Номер 710, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 710, страница 168.

710. Решите систему уравнений:

а) $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+3xy=-1\\ x+2y=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-2y\\ {\left(-2y\right)}^2+y^2+3y·\left(-2y\right)=-1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=-2y\\ 4y^2+y^2-6y^2=-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-2y\\ -y^2=-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-2y\\ y^2=1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=-2y\\ y=1\text{ или }y=-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=1\\ x=-2\end{array}\right.\text{ или }\left\{\begin{array}{l}y=-1\\ x=2\end{array}\right.$

Ответ: (-2;1), (2;-1)

б) $\left\{\begin{array}{l}u+2v=4\\ u^2+uv-v=-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}u=4-2v\\ {\left(4-2v\right)}^2+\left(4-2v\right)v-v=-5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}u=4-2v\\ 16-16v+4v^2+4v-2v^2-v=-5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}u=4-2v\\ 2v^2-13v+16+5=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}u=4-2v\\ 2v^2-13v+21=0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 2v^2-13v+21=0 \\ D={\left(-13\right)}^2-4·2·21=169-168=1 \\ v=\frac{13\pm 1}{4}; v_1=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}; v_2=3 \end{gathered}$$

Если $v={\displaystyle \frac{7}{2}}v=\backslash frac\{7\}\{2\}$, то $u=4-2·\frac{7}{2}=4-7=-3,$

если $v=3v=3$, то $u=4-2·3=4-6=-2u\; =\; 4-2\; \backslash cdot\; 3\; =\; 4-6\; =\; -2$

Ответ: (-3; 3,5), (-2;3)

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0; \end{cases} $$

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Из второго, более простого, уравнения выразим переменную $x$ через $y$.

$x + 2y = 0 \implies x = -2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(-2y)^2 + y^2 + 3(-2y)y = -1$

Упростим полученное уравнение, раскрыв скобки и возведя в степень:

$4y^2 + y^2 - 6y^2 = -1$

Приведем подобные члены в левой части уравнения:

$(4 + 1 - 6)y^2 = -1$

$-y^2 = -1$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$y^2 = 1$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя ранее полученное выражение $x = -2y$.

1. При $y_1 = 1$ получаем:

$x_1 = -2 \cdot 1 = -2$

Таким образом, первая пара решений: $(-2, 1)$.

2. При $y_2 = -1$ получаем:

$x_2 = -2 \cdot (-1) = 2$

Таким образом, вторая пара решений: $(2, -1)$.

Ответ: $(-2, 1)$, $(2, -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} u + 2v = 4, \\ u^2 + uv - v = -5. \end{cases} $$

Решим данную систему также методом подстановки. Из первого линейного уравнения выразим переменную $u$ через $v$.

$u + 2v = 4 \implies u = 4 - 2v$

Подставим это выражение для $u$ во второе, квадратное, уравнение системы:

$(4 - 2v)^2 + (4 - 2v)v - v = -5$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$(16 - 16v + 4v^2) + (4v - 2v^2) - v = -5$

Приведем подобные члены, группируя слагаемые с одинаковыми степенями $v$:

$(4v^2 - 2v^2) + (-16v + 4v - v) + 16 = -5$

$2v^2 - 13v + 16 = -5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $av^2 + bv + c = 0$:

$2v^2 - 13v + 16 + 5 = 0$

$2v^2 - 13v + 21 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $v$ с помощью формулы корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a = 2$, $b = -13$, $c = 21$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 - 168 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm 1}{4}$

Первый корень:

$v_1 = \frac{13 + 1}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$

Второй корень:

$v_2 = \frac{13 - 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $u$ для каждого найденного значения $v$, используя выражение $u = 4 - 2v$.

1. При $v_1 = 3.5$ получаем:

$u_1 = 4 - 2 \cdot 3.5 = 4 - 7 = -3$

Таким образом, первая пара решений: $(-3, 3.5)$.

2. При $v_2 = 3$ получаем:

$u_2 = 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$

Таким образом, вторая пара решений: $(-2, 3)$.

Ответ: $(-3; 3,5)$, $(-2, 3)$.