Номер 702, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 702, страница 167.

702. Решите способом подстановки систему уравнений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{l}{y}^2-x=-1\\ x=y+3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{y}^2-\left(y+3\right)=-1\\ x=y+3\end{array}\right. \\ {y}^2-y-3+1=0 \\ {y}^2-y-2=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{9}}{2}; y=\frac{1\pm 3}{2} \\ {y}_1=2; y_2=-1 \end{gathered}$$

Если y=2, то x=y+3=2+3=5,

если y=-1, то x=-1+3=2

Ответ: (5;2), (2;-1)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{l}y=x-1\\ x^2-2y=26\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\ x^2-2\left(x-1\right)=26\end{array}\right. \\ {x}^2-2x+2-26=0 \\ {x}^2-2x-24=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-24\right)=4+96=100 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{100}}{2}, x=\frac{2\pm 10}{2} \\ {x}_1=6; x_2=-4 \end{gathered}$$

Если x=6, то y=6-1=5,

если x=-4, то y=-4-1=-5

Ответ: (6;5), (-4;-5)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} \left\{\begin{array}{l}xy+x=-4\\ x-y=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x-6\\ x\left(x-6\right)+x=-4\end{array}\right. \\ {x}^2-6x+x+4=0 \\ {x}^2-5x+4=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·4=25-16=9 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}, x=\frac{5\pm 3}{2} \\ {x}_1=4, x_2=1 \end{gathered}$$

Если x=4, то y=4-6=-2,

если x=1, то y=1-6 =-5

Ответ: (4; -2), (1;-5)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \left\{\begin{array}{l}x+y=9\\ y^2+x=29\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=9-y\\ y^2+9-y=29\end{array}\right. \\ {y}^2-y+9-29=0 \\ {y}^2-y-20=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-20\right)=1+80=81 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{81}}{2}; y=\frac{1\pm 9}{2} \\ {y}_1=5; y_2=-4 \end{gathered}$$

Если у=5, то х=9-5=4,

если y=-4, то x=9-(-4)=13

Ответ: (4;5), (13;-4)

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y^2 - x = -1, \\ x = y + 3. \end{cases} $$

Во втором уравнении переменная x уже выражена через y. Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$y^2 - (y + 3) = -1$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 - y - 3 = -1$

$y^2 - y - 3 + 1 = 0$

$y^2 - y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно y. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$.

Подбором находим корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого найденного значения y, используя второе уравнение системы $x = y + 3$.

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$. Получаем решение $(5; 2)$.

2. Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -1 + 3 = 2$. Получаем решение $(2; -1)$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5; 2)$, $(2; -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y = x - 1, \\ x^2 - 2y = 26. \end{cases} $$

В первом уравнении переменная y выражена через x. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - 2(x - 1) = 26$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x + 2 = 26$

$x^2 - 2x + 2 - 26 = 0$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно x. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-24$.

Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного значения x, используя первое уравнение системы $y = x - 1$.

1. Если $x_1 = 6$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$. Получаем решение $(6; 5)$.

2. Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -4 - 1 = -5$. Получаем решение $(-4; -5)$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(6; 5)$, $(-4; -5)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy + x = -4, \\ x - y = 6. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим переменную x через y:

$x = 6 + y$

Подставим полученное выражение для x в первое уравнение системы:

$(6 + y)y + (6 + y) = -4$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$6y + y^2 + 6 + y = -4$

$y^2 + 7y + 6 + 4 = 0$

$y^2 + 7y + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно y. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а их произведение равно $10$.

Корни уравнения: $y_1 = -2$ и $y_2 = -5$.

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого найденного значения y, используя выражение $x = 6 + y$.

1. Если $y_1 = -2$, то $x_1 = 6 + (-2) = 4$. Получаем решение $(4; -2)$.

2. Если $y_2 = -5$, то $x_2 = 6 + (-5) = 1$. Получаем решение $(1; -5)$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(4; -2)$, $(1; -5)$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 9, \\ y^2 + x = 29. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим переменную x через y:

$x = 9 - y$

Подставим полученное выражение для x во второе уравнение системы:

$y^2 + (9 - y) = 29$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 - y + 9 - 29 = 0$

$y^2 - y - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно y. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-20$.

Корни уравнения: $y_1 = 5$ и $y_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого найденного значения y, используя выражение $x = 9 - y$.

1. Если $y_1 = 5$, то $x_1 = 9 - 5 = 4$. Получаем решение $(4; 5)$.

2. Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 9 - (-4) = 9 + 4 = 13$. Получаем решение $(13; -4)$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(4; 5)$, $(13; -4)$.