Страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

702. Решите способом подстановки систему уравнений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{l}{y}^2-x=-1\\ x=y+3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{y}^2-\left(y+3\right)=-1\\ x=y+3\end{array}\right. \\ {y}^2-y-3+1=0 \\ {y}^2-y-2=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{9}}{2}; y=\frac{1\pm 3}{2} \\ {y}_1=2; y_2=-1 \end{gathered}$$

Если y=2, то x=y+3=2+3=5,

если y=-1, то x=-1+3=2

Ответ: (5;2), (2;-1)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{l}y=x-1\\ x^2-2y=26\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\ x^2-2\left(x-1\right)=26\end{array}\right. \\ {x}^2-2x+2-26=0 \\ {x}^2-2x-24=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-24\right)=4+96=100 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{100}}{2}, x=\frac{2\pm 10}{2} \\ {x}_1=6; x_2=-4 \end{gathered}$$

Если x=6, то y=6-1=5,

если x=-4, то y=-4-1=-5

Ответ: (6;5), (-4;-5)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} \left\{\begin{array}{l}xy+x=-4\\ x-y=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x-6\\ x\left(x-6\right)+x=-4\end{array}\right. \\ {x}^2-6x+x+4=0 \\ {x}^2-5x+4=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·4=25-16=9 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}, x=\frac{5\pm 3}{2} \\ {x}_1=4, x_2=1 \end{gathered}$$

Если x=4, то y=4-6=-2,

если x=1, то y=1-6 =-5

Ответ: (4; -2), (1;-5)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \left\{\begin{array}{l}x+y=9\\ y^2+x=29\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=9-y\\ y^2+9-y=29\end{array}\right. \\ {y}^2-y+9-29=0 \\ {y}^2-y-20=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-20\right)=1+80=81 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{81}}{2}; y=\frac{1\pm 9}{2} \\ {y}_1=5; y_2=-4 \end{gathered}$$

Если у=5, то х=9-5=4,

если y=-4, то x=9-(-4)=13

Ответ: (4;5), (13;-4)

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y^2 - x = -1, \\ x = y + 3. \end{cases} $$

Во втором уравнении переменная x уже выражена через y. Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$y^2 - (y + 3) = -1$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 - y - 3 = -1$

$y^2 - y - 3 + 1 = 0$

$y^2 - y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно y. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$.

Подбором находим корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого найденного значения y, используя второе уравнение системы $x = y + 3$.

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$. Получаем решение $(5; 2)$.

2. Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -1 + 3 = 2$. Получаем решение $(2; -1)$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5; 2)$, $(2; -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y = x - 1, \\ x^2 - 2y = 26. \end{cases} $$

В первом уравнении переменная y выражена через x. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - 2(x - 1) = 26$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x + 2 = 26$

$x^2 - 2x + 2 - 26 = 0$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно x. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-24$.

Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного значения x, используя первое уравнение системы $y = x - 1$.

1. Если $x_1 = 6$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$. Получаем решение $(6; 5)$.

2. Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -4 - 1 = -5$. Получаем решение $(-4; -5)$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(6; 5)$, $(-4; -5)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy + x = -4, \\ x - y = 6. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим переменную x через y:

$x = 6 + y$

Подставим полученное выражение для x в первое уравнение системы:

$(6 + y)y + (6 + y) = -4$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$6y + y^2 + 6 + y = -4$

$y^2 + 7y + 6 + 4 = 0$

$y^2 + 7y + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно y. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а их произведение равно $10$.

Корни уравнения: $y_1 = -2$ и $y_2 = -5$.

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого найденного значения y, используя выражение $x = 6 + y$.

1. Если $y_1 = -2$, то $x_1 = 6 + (-2) = 4$. Получаем решение $(4; -2)$.

2. Если $y_2 = -5$, то $x_2 = 6 + (-5) = 1$. Получаем решение $(1; -5)$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(4; -2)$, $(1; -5)$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 9, \\ y^2 + x = 29. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим переменную x через y:

$x = 9 - y$

Подставим полученное выражение для x во второе уравнение системы:

$y^2 + (9 - y) = 29$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 - y + 9 - 29 = 0$

$y^2 - y - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно y. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-20$.

Корни уравнения: $y_1 = 5$ и $y_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого найденного значения y, используя выражение $x = 9 - y$.

1. Если $y_1 = 5$, то $x_1 = 9 - 5 = 4$. Получаем решение $(4; 5)$.

2. Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 9 - (-4) = 9 + 4 = 13$. Получаем решение $(13; -4)$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(4; 5)$, $(13; -4)$.

703. Решите систему уравнений, используя способ подстановки:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\left\{\begin{array}{l}x=3-y\\ y^2-x=39\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3-y\\ y^2-\left(3-y\right)=39\end{array}\right. \\ {y}^2-3+y-39=0 \\ {y}^2+y-42=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-42\right)=1+168=169 \\ y=\frac{-1\pm \sqrt{169}}{2}; y=\frac{-1\pm 13}{2} \\ {y}_1=6; y_2=-7 \end{gathered}$$

Если y=6, то x=3-6=-3,

Если y=-7, то x=3-(-7)=10

Ответ: (-3;6), (10;-7)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left\{\begin{array}{l}y=1+x\\ x+y^2=-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=1+x\\ x+{\left(1+x\right)}^2=-1\end{array}\right. \\ x+1+2x+x^2+1=0 \\ {x}^2+3x+2=0 \\ D=3^2-4·1·2=9-8=1 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}; x=\frac{-3\pm 1}{2} \\ {x}_1=-1, x_2=-2 \end{gathered}$$

Если x=-1, то y=1+(-1)=0,

Если x=-2, то y=1+(-2)=-1

Ответ: (-1,0), (-2,-1)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y=14\\ y-x=8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=8+x\\ x^2+8+x=14\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=8+x\\ x^2+x-6=0\end{array}\right. \\ {x}^2+x-6=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-6\right)=1+24=25 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}, x=\frac{-1\pm 5}{2} \\ {x}_1=2, x_2=-3 \end{gathered}$$

Если x=2, то y=8+2=10,

Если x=-3, то y=8+(-3)=5

Ответ: (2;10), (-3;5)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\left\{\begin{array}{l}x+y=4\\ y+xy=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=4-y\\ y+y\left(4-y\right)=6\end{array}\right. \\ y+4y-y^2-6=0 \\ -y^2+5y-6=0 \\ D=5^2-4·\left(-1\right)·\left(-6\right)=25-24=1 \\ y=\frac{-5\pm \sqrt{1}}{-2}; y=\frac{-5\pm 1}{-2} \\ {y}_1=2; y_2=3 \end{gathered}$$

Если y=2, то x=4-2=2,

Если y=3, то x=4-3=1

Ответ: (2;2), (1;3)

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x = 3 - y \\ y^2 - x = 39 \end{cases} $

В первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим это выражение $x = 3 - y$ во второе уравнение системы:

$ y^2 - (3 - y) = 39 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$ y^2 - 3 + y = 39 $

$ y^2 + y - 42 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2 $

Найдем корни для $y$:

$ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6 $

$ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7 $

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя уравнение $x = 3 - y$.

Если $y_1 = 6$, то $ x_1 = 3 - 6 = -3 $.
Если $y_2 = -7$, то $ x_2 = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10 $.

Таким образом, система имеет два решения: $(-3; 6)$ и $(10; -7)$.

Ответ: $(-3; 6), (10; -7)$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = 1 + x \\ x + y^2 = -1 \end{cases} $

В первом уравнении переменная $y$ выражена через $x$. Подставим это выражение $y = 1 + x$ во второе уравнение:

$ x + (1 + x)^2 = -1 $

Раскроем скобки и упростим:

$ x + (1 + 2x + x^2) = -1 $

$ x^2 + 3x + 1 = -1 $

$ x^2 + 3x + 2 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 $

Найдем корни для $x$:

$ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = -1 $

$ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = -2 $

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = 1 + x$.

Если $x_1 = -1$, то $ y_1 = 1 + (-1) = 0 $.
Если $x_2 = -2$, то $ y_2 = 1 + (-2) = -1 $.

Таким образом, получаем два решения: $(-1; 0)$ и $(-2; -1)$.

Ответ: $(-1; 0), (-2; -1)$.

в) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y = 14 \\ y - x = 8 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$ y = 8 + x $

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$ x^2 + (8 + x) = 14 $

Упростим и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$ x^2 + x + 8 - 14 = 0 $

$ x^2 + x - 6 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $

Найдем корни для $x$:

$ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 $

$ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 $

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя выражение $y = 8 + x$.

Если $x_1 = 2$, то $ y_1 = 8 + 2 = 10 $.
Если $x_2 = -3$, то $ y_2 = 8 + (-3) = 5 $.

Система имеет два решения: $(2; 10)$ и $(-3; 5)$.

Ответ: $(2; 10), (-3; 5)$.

г) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 4 \\ y + xy = 6 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$ y = 4 - x $

Подставим это выражение во второе уравнение:

$ (4 - x) + x(4 - x) = 6 $

Раскроем скобки и упростим:

$ 4 - x + 4x - x^2 = 6 $

$ -x^2 + 3x + 4 = 6 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$ -x^2 + 3x - 2 = 0 $

Умножим уравнение на -1 для удобства решения:

$ x^2 - 3x + 2 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2, следовательно, корни $x_1=1$ и $x_2=2$. Также можно найти корни через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 $

$ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2 $

$ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1 $

Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 4 - x$.

Если $x_1 = 2$, то $ y_1 = 4 - 2 = 2 $.
Если $x_2 = 1$, то $ y_2 = 4 - 1 = 3 $.

Система имеет два решения: $(2; 2)$ и $(1; 3)$.

Ответ: $(2; 2), (1; 3)$.

704. Решите систему уравнений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ xy=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3+y\\ \left(3+y\right)y=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3+y\\ y^2+3y+2=0\end{array}\right. \\ {y}^2+3y+2=0 \\ D=3^2-4·1·2=9-8=1 \\ y=\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}, y=\frac{-3\pm 1}{2} \\ {y}_1=-1, y_2=-2 \end{gathered}$$

Если y=-1, то x=3+(-1)=2,

если y=-2, то x=3+(-2)=1

Ответ: (2; -1), (1; -2)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left\{\begin{array}{l}x+y=2,5\\ xy=1,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2,5-y\\ \left(2,5-y\right)y=1,5\end{array}\right. \\ 2,5y-y^2-1,5=0 \\ -y^2+2,5y-1,5=0 \\ D={\left(2,5\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-1,5\right)=6,25-6=0,25 \\ y=\frac{-2,5\pm \sqrt{0,25}}{-2}; y=\frac{-2,5\pm 0,5}{-2} \\ {y}_1=1, y_2=1,5 \end{gathered}$$

Если y=1, то x=2,5-1=1,5,

если y=1,5, то x=2,5-1,5=1

Ответ: (1,5; 1), (1; 1,5)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }} \left\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ x^2+y^2=1\end{array}\left\{\begin{array}{l}x=-1-y\\ {\left(-1-y\right)}^2+y^2=1\end{array}\right.\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-1-y\\ 1+2y+y^2+y^2-1=0\end{array}\right. \\ 2y^2+2y=0 \\ 2y\left(y+1\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}y=0& \text{ или }& y+1=0\\ & & y=-1\end{array} \end{gathered}$$

Если y=0, то x=-1-0=-1,

если y=-1, то x=-1-(-1)=0

Ответ: (-1; 0), (0; -1)

$\mathbf{\text{г)}} \left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ x^2-y^2=17\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=17\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ 2\left(x+y\right)=17\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ x+y=8,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=10,5\\ x-y=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5,25\\ 5,25-y=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5,25\\ y=3,25\end{array}\right.$

Ответ: (5,25; 3,25)

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = -2; \end{cases} $

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y + 3$.

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y + 3)y = -2$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$y^2 + 3y = -2$

$y^2 + 3y + 2 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$:

1. Если $y_1 = -1$, то $x_1 = y_1 + 3 = -1 + 3 = 2$.

2. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = y_2 + 3 = -2 + 3 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2; -1)$ и $(1; -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 2,5, \\ xy = 1,5; \end{cases} $

Данная система является симметрической. Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим в это уравнение известные значения суммы и произведения $x$ и $y$:

$t^2 - 2,5t + 1,5 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$2t^2 - 5t + 3 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Корни уравнения $t_1=1,5$ и $t_2=1$ являются решениями системы для $x$ и $y$. Это означает, что возможны две пары решений.

Ответ: $(1,5; 1)$ и $(1; 1,5)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -1, \\ x^2 + y^2 = 1; \end{cases} $

Возведем первое уравнение в квадрат:

$(x+y)^2 = (-1)^2$

$x^2 + 2xy + y^2 = 1$

Мы знаем, что $x^2 + y^2 = 1$ из второго уравнения системы. Подставим это значение в полученное уравнение:

$(x^2 + y^2) + 2xy = 1$

$1 + 2xy = 1$

$2xy = 0$

$xy = 0$

Теперь исходную систему можно заменить на эквивалентную, но более простую:

$ \begin{cases} x + y = -1, \\ xy = 0; \end{cases} $

Из второго уравнения $xy=0$ следует, что либо $x=0$, либо $y=0$. Рассмотрим оба случая:

1. Если $x=0$, подставим это в первое уравнение: $0 + y = -1$, откуда $y = -1$. Получаем решение $(0; -1)$.

2. Если $y=0$, подставим это в первое уравнение: $x + 0 = -1$, откуда $x = -1$. Получаем решение $(-1; 0)$.

Ответ: $(0; -1)$ и $(-1; 0)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 - y^2 = 17; \end{cases} $

Во втором уравнении воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Подставим в это тождество известные значения из системы:

$17 = (2)(x+y)$

Отсюда можем найти значение выражения $x+y$:

$x+y = \frac{17}{2} = 8,5$

Теперь мы имеем систему двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 2, \\ x + y = 8,5; \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x-y) + (x+y) = 2 + 8,5$

$2x = 10,5$

$x = \frac{10,5}{2} = 5,25$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение $x-y=2$:

$5,25 - y = 2$

$y = 5,25 - 2 = 3,25$

Система имеет единственное решение.

Ответ: $(5,25; 3,25)$.