Номер 690, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 690, страница 162.

690. Прямая a задана уравнением x + 2y = 5. Среди уравнений прямых:

найдите те, которые вместе с уравнением прямой a образуют систему: 1) имеющую единственное решение; 2) не имеющую решений; 3) имеющую бесконечно много решений.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a: }}x+2y=5 \\ 2y=5-x \\ y=\frac{5-x}{2} \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{1) }}x+y=5 \\ y=5-x \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{\text{2) }}\frac{1}{4}y-4x=0 \\ \frac{1}{4}y=4x\mathrm{/}·4 \\ y=16x \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{\text{3) }}6y+3x=0 \\ 6y=-3x \\ y=\frac{-3x}{6} \\ y=-\frac{1}{2}x \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \mathbf{\text{4) }}0,6x-3=-1.2 \\ 0,6x=-1,2+3 \\ 0,6x=1,8 \\ x=3 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{\text{5) }}2x+4y=10 \\ 4y=10-2x \\ y=\frac{10-2x}{4} \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{\text{6) }}2x+4y=9 \\ 4y=9-2x \\ y=\frac{9-2x}{4} \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{4} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \mathbf{\text{7) }}15-3x=6y \\ y=\frac{15-3x}{6} \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{\text{8) }}0,5y+0,25x=4,8\mathrm{/}·2 \\ y+0,5x=9,6 \\ y=9,6-0,5x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{I)}} \left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ x+y=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ \frac{1}{4}y-4x=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 0,6x-3=-1,2\end{array}\right. \\ \mathbf{\text{II)}} \left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 6y+3x=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 2x+4y=9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 0,5y+0,25x=4,8\end{array}\right. \\ \mathbf{\text{III)}} \left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 2x+4y=10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 15-3x=6y\end{array}\right. \end{gathered}$$

Для решения задачи проанализируем каждую систему, состоящую из уравнения прямой a и одного из предложенных уравнений.Исходное уравнение прямой a: $x + 2y = 5$.В общем виде система двух линейных уравнений выглядит так:$\begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases}$Для нашего исходного уравнения коэффициенты равны: $A_1 = 1$, $B_1 = 2$, $C_1 = 5$.

Система имеет:

• единственное решение, если прямые пересекаются, то есть их угловые коэффициенты различны. Условие для коэффициентов: $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$.
• не имеет решений, если прямые параллельны и не совпадают. Условие для коэффициентов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.
• бесконечно много решений, если прямые совпадают. Условие для коэффициентов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

Рассмотрим каждое из предложенных уравнений.

1) имеющую единственное решение

Нам нужно найти уравнения, для которых выполняется условие $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$.

• Уравнение $x + y = 5$.
  Система: $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ x + y = 5 \end{cases}$.
  Здесь $A_2 = 1, B_2 = 1$. Проверяем соотношение: $\frac{1}{1} \neq \frac{2}{1}$. Условие выполняется, система имеет единственное решение.

• Уравнение $\frac{1}{4}y - 4x = 0$.
  Приведем к стандартному виду: $-4x + \frac{1}{4}y = 0$.
  Система: $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ -4x + \frac{1}{4}y = 0 \end{cases}$.
  Здесь $A_2 = -4, B_2 = \frac{1}{4}$. Проверяем соотношение: $\frac{1}{-4} \neq \frac{2}{1/4}$, так как $-\frac{1}{4} \neq 8$. Условие выполняется, система имеет единственное решение.

• Уравнение $0,6x - 3 = -1,2$.
  Это уравнение с одной переменной. Решим его: $0,6x = 1,8 \implies x=3$.
  Это уравнение задает вертикальную прямую. Исходная прямая $x+2y=5$ (или $y = -0,5x + 2,5$) не является вертикальной. Любая невертикальная прямая пересекает вертикальную ровно в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.

Ответ: $x + y = 5$; $\frac{1}{4}y - 4x = 0$; $0,6x - 3 = -1,2$.

2) не имеющую решений

Нам нужно найти уравнения, для которых выполняется условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

• Уравнение $6y + 3x = 10$.
  Приведем к стандартному виду: $3x + 6y = 10$.
  Система: $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 6y = 10 \end{cases}$.
  Здесь $A_2 = 3, B_2 = 6, C_2 = 10$. Проверяем соотношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{3}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
  Так как $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} \neq \frac{1}{2}$, условие выполняется. Система не имеет решений.

• Уравнение $2x + 4y = 9$.
  Система: $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 9 \end{cases}$.
  Здесь $A_2 = 2, B_2 = 4, C_2 = 9$. Проверяем соотношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{5}{9}$.
  Так как $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{5}{9}$, условие выполняется. Система не имеет решений.

• Уравнение $0,5y + 0,25x = 4,8$.
  Приведем к стандартному виду: $0,25x + 0,5y = 4,8$.
  Система: $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 0,25x + 0,5y = 4,8 \end{cases}$.
  Здесь $A_2 = 0,25, B_2 = 0,5, C_2 = 4,8$. Проверяем соотношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{0,25} = 4$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{0,5} = 4$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{5}{4,8} = \frac{50}{48} = \frac{25}{24}$.
  Так как $4 = 4 \neq \frac{25}{24}$, условие выполняется. Система не имеет решений.

Ответ: $6y + 3x = 10$; $2x + 4y = 9$; $0,5y + 0,25x = 4,8$.

3) имеющую бесконечно много решений

Нам нужно найти уравнения, для которых выполняется условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

• Уравнение $2x + 4y = 10$.
  Система: $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases}$.
  Здесь $A_2 = 2, B_2 = 4, C_2 = 10$. Проверяем соотношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
  Так как $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, условие выполняется. Система имеет бесконечно много решений.

• Уравнение $15 - 3x = 6y$.
  Приведем к стандартному виду: $-3x - 6y = -15$, или, умножив на -1, $3x + 6y = 15$.
  Система: $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 6y = 15 \end{cases}$.
  Здесь $A_2 = 3, B_2 = 6, C_2 = 15$. Проверяем соотношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{3}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
  Так как $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$, условие выполняется. Система имеет бесконечно много решений.

Ответ: $2x + 4y = 10$; $15 - 3x = 6y$.