Номер 705, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 705, страница 168.

705. Решите систему уравнений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{l}x+y=8\\ xy=-20\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=8-y\\ \left(8-y\right)y=-20\end{array}\right. \\ 8y-y^2+20=0 \\ -y^2+8y+20=0 \\ D=8^2-4·\left(-1\right)·20=64+80=144 \\ y=\frac{-8\pm \sqrt{144}}{-2}, y=\frac{-8\pm 12}{-2} \\ {y}_1=-2; y_2=10 \end{gathered}$$

Если y=-2, то x=8-(-2)=8+2=10,

если y=10, то x=8-10=-2

Ответ: (10; -2), (-2; 10)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{l}x-y=0,8\\ xy=2,4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=0,8+y\\ \left(0,8+y\right)y=2,4\end{array}\right. \\ 0,8y+y^2=2,4 \\ {y}^2+0,8y-2,4=0 \\ D=0,8^2-4·1·\left(-2,4\right)=0,64+9,6=10,24 \\ y=\frac{-0,8\pm \sqrt{10,24}}{2}, y=\frac{-0,8\pm 3,2}{2} \\ {y}_1=1,2; y_2=-2 \end{gathered}$$

Если y=1,2, то x=0,8+1,2=2,

если y=-2, то x=0,8+(-2)=-1,2

Ответ: (2; 1,2), (-1,2; -2)

$\mathbf{\text{в)}} \left\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=8\\ x-y=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\left(x-y\right)\left(x+y\right)=8\\ x-y=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4\left(x+y\right)=8\\ x-y=4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x-y=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x=6\\ x+y=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3\\ 3+y=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-1\end{array}\right.$

Ответ: (3; -1)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ x+y=-3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-3-y\\ {\left(-3-y\right)}^2+y^2=5\end{array}\right. \\ 9+6y+y^2+y^2=5 \\ 2y^2+6y+9-5=0 \\ 2y^2+6y+4=0 \\ D=36-4·2·4=36-32=4 \\ y=\frac{-6\pm \sqrt{4}}{4}, y=\frac{-6\pm 2}{4} \\ {y}_1=-1; y_2=-2 \end{gathered}$$

Если $y_1=-1$, то x=-3+1=-2,

если y=-2, то x=-3+2=-1

Ответ: (-2; -1), (-1; -2)

а) $ \begin{cases} x + y = 8 \\ xy = -20 \end{cases} $
Согласно теореме, обратной теореме Виета, переменные x и y являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим в это уравнение значения из системы:
$t^2 - 8t - 20 = 0$
Найдем корни этого уравнения, используя дискриминант:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$
$t_1 = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$t_2 = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(10; -2)$ и $(-2; 10)$.
Ответ: $(10; -2), (-2; 10)$.

б) $ \begin{cases} x - y = 0,8 \\ xy = 2,4 \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим x:
$x = y + 0,8$
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$(y + 0,8)y = 2,4$
$y^2 + 0,8y - 2,4 = 0$
Умножим все члены уравнения на 10, чтобы работать с целыми коэффициентами:
$10y^2 + 8y - 24 = 0$
Разделим на 2 для упрощения:
$5y^2 + 4y - 12 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2$
$y_1 = \frac{-4 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = 1,2$
$y_2 = \frac{-4 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$
Теперь найдем соответствующие значения x:
Если $y_1 = 1,2$, то $x_1 = 1,2 + 0,8 = 2$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 0,8 = -1,2$.
Решениями системы являются пары чисел $(2; 1,2)$ и $(-1,2; -2)$.
Ответ: $(2; 1,2), (-1,2; -2)$.

в) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ x - y = 4 \end{cases} $
Используем формулу разности квадратов для левой части первого уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Подставим в это выражение известные значения из системы:
$4 \cdot (x + y) = 8$
Отсюда находим $x + y$:
$x + y = \frac{8}{4} = 2$
Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 2 \end{cases} $
Сложим два уравнения почленно:
$(x - y) + (x + y) = 4 + 2$
$2x = 6$
$x = 3$
Подставим найденное значение x в любое из уравнений, например в $x + y = 2$:
$3 + y = 2$
$y = 2 - 3 = -1$
Решением системы является пара чисел $(3; -1)$.
Ответ: $(3; -1)$.

г) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x + y = -3 \end{cases} $
Возведем второе уравнение системы в квадрат:
$(x + y)^2 = (-3)^2$
$x^2 + 2xy + y^2 = 9$
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + y^2) + 2xy = 9$.
Из первого уравнения мы знаем, что $x^2 + y^2 = 5$. Подставим это значение:
$5 + 2xy = 9$
$2xy = 4$
$xy = 2$
Теперь мы получили новую систему, эквивалентную исходной:
$ \begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 2 \end{cases} $
По теореме, обратной теореме Виета, x и y являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-3)t + 2 = 0$, то есть $t^2 + 3t + 2 = 0$.
Корни этого уравнения легко находятся подбором: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(-1; -2)$ и $(-2; -1)$.
Ответ: $(-1; -2), (-2; -1)$.