Номер 709, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 709, страница 168.

709. Решите систему уравнений сначала графическим способом, а затем аналитическим.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}y=0,5x^2-2\\ y-x=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=0,5x^2-2\text{ - парабола}\\ y=x+2\text{ - прямая}\end{array}\right. \\ y=0,5x^2-2 \end{gathered}$$

x	0	1	2	3	4	5	-1	-2	-3	-4	-5
y	-2	-1,5	0	2,5	6	10,5	-1,5	0	2,5	6	10,5

y=x+2

x	0	-2
y	2	0

(-2;0), (4;6)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}y=0,5x^2-2\\ y-x=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}0,5x^2-2-x=2\\ y-x=2\end{array}\right. \\ 0,5x^2-x-4=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·0,5·\left(-4\right)=1+8=9 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{9}}{1}; x=\frac{1\pm 3}{1} \\ {x}_1=4; x_2=-2 \end{gathered}$$

Если x=4, то y-4=2, y=6,

если x=-2, то y-(-2)=2; y=0

Ответ: (4;6), (-2;0)

сначала графическим способом

Решение системы уравнений графическим способом заключается в построении графиков каждой функции в одной системе координат и нахождении координат точек их пересечения.

1. Построим график первого уравнения $y = 0.5x^2 - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Коэффициент $a=0.5$ означает, что парабола будет "шире", чем стандартная парабола $y = x^2$. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -b/(2a) = 0/(2 \cdot 0.5) = 0$. Ордината вершины $y_v = 0.5 \cdot 0^2 - 2 = -2$. Итак, вершина находится в точке $(0, -2)$. Найдем еще несколько точек для построения:
при $x = 2$, $y = 0.5 \cdot 2^2 - 2 = 0$; точка $(2, 0)$.
при $x = -2$, $y = 0.5 \cdot (-2)^2 - 2 = 0$; точка $(-2, 0)$.
при $x = 4$, $y = 0.5 \cdot 4^2 - 2 = 8 - 2 = 6$; точка $(4, 6)$.
при $x = -4$, $y = 0.5 \cdot (-4)^2 - 2 = 8 - 2 = 6$; точка $(-4, 6)$.

2. Построим график второго уравнения $y - x = 2$. Преобразуем его к виду $y = x + 2$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:
при $x = 0$, $y = 0 + 2 = 2$; точка $(0, 2)$.
при $x = -2$, $y = -2 + 2 = 0$; точка $(-2, 0)$.

3. Построим параболу и прямую в одной системе координат. Точки, в которых графики пересекаются, и будут решениями системы. Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках с координатами $(-2, 0)$ и $(4, 6)$.

Ответ: $(-2, 0), (4, 6)$.

а затем аналитическим

Для решения системы аналитическим способом применим метод подстановки.

Исходная система: $$ \begin{cases} y = 0.5x^2 - 2 \\ y - x = 2 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим y: $y = x + 2$.

Подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:
$x + 2 = 0.5x^2 - 2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$0.5x^2 - x - 2 - 2 = 0$
$0.5x^2 - x - 4 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 2:
$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные значения x в уравнение $y = x + 2$:
Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 4 + 2 = 6$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 2 = 0$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(-2, 0)$ и $(4, 6)$.

Ответ: $(-2, 0), (4, 6)$.