Номер 692, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 692, страница 162.

692. В системе двух уравнений с двумя переменными первым является уравнение y – |x| = 0, а вторым — уравнение вида y = kx + b, где k и b — некоторые числа. Известно, что прямая — график второго уравнения пересекает ось х в точке (–3; 0). Подберите в уравнении y = kx + b коэффициенты k и b так, чтобы система:

1) имела два решения;

2) имела одно решение;

3) не имела решений.

$\left\{\begin{array}{l}y-\left|x\right|=0\\ y=kx+b\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\left|x\right|\\ y=kx+b\end{array}\right.$

Прямая y=kx+b пересекает ось x в точке (-3;0)

1)

Прямая проходит через точку (4;4)

$\left\{\begin{array}{l}4k+b=4\\ -3k+b=0 /·(-1)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4k+b=4\\ 3k-b=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}7k=4\\ -3k+b=0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{4}{7}\\ -3·\frac{4}{7}+b=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=\frac{4}{7}\\ -\frac{12}{7}+b=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=\frac{4}{7}\\ b=\frac{12}{7}\end{array}\right.$

$k=\frac{4}{7}; b=1\frac{5}{7}$

2)

Прямая проходит через точку (0;0)

$\left\{\begin{array}{l}0·k+b=0\\ -3k+b=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=0\\ -3k=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=0\\ k=0\end{array}\right.$

k=b=0

3)

Прямая проходит через точку (0;-3)

$\left\{\begin{array}{l}0k+b=-3\\ -3k+b=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=-3\\ -3k-3=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=-3\\ -3k=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=-3\\ k=-1\end{array}\right.$

k=-1; b=-3

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} y - |x| = 0 \\ y = kx + b \end{cases} $$ Первое уравнение можно переписать в виде $y = |x|$. График этой функции представляет собой две полупрямые (два луча), выходящие из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0; 0)$.

Второе уравнение $y = kx + b$ — это уравнение прямой, где $k$ — угловой коэффициент (наклон), а $b$ — ордината точки пересечения с осью $y$.

По условию, прямая $y = kx + b$ проходит через точку $(-3; 0)$. Подставим координаты этой точки в уравнение прямой, чтобы найти связь между коэффициентами $k$ и $b$: $0 = k \cdot (-3) + b$ $0 = -3k + b$ $b = 3k$

Таким образом, уравнение прямой можно записать в виде $y = kx + 3k$ или $y = k(x+3)$. Это означает, что мы ищем прямую из семейства прямых, проходящих через точку $(-3; 0)$. Число решений системы равно числу точек пересечения графика функции $y = |x|$ и прямой $y = k(x+3)$.

Проанализируем взаимное расположение графиков в зависимости от значения коэффициента $k$.

1) имела два решения

Система будет иметь два решения, если прямая $y = k(x+3)$ пересечет обе ветви графика $y = |x|$. Рассмотрим пересечение с ветвью $y = x$ (при $x \ge 0$): $k(x+3) = x \Rightarrow kx + 3k = x \Rightarrow (k-1)x = -3k \Rightarrow x = \frac{-3k}{k-1}$. Для пересечения с этой ветвью нужно, чтобы было $x > 0$ (случай $x=0$ дает только одно решение в начале координат). Чтобы дробь $\frac{-3k}{k-1}$ была положительной, числитель и знаменатель должны быть одного знака.

Рассмотрим пересечение с ветвью $y = -x$ (при $x < 0$): $k(x+3) = -x \Rightarrow kx + 3k = -x \Rightarrow (k+1)x = -3k \Rightarrow x = \frac{-3k}{k+1}$. Для пересечения с этой ветвью нужно, чтобы было $x < 0$.

Чтобы было два решения, прямая должна пересекать обе ветви. Это происходит, когда прямая проходит "внутри" V-образной фигуры. Её наклон должен быть больше, чем наклон левой ветви ($k > -1$), но меньше, чем наклон правой ветви ($k < 1$). Также, если $k=0$, то прямая $y=0$ пересекает график $y=|x|$ только в одной точке $(0;0)$. Значит, для двух решений нужно, чтобы $k > 0$. Объединяя условия, получаем $0 < k < 1$. Например, выберем $k = \frac{1}{2}$. Тогда $b = 3k = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: например, $k = \frac{1}{2}$, $b = \frac{3}{2}$.

2) имела одно решение

Система будет иметь одно решение в нескольких случаях:

• Прямая проходит через вершину графика $y=|x|$ в точке $(0;0)$. Это происходит, когда прямая $y=k(x+3)$ сама является осью абсцисс. Для этого $k=0$. Тогда $b = 3k = 0$. Уравнение прямой $y=0$. Она пересекает $y=|x|$ в единственной точке $(0;0)$.
• Прямая параллельна одной из ветвей графика $y=|x|$. Если $k=1$, прямая $y = x+3$ параллельна ветви $y=x$. Она пересечет ветвь $y=-x$ в одной точке: $-x = x+3 \Rightarrow -2x=3 \Rightarrow x = -1.5$. Это единственное решение. В этом случае $b=3k=3$.
• Прямая пересекает только одну из ветвей. Это происходит, когда $k > 1$ (прямая пересекает только ветвь $y=-x$) или когда $k < -1$ (прямая пересекает только ветвь $y=-x$).

Можно выбрать любой из этих случаев. Возьмем случай, когда прямая параллельна правой ветви, то есть $k=1$. Тогда $b = 3k = 3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: например, $k=1$, $b=3$.

3) не имела решений

Система не будет иметь решений, если прямая $y=k(x+3)$ не пересекает график $y=|x|$. Прямая проходит через точку $(-3;0)$. Чтобы не пересечь V-образный график, который целиком лежит в верхней полуплоскости, прямая должна иметь отрицательный наклон и проходить "под" графиком.

Левая ветвь графика $y=|x|$ — это прямая $y=-x$ с угловым коэффициентом $-1$. Если наша прямая $y=k(x+3)$ будет ей параллельна, то есть $k=-1$, то она не пересечет левую ветвь (так как не совпадает с ней). Проверим пересечение с правой ветвью $y=x$: $x = -1(x+3) \Rightarrow x = -x-3 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x=-1.5$. Это значение не удовлетворяет условию $x \ge 0$, значит, пересечения с правой ветвью тоже нет. При $k=-1$ решений нет.

Если наклон прямой будет между $-1$ и $0$ (то есть $-1 < k < 0$), прямая также будет проходить под обеими ветвями графика $y=|x|$, не пересекая их. Таким образом, система не имеет решений при $-1 \le k < 0$. Выберем, например, $k=-1$. Тогда $b = 3k = 3 \cdot (-1) = -3$.

Ответ: например, $k=-1$, $b=-3$.