Номер 706, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 706, страница 168.

706. Решите систему уравнений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{c}y-2x=2\\ 5x^2-y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=2+2x\\ 5x^2-\left(2+2x\right)=1\end{array}\right. \\ 5x^2-2-2x-1=0 \\ 5x^2-2x-3=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·5·\left(-3\right)=4+60=64 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{64}}{10}; x=\frac{2\pm 8}{10} \\ {x}_1=1, x_2=-0.6 \end{gathered}$$

Если $x=1x=1$, то $y=2+2·1=4y=2+2\; \backslash cdot\; 1\; =\; 4$,

если $x=-0.6x=-0.6$, то $y=2+2·\left(-0,6\right)=2-1,2=0,8$

Ответ: $\left(1; 4\right), \left(-0,6; 0,8\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{c}x-2y^2=2\\ 3x+y=7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x=2+2y^2\\ 3\left(2+2y^2\right)+y=7\end{array}\right. \\ 6+6y^2+y-7=0 \\ 6y^2+y-1=0 \\ D=1^2-4·6·\left(-1\right)=1+24=25 \\ y=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{12}; y=\frac{-1\pm 5}{12} \\ {y}_1=\frac{1}{3}; y_2=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Если $y={\displaystyle \frac{1}{3}}y\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$, то $x=2+2·{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=2+2·\frac{1}{9}=2\frac{2}{9},$

Если $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}y\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}$, то $x=2+2·{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=2+2·\frac{1}{4}=2\frac{2}{4}=2\frac{1}{2}$

Ответ: $\left(2\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right), \left(2\frac{2}{9};\frac{1}{3}\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} \left\{\begin{array}{c}3x^2-2y=1\\ 2x^2-y^2=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}2y=3x^2-1\\ 2x^2-y^2=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=\frac{3x^2-1}{2}\\ 2x^2-{\left({\displaystyle \frac{3x^2-1}{2}}\right)}^2=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=\frac{3x^2-1}{2}\\ 2x^2-{\left({\displaystyle \frac{3x^2-1}{4}}\right)}^2=1 /·4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=\frac{3x^2-1}{2}\\ 4·2x^2-{\left(3x^2-1\right)}^2=4\end{array}\right. \\ 8x^2-\left(9x^4-6x^2+1\right)=4 \\ 8x^2-9x^4+6x^2-1-4=0 \\ -9x^4+14x^2-5=0 \\ {x}^2=t, x^4=t^2, t\ge 0 \\ -9t^2+14t-5=0 \\ D=196-4·\left(-9\right)·\left(-5\right)=196-180=16 \\ t=\frac{-14\pm \sqrt{16}}{-18}, t=\frac{-14\pm 4}{-18} \\ {t}_1=\frac{10}{18}; t=1 \\ {x}^2=\frac{10}{18} \text{или }{x}^2=1 \end{gathered}$$

Если $x^2={\displaystyle \frac{10}{18}}x^2\; =\; \backslash frac\{10\}\{18\}$, то $y=\frac{3·{\displaystyle \frac{10}{18}}-1}{2}=\frac{{\displaystyle \frac{10}{6}}-1}{2}=\frac{{\displaystyle \frac{5}{3}}-1}{2}=\frac{{\displaystyle 2}}{3·2}=\frac{1}{3}$

Если $x^2=1x^2=1$, то $y={\displaystyle \frac{3·1-1}{2}}={\displaystyle \frac{3-1}{2}}=1y\; =\; \backslash frac\{3\; \backslash cdot\; 1\; -\; 1\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{3-1\}\{2\}\; =\; 1$

Если $y={\displaystyle \frac{1}{3}}y\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$, то

$\begin{array}{ccc}x=\sqrt{\frac{10}{18}}& \text{или}& x=-\sqrt{\frac{10}{18}}\\ x=\sqrt{\frac{5}{9}}& & x=-\sqrt{\frac{5}{9}}\\ x=\frac{\sqrt{5}}{3}& & x=-\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}$

Если $y=1y\; =\; 1$, то $x=1x\; =\; 1$ или $x=-1x\; =\; -1$

Ответ: $\left({\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}};{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)(\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}\}\{3\};\backslash frac\{1\}\{3\})$, $\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}};{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)(-\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}\}\{3\};\backslash frac\{1\}\{3\})$, $\left(1;1\right)(1;1)$, $\left(-1;1\right)(-1;1)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \left\{\begin{array}{l}{x}^2+2y^2=11\\ x+2y=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3-2y\\ 3{\left(3-2y\right)}^2+2y^2=11\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=3-2y\\ 3(9-12y+4y^2)+2y^2=11\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=3-2y\\ 27-36y+12y^2+2y^2-11=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=3-2y\\ 12y^2+2y^2-36y-16=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3-2y\\ 14y^2-36y+16=0\end{array}\right. \\ 14y^2-36y+16=0 /:2 \\ 7y^2-18y+8=0 \\ D={(-18)}^2-4·7·8=324-224=100 \\ y=\frac{18\pm \sqrt{100}}{14}; y=\frac{18\pm 10}{14} \\ {y}_1=2; y_2=\frac{8}{14}; y_2=\frac{4}{7} \end{gathered}$$

Если y=2, то $x=3-2·2=3-4=-1$,

если $y=\frac{4}{7}$, то $x=3-2·\frac{4}{7}=3-\frac{8}{7}=\frac{21-8}{7}=\frac{13}{7}=1\frac{6}{7}$

Ответ: (-1;2), $\left(1\frac{6}{7};\frac{4}{7}\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=100\\ 3x=4y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4y}{3}\\ {\left(\frac{4y}{3}\right)}^2+y^2=100\end{array}\right. \\ \frac{16}{9}{y}^2+y^2=100 \\ \frac{25}{9}{y}^2=100 \\ {y}^2=100:\frac{25}{9} \\ {y}^2=100·\frac{9}{25} \\ {y}^2=36 \\ y=6 \text{или }y=-6 \end{gathered}$$

Если $y=6y\; =\; 6$, то $x=\frac{4·6}{3}=8$

Если $y=-6y\; =\; -6$, то $x=\frac{4·\left(-6\right)}{3}=-8$

Ответ: $\left(8;6\right)(8;6)$, $\left(-8;-6\right)(-8;-6)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} \left\{\begin{array}{l}2x^2-y^2=32\\ 2x-y=8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=2x-8\\ 2x^2-{\left(2x-8\right)}^2=32\end{array}\right. \\ 2x^2-\left(4x^2-32x+64\right)=32 \\ 2x^2-4x^2+32x-64-32=0 \\ -2x^2+32x-96=0 /:(-2) \\ {x}^2-16x+48=0 \\ D={\left(-16\right)}^2-4·1·48=256-192=64 \\ x=\frac{16\pm \sqrt{64}}{2}, x=\frac{16\pm 8}{2} \\ {x}_1=12, x_2=4 \end{gathered}$$

Если $x=12x\; =\; 12$, то $y=2·12-8=24-8=16,$

Если $x=4x\; =\; 4$, то $y=2·4-8=8-8=0y\; =\; 2\; \backslash cdot\; 4\; -\; 8\; =\; 8\; -\; 8\; =\; 0$

Ответ: $\left(4;0\right)(4;0)$, $\left(12;16\right)(12;16)$

а)$\begin{cases}y - 2x = 2 \\5x^2 - y = 1\end{cases}$
Для решения этой системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2x + 2$.
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$5x^2 - (2x + 2) = 1$
$5x^2 - 2x - 2 = 1$
$5x^2 - 2x - 3 = 0$
Получили квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \pm 8}{10}$.
$x_1 = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
$x_2 = \frac{2 - 8}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в выражение $y = 2x + 2$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 2 \cdot 1 + 2 = 4$.
При $x_2 = -0.6$, $y_2 = 2 \cdot (-0.6) + 2 = -1.2 + 2 = 0.8$.
Ответ: $(1, 4)$, $(-0.6, 0.8)$.

б)$\begin{cases}x - 2y^2 = 2 \\3x + y = 7\end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$: $y = 7 - 3x$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x - 2(7 - 3x)^2 = 2$
$x - 2(49 - 42x + 9x^2) = 2$
$x - 98 + 84x - 18x^2 = 2$
$-18x^2 + 85x - 100 = 0$
Умножим обе части на -1 для удобства:
$18x^2 - 85x + 100 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения:
$D = (-85)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 100 = 7225 - 7200 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{85 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 18} = \frac{85 \pm 5}{36}$.
$x_1 = \frac{85 + 5}{36} = \frac{90}{36} = \frac{5}{2} = 2.5$.
$x_2 = \frac{85 - 5}{36} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9}$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 2.5$, $y_1 = 7 - 3 \cdot 2.5 = 7 - 7.5 = -0.5$.
При $x_2 = \frac{20}{9}$, $y_2 = 7 - 3 \cdot \frac{20}{9} = 7 - \frac{20}{3} = \frac{21}{3} - \frac{20}{3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $(2.5, -0.5)$, $(\frac{20}{9}, \frac{1}{3})$.

в)$\begin{cases}3x^2 - 2y = 1 \\2x^2 - y^2 = 1\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x^2$: $3x^2 = 1 + 2y \implies x^2 = \frac{1+2y}{3}$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2 \cdot \frac{1+2y}{3} - y^2 = 1$
Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$2(1+2y) - 3y^2 = 3$
$2 + 4y - 3y^2 - 3 = 0$
$-3y^2 + 4y - 1 = 0$
$3y^2 - 4y + 1 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения относительно $y$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.
$y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$.
$y_1 = \frac{4+2}{6} = 1$.
$y_2 = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 1$: $x^2 = \frac{1+2 \cdot 1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \implies x = \pm 1$. Получаем две пары решений: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.
При $y_2 = \frac{1}{3}$: $x^2 = \frac{1+2 \cdot (1/3)}{3} = \frac{1+2/3}{3} = \frac{5/3}{3} = \frac{5}{9} \implies x = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$. Получаем еще две пары решений: $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$ и $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$.
Ответ: $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$, $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$.

г)$\begin{cases}3x^2 + 2y^2 = 11 \\x + 2y = 3\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = 3 - 2y$.
Подставим в первое уравнение:
$3(3 - 2y)^2 + 2y^2 = 11$
$3(9 - 12y + 4y^2) + 2y^2 = 11$
$27 - 36y + 12y^2 + 2y^2 = 11$
$14y^2 - 36y + 27 - 11 = 0$
$14y^2 - 36y + 16 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$7y^2 - 18y + 8 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 8 = 324 - 224 = 100$.
$y_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{18 \pm 10}{14}$.
$y_1 = \frac{18+10}{14} = \frac{28}{14} = 2$.
$y_2 = \frac{18-10}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 2$, $x_1 = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1$.
При $y_2 = \frac{4}{7}$, $x_2 = 3 - 2 \cdot \frac{4}{7} = 3 - \frac{8}{7} = \frac{21-8}{7} = \frac{13}{7}$.
Ответ: $(-1, 2)$, $(\frac{13}{7}, \frac{4}{7})$.

д)$\begin{cases}x^2 + y^2 = 100 \\3x = 4y\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = \frac{4y}{3}$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(\frac{4y}{3})^2 + y^2 = 100$
$\frac{16y^2}{9} + y^2 = 100$
$\frac{16y^2 + 9y^2}{9} = 100$
$\frac{25y^2}{9} = 100$
$25y^2 = 900$
$y^2 = \frac{900}{25} = 36$
$y = \pm 6$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 6$, $x_1 = \frac{4 \cdot 6}{3} = \frac{24}{3} = 8$.
При $y_2 = -6$, $x_2 = \frac{4 \cdot (-6)}{3} = \frac{-24}{3} = -8$.
Ответ: $(8, 6)$, $(-8, -6)$.

е)$\begin{cases}2x^2 - y^2 = 32 \\2x - y = 8\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 2x - 8$.
Подставим в первое уравнение:
$2x^2 - (2x - 8)^2 = 32$
$2x^2 - (4x^2 - 32x + 64) = 32$
$2x^2 - 4x^2 + 32x - 64 = 32$
$-2x^2 + 32x - 96 = 0$
Разделим все уравнение на -2:
$x^2 - 16x + 48 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета. Сумма корней $x_1+x_2=16$, произведение корней $x_1 \cdot x_2=48$. Подбором находим корни: $x_1=4$ и $x_2=12$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 12$, $y_1 = 2 \cdot 12 - 8 = 24 - 8 = 16$.
При $x_2 = 4$, $y_2 = 2 \cdot 4 - 8 = 8 - 8 = 0$.
Ответ: $(12, 16)$, $(4, 0)$.