Номер 697, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Графический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 697, страница 164.

697. Решите графически систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}y-x^2=0\\ 2x-y+3=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=2x+3\end{array}\right.$

Ответ: (-1;1); (3;9)

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения графиков будут являться решением системы.

1. Построение графика первого уравнения $y - x^2 = 0$

Сначала выразим y из первого уравнения:

$y = x^2$

Это уравнение задает параболу с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих параболе, составив таблицу значений:

x	-2	-1	0	1	2	3
y = x?	4	1	0	1	4	9

2. Построение графика второго уравнения $2x - y + 3 = 0$

Теперь выразим y из второго уравнения:

$-y = -2x - 3$

$y = 2x + 3$

Это уравнение задает прямую линию. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек. Возьмем два произвольных значения x и вычислим соответствующие значения y:

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку (0, 3).
• Если $x = -1$, то $y = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$. Получаем точку (-1, 1).

3. Нахождение решения

Построим параболу $y = x^2$ и прямую $y = 2x + 3$ в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках, координаты которых и являются решением системы. Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты $(-1, 1)$ и $(3, 9)$.

Для уверенности можно выполнить проверку, подставив координаты найденных точек в оба уравнения системы.

Проверка для точки $(-1, 1)$:

$\begin{cases} 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0 \\ 2(-1) - 1 + 3 = -2 - 1 + 3 = 0 \end{cases}$

Оба равенства верны.

Проверка для точки $(3, 9)$:

$\begin{cases} 9 - 3^2 = 9 - 9 = 0 \\ 2(3) - 9 + 3 = 6 - 9 + 3 = 0 \end{cases}$

Оба равенства верны.

Таким образом, графическое решение найдено верно.

Ответ: $(-1, 1), (3, 9)$.