Номер 708, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 708, страница 168.

708. Решите систему уравнений:

$\mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{l}2x+4y=5\left(x-y\right)\\ x^2-y^2=6\end{array}\left\{\begin{array}{l}2x+4y=5x-5y\\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=6\end{array}\right.\right.$$\left\{\begin{array}{l}2x+4y-5x+5y=0\\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=6\end{array}\left\{\begin{array}{l}9y-3x=0 /:3\\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=6\end{array}\right.\right.$$\left\{\begin{array}{l}3y-x=0\\ x^2-y^2=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3y\\ {\left(3y\right)}^2-y^2=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3y\\ 8y^2=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3y\\ y^2=\frac{6}{8}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=3y\\ y^2=\frac{3}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3y\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ или }y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$

Если $y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}y\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$, то $x=3·\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2},$

Если $y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}y\; =\; -\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$, то $x=-3·{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}x\; =\; -3\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\; =\; -\backslash frac\{3\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$

Ответ: $\left({\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)(\backslash frac\{3\backslash sqrt\{3\}\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\})$, $\left(-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)(-\backslash frac\{3\backslash sqrt\{3\}\}\{2\},\; -\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\})$

$\mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{l}u-v=6\left(u+v\right)\\ u^2-v^2=6\end{array}\left\{\begin{array}{l}u-v=6\left(u+v\right)\\ \left(u-v\right)\left(u+v\right)=6\end{array}\right.\right.$$\left\{\begin{array}{l}u-v=6\left(u+v\right)\\ 6\left(u+v\right)\left(u+v\right)=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}u-v=6\left(u+v\right)\\ 6{\left(u+v\right)}^2=6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}u-v=6\left(u+v\right)\\ {\left(u+v\right)}^2=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}u+v=1\text{ или }u+v=-1\\ u-v=6\text{ или }u-v=-6\end{array}\right.$

$\begin{array}{lcl}\left\{\begin{array}{l}2u=7\\ u+v=1\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{l}2u=-7\\ u+v=-1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}u=3,5\\ 3,5+v=1\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}u=-3,5\\ -3,5+v=-1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}u=3,5\\ v=-2,5\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}u=-3,5\\ v=2,5\end{array}\right.\end{array}$

Ответ: $\left(3,5;-2,5\right)$, $\left(-3,5; 2,5\right)$

а) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 4y = 5(x - y) \\ x^2 - y^2 = 6 \end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$2x + 4y = 5x - 5y$

$4y + 5y = 5x - 2x$

$9y = 3x$

Отсюда выразим $x$ через $y$:

$x = 3y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(3y)^2 - y^2 = 6$

$9y^2 - y^2 = 6$

$8y^2 = 6$

$y^2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y_2 = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя соотношение $x = 3y$:

Если $y_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $x_1 = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Если $y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $x_2 = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, система имеет две пары решений.

Ответ: $(\frac{3\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

б) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} u - v = 6(u + v) \\ u^2 - v^2 = 6 \end{cases}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для второго уравнения:

$(u - v)(u + v) = 6$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $(u - v)$ из первого уравнения системы, то есть $u - v = 6(u + v)$:

$6(u + v) \cdot (u + v) = 6$

$6(u + v)^2 = 6$

Разделим обе части на 6:

$(u + v)^2 = 1$

Это уравнение распадается на два случая:

1. $u + v = 1$

2. $u + v = -1$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $u + v = 1$.

Подставив это в первое уравнение исходной системы, получим: $u - v = 6(1)$, то есть $u - v = 6$. Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} u + v = 1 \\ u - v = 6 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(u + v) + (u - v) = 1 + 6$, что дает $2u = 7$, откуда $u = \frac{7}{2}$.

Подставим найденное значение $u$ в уравнение $u + v = 1$: $\frac{7}{2} + v = 1$, откуда $v = 1 - \frac{7}{2} = \frac{2}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}$.

Первая пара решений: $(\frac{7}{2}; -\frac{5}{2})$.

Случай 2: $u + v = -1$.

Подставив это в первое уравнение исходной системы, получим: $u - v = 6(-1)$, то есть $u - v = -6$. Получаем систему:

$\begin{cases} u + v = -1 \\ u - v = -6 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(u + v) + (u - v) = -1 + (-6)$, что дает $2u = -7$, откуда $u = -\frac{7}{2}$.

Подставим найденное значение $u$ в уравнение $u + v = -1$: $-\frac{7}{2} + v = -1$, откуда $v = -1 + \frac{7}{2} = -\frac{2}{2} + \frac{7}{2} = \frac{5}{2}$.

Вторая пара решений: $(-\frac{7}{2}; \frac{5}{2})$.

Ответ: $(\frac{7}{2}; -\frac{5}{2})$, $(-\frac{7}{2}; \frac{5}{2})$.