Страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

696. Является ли решением системы уравнений пара чисел:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ 6x+5y=-4\end{array}\right.$

a) (-2;1)

${(-2)}^2+1^2=4+1-5$ - верно

$6·(-2)+5·1=-12+5=-7\ne -4$ - неверно

Ответ: нет

б) (1;-2)

$1^2+{(-2)}^2=1+4=5$ - верно

6*1+5(-2)=6-10=-4 - верно

Ответ: да

Чтобы определить, является ли пара чисел решением системы уравнений, необходимо подставить значения переменных из этой пары в каждое уравнение системы. Если оба уравнения обращаются в верные числовые равенства, то пара является решением системы. Если хотя бы одно уравнение обращается в неверное равенство, то пара не является решением.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ 6x + 5y = -4 \end{cases} $

а) (-2; 1)

Проверим пару чисел $(-2; 1)$, где $x = -2$ и $y = 1$.

Подставим эти значения в первое уравнение системы:

$x^2 + y^2 = 5$

$(-2)^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$5 = 5$

Первое уравнение обратилось в верное равенство.

Теперь подставим эти значения во второе уравнение системы:

$6x + 5y = -4$

$6 \cdot (-2) + 5 \cdot 1 = -12 + 5 = -7$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $-7 \neq -4$.

Второе уравнение обратилось в неверное равенство. Так как одно из уравнений не выполняется, пара чисел $(-2; 1)$ не является решением системы.

Ответ: не является.

б) (1; -2)

Проверим пару чисел $(1; -2)$, где $x = 1$ и $y = -2$.

Подставим эти значения в первое уравнение системы:

$x^2 + y^2 = 5$

$1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$

$5 = 5$

Первое уравнение обратилось в верное равенство.

Теперь подставим эти значения во второе уравнение системы:

$6x + 5y = -4$

$6 \cdot 1 + 5 \cdot (-2) = 6 - 10 = -4$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $-4 = -4$.

Второе уравнение также обратилось в верное равенство. Так как оба уравнения выполняются, пара чисел $(1; -2)$ является решением системы.

Ответ: является.

697. Решите графически систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}y-x^2=0\\ 2x-y+3=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=2x+3\end{array}\right.$

Ответ: (-1;1); (3;9)

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения графиков будут являться решением системы.

1. Построение графика первого уравнения $y - x^2 = 0$

Сначала выразим y из первого уравнения:

$y = x^2$

Это уравнение задает параболу с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих параболе, составив таблицу значений:

2. Построение графика второго уравнения $2x - y + 3 = 0$

Теперь выразим y из второго уравнения:

$-y = -2x - 3$

$y = 2x + 3$

Это уравнение задает прямую линию. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек. Возьмем два произвольных значения x и вычислим соответствующие значения y:

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку (0, 3).
• Если $x = -1$, то $y = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$. Получаем точку (-1, 1).

3. Нахождение решения

Построим параболу $y = x^2$ и прямую $y = 2x + 3$ в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках, координаты которых и являются решением системы. Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты $(-1, 1)$ и $(3, 9)$.

Для уверенности можно выполнить проверку, подставив координаты найденных точек в оба уравнения системы.

Проверка для точки $(-1, 1)$:

$\begin{cases} 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0 \\ 2(-1) - 1 + 3 = -2 - 1 + 3 = 0 \end{cases}$

Оба равенства верны.

Проверка для точки $(3, 9)$:

$\begin{cases} 9 - 3^2 = 9 - 9 = 0 \\ 2(3) - 9 + 3 = 6 - 9 + 3 = 0 \end{cases}$

Оба равенства верны.

Таким образом, графическое решение найдено верно.

Ответ: $(-1, 1), (3, 9)$.

698. Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько:

$\mathbf{\text{а)}} \left\{\begin{array}{l}y=x^3\\ xy=-12\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x^3\\ y=-\frac{12}{x}\end{array}\right.$

Ответ: не имеет решений

$\mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{l}y=x^2+8\\ y=-x^2+12\end{array}\right.$

Ответ: имеет два решения

$\mathbf{\text{в)}} \left\{\begin{array}{l}y=x^2+1\\ xy=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x^2+1\\ y=\frac{3}{x}\end{array}\right.$

Ответ: имеет одно решение

а) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^3 \\ xy = -12 \end{cases}$.

Первое уравнение, $y = x^3$, задает график функции, который называется кубической параболой. Этот график расположен в первой и третьей координатных четвертях и проходит через начало координат.

Второе уравнение, $xy = -12$, можно представить в виде $y = -12/x$. Это уравнение задает гиперболу. Так как коэффициент -12 отрицателен, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат.

Схематически изобразив графики, мы видим, что график функции $y=x^3$ целиком лежит в I и III четвертях, а график функции $y=-12/x$ — во II и IV четвертях. Так как множества точек этих графиков находятся в разных четвертях, они не имеют ни одной общей точки. Следовательно, система уравнений не имеет решений.

Для проверки можно решить систему аналитически. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x \cdot (x^3) = -12$

$x^4 = -12$

Данное уравнение не имеет действительных корней, поскольку четная степень действительного числа не может быть отрицательной. Это подтверждает, что у системы нет решений.

Ответ: система не имеет решений.

б) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^2 + 8 \\ y = -x^2 + 12 \end{cases}$.

Первое уравнение, $y = x^2 + 8$, задает параболу. Ветви этой параболы направлены вверх, а ее вершина находится в точке $(0, 8)$.

Второе уравнение, $y = -x^2 + 12$, также задает параболу. Ветви этой параболы направлены вниз, а ее вершина находится в точке $(0, 12)$.

Схематически изобразим эти два графика. Парабола, ветви которой направлены вверх, начинается в точке $(0, 8)$ и уходит вверх. Парабола, ветви которой направлены вниз, начинается в точке $(0, 12)$ и уходит вниз. Поскольку вершина первой параболы расположена ниже вершины второй, а их ветви направлены в противоположные стороны, графики пересекаются. Так как обе функции четные ($f(x) = f(-x)$), их графики симметричны относительно оси OY, а значит, будет две точки пересечения, симметричные друг другу.

Чтобы найти количество решений, приравняем правые части уравнений:

$x^2 + 8 = -x^2 + 12$

$2x^2 = 12 - 8$

$2x^2 = 4$

$x^2 = 2$

Уравнение имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$. Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: система имеет два решения.

в) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^2 + 1 \\ xy = 3 \end{cases}$.

Первое уравнение, $y = x^2 + 1$, задает параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 1)$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $y \ge 1$. Это значит, что график параболы полностью расположен в первой и второй координатных четвертях.

Второе уравнение, $xy = 3$, можно представить в виде $y = 3/x$. Это уравнение задает гиперболу. Так как коэффициент 3 положителен, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Сравним расположение графиков. Парабола $y = x^2 + 1$ находится в I и II четвертях. Гипербола $y = 3/x$ находится в I и III четвертях. Общей для обоих графиков является только первая координатная четверть, поэтому точки пересечения могут находиться только там.

В первой четверти $(x>0)$ парабола $y=x^2+1$ является возрастающей функцией, а гипербола $y=3/x$ — убывающей. Такое поведение функций говорит о том, что если они пересекаются, то точка пересечения будет единственной.

Проверим это аналитически. Подставим $y = x^2+1$ во второе уравнение:

$x(x^2 + 1) = 3$

$x^3 + x - 3 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x - 3$. Найдем ее производную: $f'(x) = 3x^2 + 1$. Поскольку $x^2 \ge 0$, производная $f'(x)$ всегда положительна. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Строго возрастающая функция может пересечь ось абсцисс (то есть, иметь корень) не более одного раза. Проверим значения функции на концах некоторого отрезка, например, $f(1) = 1^3 + 1 - 3 = -1$ и $f(2) = 2^3 + 2 - 3 = 7$. Так как $f(1) < 0$ и $f(2) > 0$, а функция непрерывна, она имеет единственный корень на интервале $(1, 2)$. Этот корень положителен, что соответствует пересечению в первой четверти.

Ответ: система имеет одно решение.

699. Решите графически систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2-4=0\\ y^2-9=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}(x-2)(x+2)=0\\ (y-3)(y+3)=0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x-2=0 \text{или} x+2=0\\ y-3=0 \text{или} y+3=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2 \text{или} x=-2\\ y=3 \text{или} y=-3\end{array}\right.$

Ответ: (2;3), (-2;3), (2;-3), (-2;-3)

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить график для каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков являются решениями системы.

Рассмотрим первое уравнение системы: $x^2 - 4 = 0$. Преобразуем его: $x^2 = 4$. Это уравнение распадается на два: $x = 2$ и $x = -2$. Графиком уравнения $x=2$ является вертикальная прямая, которая проходит через точку $(2, 0)$ и параллельна оси ординат (OY). Графиком уравнения $x=-2$ является вертикальная прямая, которая проходит через точку $(-2, 0)$ и также параллельна оси ординат. Таким образом, график первого уравнения представляет собой пару вертикальных прямых.

Рассмотрим второе уравнение системы: $y^2 - 9 = 0$. Преобразуем его: $y^2 = 9$. Это уравнение распадается на два: $y = 3$ и $y = -3$. Графиком уравнения $y=3$ является горизонтальная прямая, которая проходит через точку $(0, 3)$ и параллельна оси абсцисс (OX). Графиком уравнения $y=-3$ является горизонтальная прямая, которая проходит через точку $(0, -3)$ и также параллельна оси абсцисс. Таким образом, график второго уравнения представляет собой пару горизонтальных прямых.

Для нахождения решения системы найдем точки пересечения построенных графиков. Две вертикальные прямые ($x=2$ и $x=-2$) пересекаются с двумя горизонтальными прямыми ($y=3$ и $y=-3$). Каждая вертикальная прямая пересекает каждую горизонтальную, что в итоге дает четыре точки пересечения. Координаты этих точек и являются решениями системы:

• пересечение прямых $x=2$ и $y=3$ дает точку $(2; 3)$;
• пересечение прямых $x=2$ и $y=-3$ дает точку $(2; -3)$;
• пересечение прямых $x=-2$ и $y=3$ дает точку $(-2; 3)$;
• пересечение прямых $x=-2$ и $y=-3$ дает точку $(-2; -3)$.

Ответ: $(2; 3)$, $(2; -3)$, $(-2; 3)$, $(-2; -3)$.