Страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

719. Было продано 42 л брусничного и грушевого сока. Брусничного сока было продано в 2,5 раза меньше, чем грушевого. Сколько литров грушевого сока было продано?

Пусть х(л) было продано брусничного сока, а у(л) было продано грушевого сока.

Тогда по условию x+y=42 и 2,5x=y

Составим и решим систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}x+y=42\\ y=2,5x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x+2,5x=42\\ y=2,5x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3,5x=42\\ y=2,5x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=12\\ y=2,5·12\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=12\\ y=30\end{array}\right.$

Ответ: 30л

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть количество проданного брусничного сока равно $x$ литров.
Из условия известно, что брусничного сока было продано в 2,5 раза меньше, чем грушевого. Это значит, что грушевого сока было продано в 2,5 раза больше, чем брусничного. Следовательно, количество проданного грушевого сока составляет $2.5 \times x$ литров.
Всего было продано 42 литра сока, поэтому мы можем записать следующее уравнение, суммируя объемы брусничного и грушевого сока:
$x + 2.5x = 42$
Теперь решим это уравнение. Сложим слагаемые с переменной $x$:
$3.5x = 42$
Найдем $x$, разделив 42 на 3,5:
$x = \frac{42}{3.5}$
Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{420}{35}$
$x = 12$
Таким образом, было продано 12 литров брусничного сока.
В задаче требуется найти, сколько литров грушевого сока было продано. Для этого умножим найденное количество брусничного сока на 2,5:
$2.5 \times 12 = 30$ литров.
Можно выполнить проверку: $12$ л (брусничный) + $30$ л (грушевый) = $42$ л (всего), что соответствует условию задачи.

Ответ: было продано 30 литров грушевого сока.

720. Существуют ли два таких натуральных числа, что сумма первого числа и утроенного второго равна 10, а разность первого и утроенного второго равна 2?

Пусть х - первое, а у - второе натуральные числа. По условию составим и решим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}x+3y=10\\ x-3y=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x=12\\ x-3y=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=6\\ 6-3y=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=6\\ 3y=4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=\frac{4}{3}\notin N\end{array}\right.$

Ответ: не существует

Для решения этой задачи введем две переменные. Пусть первое натуральное число будет $x$, а второе натуральное число — $y$. Согласно условию, эти числа должны быть натуральными, то есть $x \in \mathbb{N}$ и $y \in \mathbb{N}$.

Из условия задачи составим систему уравнений:

1. Сумма первого числа и утроенного второго равна 10: $x + 3y = 10$.

2. Разность первого и утроенного второго равна 2: $x - 3y = 2$.

Таким образом, мы получили систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + 3y = 10 \\ x - 3y = 2 \end{cases} $$

Для решения системы воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений: $$ (x + 3y) + (x - 3y) = 10 + 2 $$ $$ 2x = 12 $$ Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$: $$ x = \frac{12}{2} $$ $$ x = 6 $$

Теперь, зная значение $x$, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Подставим $x = 6$ в первое уравнение: $$ 6 + 3y = 10 $$ Вычтем 6 из обеих частей уравнения: $$ 3y = 10 - 6 $$ $$ 3y = 4 $$ Разделим обе части на 3: $$ y = \frac{4}{3} $$

В результате решения системы мы получили значения $x=6$ и $y=\frac{4}{3}$. Теперь проверим, удовлетворяют ли эти числа условию, что они должны быть натуральными. Число $x=6$ является натуральным. Число $y=\frac{4}{3}$ (или $1\frac{1}{3}$) является дробным, а не натуральным числом. Поскольку одно из чисел не является натуральным, то пары натуральных чисел, удовлетворяющей условиям задачи, не существует.

Ответ: нет, таких натуральных чисел не существует.

721. В мастерской сшили 65 курток и спортивных костюмов. Сколько сшили курток и сколько спортивных костюмов, если курток сшили в 1,6 раза больше, чем спортивных костюмов?

Пусть х курток и у спортивных костюмов сшили в мастерской. По условию задачи составим и решим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=65\\ x=1,6y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}1,6y+y=65\\ x=1,6y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2,6y=65\\ x=1,6y\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=25\\ x=1,6·25\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=25\\ x=40\end{array}\right.$

Ответ: 40 курток и 25 спортивных костюмов

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ — это количество спортивных костюмов, сшитых в мастерской.

По условию задачи, курток сшили в 1,6 раза больше, чем спортивных костюмов. Следовательно, количество курток можно выразить как $1.6 \cdot x$.

Общее количество сшитых изделий — 65. Это сумма количества курток и количества спортивных костюмов. Составим уравнение: $x + 1.6x = 65$

Теперь решим полученное уравнение. Сложим подобные слагаемые в левой части: $2.6x = 65$

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на 2,6: $x = \frac{65}{2.6}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10: $x = \frac{650}{26}$

Выполним деление: $x = 25$

Таким образом, в мастерской сшили 25 спортивных костюмов.

Теперь найдем, сколько сшили курток, умножив количество спортивных костюмов на 1,6: $1.6 \cdot 25 = 40$

Итак, было сшито 40 курток.

Проверим, соответствует ли общее количество условию задачи: $25$ (спортивных костюмов) $+ 40$ (курток) $= 65$ (изделий).

Ответ: сшили 40 курток и 25 спортивных костюмов.

722. Коля сказал, что в его группе по изучению английского языка 18 мальчиков и девочек, и мальчиков на три меньше, чем девочек. Правильно ли сосчитал Коля?

Пусть х девочек и у мальчиков в группе по изучению английского языка.

По условию задачи составим и решим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=18\\ x=y+3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y+3+y=18\\ x=y+3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2y=15\\ x=y+3\end{array}\right.\begin{array}{c}y=7,5\notin N\\ \end{array}$

Ответ: неправильно.

Чтобы проверить, правильны ли расчеты Коли, можно составить и решить систему уравнений. Обозначим количество мальчиков за $x$, а количество девочек — за $y$.

Исходя из условий задачи, можно составить два уравнения:

1. Общее количество учеников в группе — 18.
$x + y = 18$

2. Мальчиков на три меньше, чем девочек.
$x = y - 3$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 18 \\ x = y - 3 \end{cases}$

Для ее решения воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$(y - 3) + y = 18$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти количество девочек ($y$):

$2y - 3 = 18$

$2y = 18 + 3$

$2y = 21$

$y = \frac{21}{2} = 10.5$

Теперь найдем количество мальчиков ($x$), подставив полученное значение $y$ во второе уравнение:

$x = 10.5 - 3 = 7.5$

В результате расчетов получилось, что в группе должно быть 7,5 мальчиков и 10,5 девочек. Однако количество людей не может быть дробным числом. Следовательно, утверждение Коли неверно.

Проверка другим способом:

Если бы в группе было равное количество мальчиков и девочек, то их было бы по $18 / 2 = 9$ человек. По условию, мальчиков на 3 меньше, чем девочек. Это означает, что разница между количеством девочек и мальчиков равна 3. Уберем эту разницу из общего числа учеников: $18 - 3 = 15$. Теперь оставшееся количество учеников можно поровну разделить между мальчиками и девочками: $15 / 2 = 7.5$. Это было бы количество мальчиков. Тогда девочек было бы $7.5 + 3 = 10.5$. Снова получаем нецелые числа, что невозможно.

Ответ: Коля сосчитал неправильно.

723. Теплоход проходит за 4 ч по течению такое же расстояние, какое за 5 часов против течения. Найдите скорость течения, если она меньше собственной скорости теплохода на 40 км/ч.

Пусть x км/ч - собственная скорость теплохода, а у км/ч - скорость течения.

По условию задачи составим и решим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}4\left(x+y\right)=5\left(x-y\right)\\ x=y+40\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4x+4y=5x-5y\\ x=y+40\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}4x-5x=-5y-4y\\ x=y+40\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-x=-9y\\ x=y+40\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=9y\\ x=y+40\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}9y=y+40\\ x=9y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}8y=40\\ x=9y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=5\\ x=45\end{array}\right.$

Ответ: 5 км/ч

Для решения задачи составим уравнение. Обозначим искомую скорость течения за $x$ км/ч.

Согласно условию, скорость течения на 40 км/ч меньше собственной скорости теплохода. Следовательно, собственная скорость теплохода равна $(x + 40)$ км/ч.

Определим скорость теплохода при движении по течению и против течения:

• Скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = (x + 40) + x = (2x + 40)$ км/ч.
• Скорость против течения равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = (x + 40) - x = 40$ км/ч.

Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. По условию, расстояние, пройденное за 4 часа по течению, равно расстоянию, пройденному за 5 часов против течения.

Расстояние, пройденное по течению, равно: $S_{по} = v_{по} \cdot t_{по} = (2x + 40) \cdot 4$ км.

Расстояние, пройденное против течения, равно: $S_{против} = v_{против} \cdot t_{против} = 40 \cdot 5 = 200$ км.

Так как расстояния равны ($S_{по} = S_{против}$), мы можем составить уравнение:

$(2x + 40) \cdot 4 = 200$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала разделим обе части уравнения на 4:

$2x + 40 = \frac{200}{4}$

$2x + 40 = 50$

Перенесем 40 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = 50 - 40$

$2x = 10$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{10}{2}$

$x = 5$

Следовательно, скорость течения реки составляет 5 км/ч.

Ответ: 5 км/ч.