Страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

682. (Для работы в парах.) Постройте график уравнения:

а) (x – 5)(y + 6) = 0;

б) (x – 4)(x + 2) = 0.

1) Обсудите, какая фигура является графиком уравнения в каждом случае.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли построены графики уравнений.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} (x-5)(y+6)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-5=0& \text{или}& y+6=0\\ x=5& & y=-6\end{array} \end{gathered}$$

Две прямые, пересекающиеся под прямым углом.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} (x-4)(y+2)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-4=0& \text{или}& y+2=0\\ x=4& & y=-2\end{array} \end{gathered}$$

а) $(x - 5)(y + 6) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 5 = 0$ или $y + 6 = 0$.

Решим каждое из этих уравнений:

1) $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$.

Графиком этого уравнения является прямая, параллельная оси ординат (оси $Oy$) и проходящая через точку с координатами $(5, 0)$. Все точки этой прямой имеют абсциссу, равную 5.

2) $y + 6 = 0 \Rightarrow y = -6$.

Графиком этого уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку с координатами $(0, -6)$. Все точки этой прямой имеют ординату, равную -6.

Таким образом, графиком исходного уравнения $(x - 5)(y + 6) = 0$ является объединение (совокупность) графиков двух прямых: $x = 5$ и $y = -6$. Так как прямая $x = 5$ вертикальна, а прямая $y = -6$ горизонтальна, они перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке $(5, -6)$.

Ответ: Графиком уравнения является пара перпендикулярных прямых $x = 5$ и $y = -6$.

б) $(x - 4)(x + 2) = 0$

По аналогии с предыдущим пунктом, произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$x - 4 = 0$ или $x + 2 = 0$.

В этом уравнении отсутствует переменная $y$, это означает, что для любого значения $y$ решениями будут значения $x$, удовлетворяющие одному из этих уравнений.

Решим каждое уравнение:

1) $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Графиком этого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(4, 0)$.

2) $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

Графиком этого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(-2, 0)$.

Графиком исходного уравнения $(x - 4)(x + 2) = 0$ является объединение этих двух прямых: $x = 4$ и $x = -2$. Так как обе прямые параллельны оси $Oy$, они параллельны друг другу.

Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых $x = 4$ и $x = -2$.

683. Найдите все целые решения уравнения:

а) xy = 2;

б) x² – y² = 3.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}xy=2 \\ y=\frac{2}{x} \\ x=-1; y=-2 \\ x=-2; y=-1 \\ x=1; y=2 \\ x=2; y=1 \end{gathered}$$

Ответ: (-1;-2), (-2;-1);

(1;2), (2;1)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2-y^2=3 \\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{1)}} \left\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ x+y=-3\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2x=-4\\ x-y=-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ -2-y=-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{) }\left\{\begin{array}{l}x-y=-3\\ x+y=-1\end{array}\right.\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } \\ \left\{\begin{array}{l}2x=-4\\ x+y=-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ -2+y=-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ x+y=3\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2x=4\\ x+y=3\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2+y=3\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ x+y=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2x=4\\ x+y=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2+y=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: (-2;-1); (-2,1); (2;1); (2;-1)

а) $xy = 2$

Поскольку по условию $x$ и $y$ являются целыми числами, они должны быть делителями числа 2. Целочисленные делители числа 2: $1, -1, 2, -2$.
Рассмотрим все возможные пары целых чисел, произведение которых равно 2:
1) Если $x = 1$, то $1 \cdot y = 2$, откуда $y = 2$. Получаем решение $(1, 2)$.
2) Если $x = 2$, то $2 \cdot y = 2$, откуда $y = 1$. Получаем решение $(2, 1)$.
3) Если $x = -1$, то $(-1) \cdot y = 2$, откуда $y = -2$. Получаем решение $(-1, -2)$.
4) Если $x = -2$, то $(-2) \cdot y = 2$, откуда $y = -1$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Ответ: $(1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)$.

б) $x^2 - y^2 = 3$

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - y)(x + y) = 3$.
Так как $x$ и $y$ — целые числа, то множители $(x - y)$ и $(x + y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 3, значит, они являются парой целочисленных делителей числа 3.
Делители числа 3: $1, -1, 3, -3$.
Рассмотрим все возможные системы уравнений, составленные из пар делителей:

1) $ \begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} $
Сложив два уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x = 2$.
Подставив $x=2$ во второе уравнение, получим $2 + y = 3$, откуда $y = 1$.
Решение: $(2, 1)$.

2) $ \begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x = 2$.
Подставив $x=2$ во второе уравнение, получим $2 + y = 1$, откуда $y = -1$.
Решение: $(2, -1)$.

3) $ \begin{cases} x - y = -1 \\ x + y = -3 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x = -4$, откуда $x = -2$.
Подставив $x=-2$ во второе уравнение, получим $-2 + y = -3$, откуда $y = -1$.
Решение: $(-2, -1)$.

4) $ \begin{cases} x - y = -3 \\ x + y = -1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x = -4$, откуда $x = -2$.
Подставив $x=-2$ во второе уравнение, получим $-2 + y = -1$, откуда $y = 1$.
Решение: $(-2, 1)$.

Ответ: $(2, 1), (2, -1), (-2, -1), (-2, 1)$.

684. Автомобиль двигался 1 ч 20 мин со скоростью a км/ч и 45 мин со скоростью b км/ч. Какой путь проехал автомобиль?

$1{\displaystyle \frac{20}{60}}a+{\displaystyle \frac{45}{60}}b=\left(1{\displaystyle \frac{1}{3}}a+{\displaystyle \frac{3}{4}}b\right)1\; \backslash frac\{20\}\{60\}\; a\; +\; \backslash frac\{45\}\{60\}\; b\; =\; (1\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; a\; +\; \backslash frac\{3\}\{4\}\; b)$ км

Ответ: $\left(1{\displaystyle \frac{1}{3}}a+{\displaystyle \frac{3}{4}}b\right)(1\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; a\; +\; \backslash frac\{3\}\{4\}\; b)$ км

Для того чтобы найти общий путь, который проехал автомобиль, необходимо вычислить расстояние, пройденное на каждом из двух участков, и затем сложить их. Расстояние ($S$) находится по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ — это скорость, а $t$ — время.

1. Найдем расстояние, пройденное на первом участке.
Сначала необходимо выразить время движения в часах, так как скорость дана в км/ч.
Время движения на первом участке: $t_1 = 1 \text{ час } 20 \text{ минут}$.
Поскольку в одном часе 60 минут, то 20 минут составляют $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа.
Таким образом, общее время движения на первом участке равно: $t_1 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ часа.
Скорость на этом участке составляла $v_1 = a$ км/ч.
Теперь вычислим путь на первом участке: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = a \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}a$ км.

2. Найдем расстояние, пройденное на втором участке.
Время движения на втором участке: $t_2 = 45 \text{ минут}$.
Переведем минуты в часы: $t_2 = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ часа.
Скорость на этом участке составляла $v_2 = b$ км/ч.
Вычислим путь на втором участке: $S_2 = v_2 \cdot t_2 = b \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}b$ км.

3. Найдем общий путь.
Общий путь $S$ равен сумме путей, пройденных на первом и втором участках:
$S = S_1 + S_2 = \frac{4}{3}a + \frac{3}{4}b$ км.

Ответ: $\frac{4}{3}a + \frac{3}{4}b$ км.

685. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{\left(2x+1\right)\left(2x-3\right)}{4}=x^2-1\mathrm{/}·4 \\ \left(2x+1\right)\left(2x-3\right)=4\left(x^2-1\right) \\ 4x^2-6x+2x-3=4x^2-4 \\ 4x^2-4x-3-4x^2+4=0 \\ -4x+1=0 \\ -4x=-1 \\ x=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{1}{4}}\backslash frac\{1\}\{4\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2-\frac{\left(2x-1\right)x}{2}=2\mathrm{/}·2 \\ 2x^2-\left(2x-1\right)x=4 \\ 2x^2-2x^2+x=4 \\ x=4 \end{gathered}$$

Ответ: $44$

а)

Дано уравнение: $\frac{(2x + 1)(2x - 3)}{4} = x^2 - 1$.
Для начала избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 4:
$4 \cdot \frac{(2x + 1)(2x - 3)}{4} = 4 \cdot (x^2 - 1)$
$(2x + 1)(2x - 3) = 4x^2 - 4$
Теперь раскроем скобки в левой части уравнения, перемножив двучлены:
$2x \cdot 2x + 2x \cdot (-3) + 1 \cdot 2x + 1 \cdot (-3) = 4x^2 - 4$
$4x^2 - 6x + 2x - 3 = 4x^2 - 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$4x^2 - 4x - 3 = 4x^2 - 4$
Перенесем все члены с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую. Вычтем $4x^2$ из обеих частей:
$-4x - 3 = -4$
Прибавим 3 к обеим частям:
$-4x = -4 + 3$
$-4x = -1$
Найдем $x$, разделив обе части на -4:
$x = \frac{-1}{-4}$
$x = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б)

Дано уравнение: $x^2 - \frac{(2x - 1)x}{2} = 2$.
Умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2 \cdot x^2 - 2 \cdot \frac{(2x - 1)x}{2} = 2 \cdot 2$
$2x^2 - (2x - 1)x = 4$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2x^2 - (2x^2 - x) = 4$
$2x^2 - 2x^2 + x = 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$x = 4$
Ответ: 4.

686. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2-1}{6x^2}:\frac{x^2+x}{3}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)·3}{6x^2·\left(x^2+x\right)}= \\ =\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{2x^2·x\left(x+1\right)}=\frac{x-1}{2x^3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{16n^2-1}{n^2-2n}:\frac{8n}{3n-6}=\frac{\left(4n-1\right)\left(4n+1\right)·\left(3n-6\right)}{n\left(n-2\right)·8n}= \\ =\frac{\left(4n-1\right)\left(4n+1\right)·3\left(n-2\right)}{n\left(n-2\right)·8n}=\frac{3\left(16n^2-1\right)}{8n^2}= \\ =\frac{48n^2-3}{8n^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x-4}{y^2-xy}:\frac{5x-20}{x^2-xy}=\frac{\left(x-4\right)·\left(x^2-xy\right)}{y\left(y-x\right)·\left(5x-20\right)}= \\ =\frac{\left(x-4\right)·x\left(x-y\right)}{-y\left(x-y\right)·5\left(x-4\right)}=-\frac{x}{5y} \end{gathered}$$

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Затем разложим числители и знаменатели на множители, чтобы сократить общие.

$ \frac{x^2 - 1}{6x^2} : \frac{x^2 + x}{3} = \frac{x^2 - 1}{6x^2} \cdot \frac{3}{x^2 + x} $

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесем общий множитель в знаменателе второй дроби:

$ \frac{(x - 1)(x + 1)}{6x^2} \cdot \frac{3}{x(x + 1)} $

Теперь сократим общие множители $(x+1)$, а также числа 3 и 6:

$ \frac{(x - 1)\sout{(x + 1)}}{2 \cdot \sout{3} \cdot x^2} \cdot \frac{\sout{3}}{x\sout{(x + 1)}} = \frac{x - 1}{2x^2 \cdot x} = \frac{x - 1}{2x^3} $

Ответ: $ \frac{x - 1}{2x^3} $

б) Аналогично пункту а), заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим на множители.

$ \frac{16n^2 - 1}{n^2 - 2n} : \frac{8n}{3n - 6} = \frac{16n^2 - 1}{n^2 - 2n} \cdot \frac{3n - 6}{8n} $

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов, а в знаменателях и числителе второй дроби вынесем общие множители:

$ \frac{(4n - 1)(4n + 1)}{n(n - 2)} \cdot \frac{3(n - 2)}{8n} $

Сократим общий множитель $(n-2)$:

$ \frac{(4n - 1)(4n + 1)}{n\sout{(n - 2)}} \cdot \frac{3\sout{(n - 2)}}{8n} = \frac{3(4n - 1)(4n + 1)}{n \cdot 8n} = \frac{3(16n^2 - 1)}{8n^2} $

Ответ: $ \frac{3(16n^2 - 1)}{8n^2} $

в) Заменяем деление умножением на обратную дробь.

$ \frac{x - 4}{y^2 - xy} : \frac{5x - 20}{x^2 - xy} = \frac{x - 4}{y^2 - xy} \cdot \frac{x^2 - xy}{5x - 20} $

Вынесем общие множители в знаменателях и в числителе второй дроби:

$ \frac{x - 4}{y(y - x)} \cdot \frac{x(x - y)}{5(x - 4)} $

Заметим, что выражения $(y-x)$ и $(x-y)$ отличаются знаком, то есть $(y - x) = -(x - y)$. Вынесем минус за скобки в знаменателе первой дроби:

$ \frac{x - 4}{-y(x - y)} \cdot \frac{x(x - y)}{5(x - 4)} $

Теперь сократим общие множители $(x-4)$ и $(x-y)$:

$ \frac{\sout{x - 4}}{-y\sout{(x - y)}} \cdot \frac{x\sout{(x - y)}}{5\sout{(x - 4)}} = \frac{x}{-y \cdot 5} = -\frac{x}{5y} $

Ответ: $ -\frac{x}{5y} $