}{x-2} \mathrm{/}·x\left(x-2\right) \\ 175\left(x-2\right)+10x\left(x-2\right)=175x \\ 175x-350+10x^2-20x-175x=0 \\ 10x^2-20x-350=0 \mathrm{/}:10 \\ {x}^2-2x-35=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-35\right)=4+140=144 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{144}}{2}; x=\frac{2\pm 12}{2} \end{gathered}$$

$x_1=7; x_2=-5$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 7 человек

Пусть $x$ — это первоначальное количество человек, которые обедали вместе. Общая сумма счёта составляет 175 шиллингов.

Если бы все заплатили, то каждый человек должен был бы уплатить $ \frac{175}{x} $ шиллингов.

По условию задачи, у двоих человек не оказалось денег, поэтому платили только $x-2$ человека. Каждый из заплативших внёс сумму, равную $ \frac{175}{x-2} $ шиллингов.

Известно, что каждому из заплативших пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю первоначально. На основе этого мы можем составить уравнение:

$ \frac{175}{x-2} = \frac{175}{x} + 10 $

Для решения уравнения перенесём слагаемое с $x$ в левую часть:

$ \frac{175}{x-2} - \frac{175}{x} = 10 $

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-2)$:

$ \frac{175x - 175(x-2)}{x(x-2)} = 10 $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{175x - 175x + 350}{x^2 - 2x} = 10 $

$ \frac{350}{x^2 - 2x} = 10 $

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 2x$ (при условии, что $x \ne 0$ и $x \ne 2$, что соответствует условию задачи):

$ 350 = 10(x^2 - 2x) $

Разделим обе части на 10:

$ 35 = x^2 - 2x $

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - 2x - 35 = 0 $

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -35. Подбираем корни: это 7 и -5.
Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 = 12^2 $

Находим корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $

Поскольку $x$ представляет количество человек, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -5$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, первоначальное количество человек равно 7.

Проверим решение:
Изначально 7 человек должны были заплатить по $175 / 7 = 25$ шиллингов.
Двое не заплатили, поэтому оставшиеся $7 - 2 = 5$ человек заплатили по $175 / 5 = 35$ шиллингов.
Разница составляет $35 - 25 = 10$ шиллингов, что соответствует условию задачи.

Ответ: 7 человек.

657. Сотрудники отдела решили совместно приобрести однокамерный холодильник за 14 400 р. Однако трое отказались участвовать в покупке, и остальным пришлось уплатить на 400 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников работает в отделе?

Пусть x сотрудников работает в отделе, тогда x-3 сотрудника купили холодильник. Зная, что холодильник стоит 14400р., можно узнать по сколько рублей уплати каждый сотрудник:

${\displaystyle \frac{14420}{x}}\backslash frac\{14420\}\{x\}$ р. - уплатил бы каждый, если бы все сотрудники участвовали в покупке,

${\displaystyle \frac{14400}{x-3}}\backslash frac\{14400\}\{x-3\}$ р. - реальная уплата каждым сотрудником.

Зная, что каждому пришлось уплатить на 400р. больше, чем предполагалась, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{14400}{x}+400=\frac{14400}{x-3} /·x\left(x-3\right) \\ 14400\left(x-3\right)+400x\left(x-3\right)=14400x \\ 14400x-43200+400x^2-1200x=14400x \\ 400x^2-1200x-43200=0/:400 \\ {x}^2-3x-108=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-108\right)=9+432=441 \\ x=\frac{3\pm \sqrt{441}}{2}; x=\frac{3\pm 21}{2} \end{gathered}$$

$x_1=12; x_2=-9$ -не удовлетворяет условию задачи х>0

Ответ: 12 человек

Пусть $n$ — это общее количество сотрудников в отделе. Тогда первоначально каждый сотрудник должен был заплатить $\frac{14400}{n}$ рублей.

После того как трое сотрудников отказались участвовать, количество участников стало $n - 3$. Теперь каждому из оставшихся пришлось заплатить $\frac{14400}{n - 3}$ рублей.

По условию задачи, новая сумма на 400 рублей больше первоначальной. Составим уравнение:
$\frac{14400}{n - 3} - \frac{14400}{n} = 400$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 400:
$\frac{36}{n - 3} - \frac{36}{n} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $n(n - 3)$:
$\frac{36n - 36(n - 3)}{n(n - 3)} = 1$
$\frac{36n - 36n + 108}{n^2 - 3n} = 1$
$\frac{108}{n^2 - 3n} = 1$

Отсюда получаем квадратное уравнение, приведя его к стандартному виду:
$n^2 - 3n = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441$
$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-(-3) + 21}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$n_2 = \frac{-(-3) - 21}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 21}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку количество сотрудников не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -9$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, общее количество сотрудников в отделе равно 12.

Проверим решение:
Изначально 12 сотрудников должны были заплатить по $14400 \div 12 = 1200$ рублей.
После отказа троих, $12 - 3 = 9$ сотрудников заплатили по $14400 \div 9 = 1600$ рублей.
Разница составляет $1600 - 1200 = 400$ рублей, что соответствует условию задачи.

Ответ: 12 сотрудников.

658. Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 ч больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.

Пусть $xx$ км/ч - скорость лодки по озеру (собственная скорость лодки), тогда (x-2)км/ч - скорость лодки против течения реки. Найдем время, потраченное на движение по озеру и реке:

$t={\displaystyle \frac{6}{x-2}}t\; =\; \backslash frac\{6\}\{x-2\}$ ч - время, потраченное на движение по реке,

$t={\displaystyle \frac{15}{x}}t=\backslash frac\{15\}\{x\}$ ч - время, потраченное на движение по озеру.

Известно, что время, затраченное на путь по озеру на 1ч больше, чем на путь по реке. Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{6}{x-2}+1=\frac{15}{x}\mathrm{/}·x\left(x-2\right) \\ 6x+x\left(x-2\right)=15\left(x-2\right) \\ 6x+x^2-2x=15x-30 \\ {x}^2+4x-15x+30=0 \\ {x}^2-11x+30=0 \\ D={\left(-11\right)}^2-4·1·30=121-120=1 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{1}}{2};x=\frac{11\pm 1}{2} \\ {x}_1=6;x_2=5 \end{gathered}$$

Если $x=6x=6$, то $6\left(6-2\right)=6·4=24\mathrm{\ne }06(6-2)\; =\; 6\; \backslash cdot\; 4\; =\; 24\; \backslash neq\; 0$,

если $x=5x=5$, то $x\left(x-2\right)=5·\left(5-2\right)=5·3=15\mathrm{\ne }0x(x-2)\; =\; 5\; \backslash cdot\; (5-2)\; =\; 5\; \backslash cdot\; 3\; =\; 15\; \backslash neq\; 0$

Ответ: 5км/ч или 6км/ч

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки. Скорость лодки при движении по озеру (в стоячей воде) равна ее собственной скорости, то есть $x$ км/ч.

Скорость лодки против течения реки равна разности собственной скорости лодки и скорости течения реки. Скорость течения дана и равна 2 км/ч.
Скорость против течения: $v_{против} = (x - 2)$ км/ч.
Для того чтобы лодка могла плыть против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Теперь выразим время, затраченное на каждый участок пути, используя формулу $t = \frac{S}{v}$, где $t$ — время, $S$ — расстояние, $v$ — скорость.

Расстояние, пройденное против течения реки, составляет 6 км. Время, затраченное на этот путь:
$t_{река} = \frac{6}{x - 2}$ ч.

Расстояние, пройденное по озеру, составляет 15 км. Время, затраченное на этот путь:
$t_{озеро} = \frac{15}{x}$ ч.

По условию задачи, на путь по озеру было затрачено на 1 час больше, чем на путь по реке. Составим уравнение:
$t_{озеро} = t_{река} + 1$
$\frac{15}{x} = \frac{6}{x - 2} + 1$

Решим полученное уравнение. Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\frac{15}{x} - \frac{6}{x - 2} - 1 = 0$
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-2)$:
$\frac{15(x - 2)}{x(x - 2)} - \frac{6x}{x(x - 2)} - \frac{x(x - 2)}{x(x - 2)} = 0$
$\frac{15(x - 2) - 6x - x(x - 2)}{x(x - 2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель не равен нулю при $x \ne 0$ и $x \ne 2$, что соответствует нашему условию $x > 2$. Приравняем числитель к нулю:
$15(x - 2) - 6x - x(x - 2) = 0$
$15x - 30 - 6x - x^2 + 2x = 0$
Приведем подобные члены:
$-x^2 + 11x - 30 = 0$
Умножим обе части на -1, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:
$x^2 - 11x + 30 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а их произведение равно 30. Подбором находим корни:
$x_1 = 5$
$x_2 = 6$

Оба корня удовлетворяют условию $x > 2$. Проверим оба решения.
Если скорость лодки $x = 5$ км/ч, то время по реке составляет $t_{река} = \frac{6}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$ часа, а время по озеру $t_{озеро} = \frac{15}{5} = 3$ часа. Разница во времени $3 - 2 = 1$ час, что соответствует условию.
Если скорость лодки $x = 6$ км/ч, то время по реке составляет $t_{река} = \frac{6}{6 - 2} = \frac{6}{4} = 1.5$ часа, а время по озеру $t_{озеро} = \frac{15}{6} = 2.5$ часа. Разница во времени $2.5 - 1.5 = 1$ час, что также соответствует условию.

Таким образом, задача имеет два решения. Скорость лодки при движении по озеру может быть либо 5 км/ч, либо 6 км/ч.

Ответ: 5 км/ч или 6 км/ч.