Номер 707, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 707, страница 168.

707. Решите систему уравнений, используя способ сложения или подстановки:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{l}2x^2+y^2=9\\ x^2-y^2=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x^2=12\\ x^2-y^2=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}^2=4\\ 4-y^2=3\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}^2=4\\ y^2=1\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}{x}_1=2\text{ или }{x}_2=-2\\ y_1=1\text{ или }{y}_2=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2;-1)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{l}2x^2-xy=33\\ 4x-y=17\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=4x-17\\ 2x^2-x\left(4x-17\right)=33\end{array}\right. \\ 2x^2-4x^2+17x-33=0 \\ -2x^2+17x-33=0 \\ D=17^2-4·\left(-2\right)·\left(-33\right)=289-264=25 \\ x=\frac{-17\pm \sqrt{25}}{-4}, x=\frac{-17\pm 5}{-4} \\ {x}_1=3; x_2=\frac{22}{4}=\frac{11}{2}=5.5 \end{gathered}$$

Если $x=3x\; =\; 3$, то $y=4·3-17=12-17=-5y\; =\; 4\; \backslash cdot\; 3\; -\; 17\; =\; 12\; -\; 17\; =\; -5$,

Если $x=5,5$, то $y=4·5,5-17=5$

Ответ: (3;-5), (5,5;5)

$\mathbf{\text{в) }}\left\{\begin{array}{l}3x^2-2y=1\\ 2x^2-y^2=1\end{array}\right.$

Аналогичная система решена в №706 (в).

Можно предложить 2-й способ решения: способ сложения

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3x^2-2y=1 /·2\\ 2x^2-y^2=1 /·(-3)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6x^2-4y=2\\ -6x^2+3y^2=-3\end{array}\right. \\ 3y^2-4y=-1 \\ 3y^2-4y+1=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·3·1=16-12=4 \\ y=\frac{4\pm \sqrt{4}}{6}; y=\frac{4\pm 2}{6} \\ {y}_1=1; y_2=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Если $y=1y\; =\; 1$, то $$\begin{gathered} 2x^2-1^2=1; 2x^2-1=1; 2x^2=2 \\ {x}^2=1; x=1\text{ или }x=-1 \end{gathered}$$

Если $y={\displaystyle \frac{1}{3}}y\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$, то

$$\begin{gathered} 2x^2-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1; 2x^2-\frac{1}{9}=1; 2x^2=1\frac{1}{9} \\ {x}^2=\frac{10}{9·2}; x^2=\frac{5}{9}; x_1=\frac{\sqrt{5}}{3}\text{ или }{x}_2=-\frac{\sqrt{5}}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(1,1\right), \left(-1,1\right), \left(\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{1}{3}\right), \left(-\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{1}{3}\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \left\{\begin{array}{l}x-y-4=0\\ x^2+y^2=8,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x-y=4\\ x^2+y^2=8,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=4+y\\ {\left(4+y\right)}^2+y^2=8,5\end{array}\right. \\ {\left(4+y\right)}^2+y^2=8,5 \\ 16+8y+y^2+y^2-8,5=0 \\ 2y^2+8y+7,5=0 \\ D=8^2-4·2·7,5=64-60=4 \\ y=\frac{-8\pm \sqrt{4}}{4}; y=\frac{-8\pm 2}{4} \\ {y}_1=\frac{-6}{4}=-1,5; y_2=\frac{-10}{4}=-2,5 \end{gathered}$$

Если $y=-1,5y\; =\; -1,5$, то $x=4+\left(-1,5\right)=2,5x\; =\; 4\; +\; (-1,5)\; =\; 2,5$,

Если $y=-2,5y\; =\; -2,5$, то $x=4+\left(-2,5\right)=1,5x\; =\; 4\; +\; (-2,5)\; =\; 1,5$

Ответ: $\left(2,5;-1,5\right), \left(1,5;-2,5\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} \left\{\begin{array}{l}{x}^2+4y=10\\ x-2y=-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-5+2y\\ {\left(2y-5\right)}^2+4y=10\end{array}\right. \\ {\left(2y-5\right)}^2+4y=10 \\ 4y^2-20y+25+4y=10 \\ 4y^2-16y+25-10=0 \\ 4y^2-16y+15=0 \\ D={\left(-16\right)}^2-4·4·15=256-240=16 \\ y=\frac{16\pm \sqrt{16}}{8}, y=\frac{16\pm 4}{8} \\ {y}_1=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}=2,5; y_2=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1,5 \end{gathered}$$

Если $y=2,5y\; =\; 2,5$, то $x=2·2,5-5=0x\; =\; 2\; \backslash cdot\; 2,5\; -\; 5\; =\; 0$,

Если $y=1,5y\; =\; 1,5$, то $x=2·1,5-5=-2x\; =\; 2\; \backslash cdot\; 1,5\; -\; 5\; =\; -2$

Ответ: $\left(0;2,5\right), \left(-2;1,5\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} \left\{\begin{array}{l}x-2y+1=0\\ 5xy+y^2=16\end{array}\left\{\begin{array}{l}x-2y=-1\\ 5xy+y^2=16\end{array}\right.\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2y-1\\ 5y\left(2y-1\right)+y^2=16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2y-1\\ 10y^2-5y+y^2=16\end{array}\right. \\ 11y^2-5y-16=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·11·\left(-16\right)=25+704=729 \\ y=\frac{5\pm \sqrt{729}}{22}; y=\frac{5\pm 27}{22} \\ {y}_1=\frac{32}{22}=\frac{16}{11}=1\frac{5}{11}; y_2=-1 \end{gathered}$$

Если $y={\displaystyle \frac{16}{11}}y\; =\; \backslash frac\{16\}\{11\}$, то $x=2·{\displaystyle \frac{16}{11}}-1={\displaystyle \frac{32}{11}}-1={\displaystyle \frac{21}{11}}={\displaystyle \frac{20}{11}}x\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{16\}\{11\}\; -\; 1\; =\; \backslash frac\{32\}\{11\}\; -\; 1\; =\; \backslash frac\{21\}\{11\}\; =\; \backslash frac\{20\}\{11\}$

Если $y=-1y\; =\; -1$, то $x=2·\left(-1\right)-1=-2-1=-3x\; =\; 2\; \backslash cdot\; (-1)\; -\; 1\; =\; -2\; -\; 1\; =\; -3$

Ответ: $\left(1\frac{10}{11}; 1\frac{5}{11}\right), \left(-3;-1\right)$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9, \\ x^2 - y^2 = 3; \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части уравнений системы:
$(2x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 9 + 3$
$3x^2 = 12$

Отсюда находим $x^2$:
$x^2 = \frac{12}{3} = 4$
Это дает два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Подставим найденное значение $x^2 = 4$ во второе уравнение системы $x^2 - y^2 = 3$, чтобы найти $y$:
$4 - y^2 = 3$
$y^2 = 4 - 3$
$y^2 = 1$
Это дает два значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Комбинируя найденные значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x^2 - xy = 33, \\ 4x - y = 17; \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 4x - 17$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$2x^2 - x(4x - 17) = 33$
$2x^2 - 4x^2 + 17x = 33$
$-2x^2 + 17x - 33 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$2x^2 - 17x + 33 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 33 = 289 - 264 = 25 = 5^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 5}{4} = \frac{22}{4} = 5,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 4x - 17$:
При $x_1 = 5,5$: $y_1 = 4 \cdot 5,5 - 17 = 22 - 17 = 5$.
При $x_2 = 3$: $y_2 = 4 \cdot 3 - 17 = 12 - 17 = -5$.

Ответ: $(5,5; 5)$, $(3; -5)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x^2 - 2y = 1, \\ 2x^2 - y^2 = 1; \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$2y = 3x^2 - 1 \implies y = \frac{3x^2 - 1}{2}$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$2x^2 - \left(\frac{3x^2 - 1}{2}\right)^2 = 1$
$2x^2 - \frac{9x^4 - 6x^2 + 1}{4} = 1$
Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$8x^2 - (9x^4 - 6x^2 + 1) = 4$
$8x^2 - 9x^4 + 6x^2 - 1 = 4$
$-9x^4 + 14x^2 - 5 = 0$
$9x^4 - 14x^2 + 5 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $u = x^2$ (где $u \ge 0$):
$9u^2 - 14u + 5 = 0$
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 196 - 180 = 16 = 4^2$
$u_1 = \frac{14 + 4}{18} = \frac{18}{18} = 1$
$u_2 = \frac{14 - 4}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

Оба значения $u$ положительны, поэтому возвращаемся к переменной $x$:
1) $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Найдем $y$: $y = \frac{3(1) - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем решения $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.
2) $x^2 = \frac{5}{9} \implies x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$. Найдем $y$: $y = \frac{3(\frac{5}{9}) - 1}{2} = \frac{\frac{5}{3} - 1}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$. Получаем решения $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$ и $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$, $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y - 4 = 0, \\ x^2 + y^2 = 8,5; \end{cases} $$

Решим методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = y + 4$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$(y + 4)^2 + y^2 = 8,5$
$y^2 + 8y + 16 + y^2 = 8,5$
$2y^2 + 8y + 16 - 8,5 = 0$
$2y^2 + 8y + 7,5 = 0$
Умножим уравнение на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:
$4y^2 + 16y + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $y$:
$D = 16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 - 240 = 16 = 4^2$
$y_1 = \frac{-16 + 4}{8} = \frac{-12}{8} = -1,5$
$y_2 = \frac{-16 - 4}{8} = \frac{-20}{8} = -2,5$

Найдем соответствующие значения $x$ из $x = y + 4$:
При $y_1 = -1,5$: $x_1 = -1,5 + 4 = 2,5$.
При $y_2 = -2,5$: $x_2 = -2,5 + 4 = 1,5$.

Ответ: $(2,5; -1,5)$, $(1,5; -2,5)$.

д)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 4y = 10, \\ x - 2y = -5; \end{cases} $$

Применим метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 2y - 5$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$(2y - 5)^2 + 4y = 10$
$4y^2 - 20y + 25 + 4y = 10$
$4y^2 - 16y + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $y$:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 - 240 = 16 = 4^2$
$y_1 = \frac{16 + 4}{8} = \frac{20}{8} = 2,5$
$y_2 = \frac{16 - 4}{8} = \frac{12}{8} = 1,5$

Найдем соответствующие значения $x$ из $x = 2y - 5$:
При $y_1 = 2,5$: $x_1 = 2 \cdot 2,5 - 5 = 5 - 5 = 0$.
При $y_2 = 1,5$: $x_2 = 2 \cdot 1,5 - 5 = 3 - 5 = -2$.

Ответ: $(0; 2,5)$, $(-2; 1,5)$.

е)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y + 1 = 0, \\ 5xy + y^2 = 16; \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 2y - 1$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$5(2y - 1)y + y^2 = 16$
$10y^2 - 5y + y^2 = 16$
$11y^2 - 5y - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $y$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-16) = 25 + 704 = 729 = 27^2$
$y_1 = \frac{5 + 27}{22} = \frac{32}{22} = \frac{16}{11}$
$y_2 = \frac{5 - 27}{22} = \frac{-22}{22} = -1$

Найдем соответствующие значения $x$ из $x = 2y - 1$:
При $y_1 = \frac{16}{11}$: $x_1 = 2 \cdot \frac{16}{11} - 1 = \frac{32}{11} - \frac{11}{11} = \frac{21}{11}$.
При $y_2 = -1$: $x_2 = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$.

Ответ: $(\frac{21}{11}, \frac{16}{11})$, $(-3, -1)$.