Номер 715, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 715, страница 169.

715. При каких значениях k парабола y = x² + 1 и прямая y = kx имеют только одну общую точку?

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}y=x^2+1\\ y=kx\end{array}\right. \\ {x}^2+1=kx \\ {x}^2-kx+1=0 \\ D={\left(-k\right)}^2-4·1·1=k^2-4=0 \\ {k}^2=4; k=\pm 2 \end{gathered}$$

Ответ: при k=±2

Для того чтобы парабола $y = x^2 + 1$ и прямая $y = kx$ имели только одну общую точку, система уравнений, составленная из их уравнений, должна иметь единственное решение.
Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы $x$ общих точек:
$x^2 + 1 = kx$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $x$:
$x^2 - kx + 1 = 0$
Это уравнение является квадратным. Оно имеет единственное решение тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю.
Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ находится по формуле $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -k$, $c = 1$.
Найдем дискриминант:
$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 - 4$
Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение для $k$:
$k^2 - 4 = 0$
$k^2 = 4$
$k = \pm\sqrt{4}$
Следовательно, получаем два значения для $k$:
$k_1 = 2$
$k_2 = -2$
При этих значениях $k$ прямая является касательной к параболе, и они имеют ровно одну общую точку.
Ответ: $k = -2; 2$.