Номер 698, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Графический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 698, страница 164.

698. Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько:

$\mathbf{\text{а)}} \left\{\begin{array}{l}y=x^3\\ xy=-12\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x^3\\ y=-\frac{12}{x}\end{array}\right.$

Ответ: не имеет решений

$\mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{l}y=x^2+8\\ y=-x^2+12\end{array}\right.$

Ответ: имеет два решения

$\mathbf{\text{в)}} \left\{\begin{array}{l}y=x^2+1\\ xy=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x^2+1\\ y=\frac{3}{x}\end{array}\right.$

Ответ: имеет одно решение

а) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^3 \\ xy = -12 \end{cases}$.

Первое уравнение, $y = x^3$, задает график функции, который называется кубической параболой. Этот график расположен в первой и третьей координатных четвертях и проходит через начало координат.

Второе уравнение, $xy = -12$, можно представить в виде $y = -12/x$. Это уравнение задает гиперболу. Так как коэффициент -12 отрицателен, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат.

Схематически изобразив графики, мы видим, что график функции $y=x^3$ целиком лежит в I и III четвертях, а график функции $y=-12/x$ — во II и IV четвертях. Так как множества точек этих графиков находятся в разных четвертях, они не имеют ни одной общей точки. Следовательно, система уравнений не имеет решений.

Для проверки можно решить систему аналитически. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x \cdot (x^3) = -12$

$x^4 = -12$

Данное уравнение не имеет действительных корней, поскольку четная степень действительного числа не может быть отрицательной. Это подтверждает, что у системы нет решений.

Ответ: система не имеет решений.

б) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^2 + 8 \\ y = -x^2 + 12 \end{cases}$.

Первое уравнение, $y = x^2 + 8$, задает параболу. Ветви этой параболы направлены вверх, а ее вершина находится в точке $(0, 8)$.

Второе уравнение, $y = -x^2 + 12$, также задает параболу. Ветви этой параболы направлены вниз, а ее вершина находится в точке $(0, 12)$.

Схематически изобразим эти два графика. Парабола, ветви которой направлены вверх, начинается в точке $(0, 8)$ и уходит вверх. Парабола, ветви которой направлены вниз, начинается в точке $(0, 12)$ и уходит вниз. Поскольку вершина первой параболы расположена ниже вершины второй, а их ветви направлены в противоположные стороны, графики пересекаются. Так как обе функции четные ($f(x) = f(-x)$), их графики симметричны относительно оси OY, а значит, будет две точки пересечения, симметричные друг другу.

Чтобы найти количество решений, приравняем правые части уравнений:

$x^2 + 8 = -x^2 + 12$

$2x^2 = 12 - 8$

$2x^2 = 4$

$x^2 = 2$

Уравнение имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$. Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: система имеет два решения.

в) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^2 + 1 \\ xy = 3 \end{cases}$.

Первое уравнение, $y = x^2 + 1$, задает параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 1)$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $y \ge 1$. Это значит, что график параболы полностью расположен в первой и второй координатных четвертях.

Второе уравнение, $xy = 3$, можно представить в виде $y = 3/x$. Это уравнение задает гиперболу. Так как коэффициент 3 положителен, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Сравним расположение графиков. Парабола $y = x^2 + 1$ находится в I и II четвертях. Гипербола $y = 3/x$ находится в I и III четвертях. Общей для обоих графиков является только первая координатная четверть, поэтому точки пересечения могут находиться только там.

В первой четверти $(x>0)$ парабола $y=x^2+1$ является возрастающей функцией, а гипербола $y=3/x$ — убывающей. Такое поведение функций говорит о том, что если они пересекаются, то точка пересечения будет единственной.

Проверим это аналитически. Подставим $y = x^2+1$ во второе уравнение:

$x(x^2 + 1) = 3$

$x^3 + x - 3 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x - 3$. Найдем ее производную: $f'(x) = 3x^2 + 1$. Поскольку $x^2 \ge 0$, производная $f'(x)$ всегда положительна. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Строго возрастающая функция может пересечь ось абсцисс (то есть, иметь корень) не более одного раза. Проверим значения функции на концах некоторого отрезка, например, $f(1) = 1^3 + 1 - 3 = -1$ и $f(2) = 2^3 + 2 - 3 = 7$. Так как $f(1) < 0$ и $f(2) > 0$, а функция непрерывна, она имеет единственный корень на интервале $(1, 2)$. Этот корень положителен, что соответствует пересечению в первой четверти.

Ответ: система имеет одно решение.