Страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

700. Среди данных уравнений найдите уравнения параболы, гиперболы, прямой:

a) $$\begin{gathered} xy=-3xy\; =\; -3 \\ y=-{\displaystyle \frac{3}{x}}y\; =\; -\backslash frac\{3\}\{x\} \end{gathered}$$ - гипербола

б) $6y-2=0$ - прямая

$$\begin{gathered} 6y=2 \\ y=\frac{2}{6}; y=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

в) ${\displaystyle \frac{1}{4}}y-x^2=-1\backslash frac\{1\}\{4\}y\; -\; x^2\; =\; -1$ - парабола

$$\begin{gathered} x^2=\frac{1}{4}y+1 \\ \frac{1}{4}y=x^2-1 /·4 \\ y=4x^2-4 \end{gathered}$$

г) $10+5xy=010\; +\; 5xy\; =\; 0$ - гипербола

$$\begin{gathered} 5xy=-105xy\; =\; -10 \\ xy=-2xy\; =\; -2 \\ y=-{\displaystyle \frac{2}{x}}y\; =\; -\backslash frac\{2\}\{x\} \end{gathered}$$

д) $1+2x=0$ - прямая

$$\begin{gathered} 2x=-12x\; =\; -1 \\ x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\} \end{gathered}$$

е) $2x-2y=52x\; -\; 2y\; =\; 5$ - прямая

$$\begin{gathered} 2y=2x-5 \\ y=\frac{2x-5}{2} \\ y=x-2,5 \end{gathered}$$

Для определения типа графика каждого уравнения, приведем их к каноническому виду и проанализируем.

а) $xy = -3$

Выразим y через x, чтобы получить явный вид функции: $y = -\frac{3}{x}$ Это уравнение является уравнением обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = -3$. Графиком такой функции является гипербола.

Построение графика:
График представляет собой гиперболу, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях, так как $k < 0$. Асимптотами графика являются оси координат: прямая $x=0$ (ось Oy) и прямая $y=0$ (ось Ox). Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• при $x = -3, y = -\frac{3}{-3} = 1$; точка $(-3, 1)$
• при $x = -1, y = -\frac{3}{-1} = 3$; точка $(-1, 3)$
• при $x = -0.5, y = -\frac{3}{-0.5} = 6$; точка $(-0.5, 6)$
• при $x = 0.5, y = -\frac{3}{0.5} = -6$; точка $(0.5, -6)$
• при $x = 1, y = -\frac{3}{1} = -3$; точка $(1, -3)$
• при $x = 3, y = -\frac{3}{3} = -1$; точка $(3, -1)$

Соединив точки плавными линиями в каждой четверти, получим ветви гиперболы.

Ответ: гипербола.

б) $6y - 2 = 0$

Это линейное уравнение. Выразим y: $6y = 2$ $y = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ Это уравнение вида $y = c$, где $c$ - константа. Графиком такого уравнения является прямая.

Построение графика:
График - это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, \frac{1}{3})$ на оси ординат (оси Oy).

Ответ: прямая.

в) $\frac{1}{4}y - x^2 = -1$

Преобразуем уравнение, выразив y через x: $\frac{1}{4}y = x^2 - 1$ $y = 4(x^2 - 1)$ $y = 4x^2 - 4$ Это уравнение вида $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a = 4, b = 0, c = -4$. Графиком такой функции является парабола.

Построение графика:
График - парабола, ветви которой направлены вверх, так как $a=4 > 0$.

• Вершина параболы:
  Координата $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 4} = 0$.
  Координата $y_0 = 4(0)^2 - 4 = -4$.
  Вершина находится в точке $(0, -4)$.
• Ось симметрии: $x = 0$ (ось Oy).
• Точки пересечения с осями:
  С осью Oy: при $x=0, y=-4$. Точка $(0, -4)$.
  С осью Ox: при $y=0$, $4x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.
• Дополнительные точки:
  при $x=2, y = 4(2)^2 - 4 = 12$. Точка $(2, 12)$.
  Симметричная точка $(-2, 12)$.

Ответ: парабола.

г) $10 + 5xy = 0$

Преобразуем уравнение, выразив y через x: $5xy = -10$ $xy = -2$ $y = -\frac{2}{x}$ Это уравнение обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = -2$. Графиком является гипербола.

Построение графика:
График - гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях ($k < 0$). Асимптоты - оси координат ($x=0$ и $y=0$). Найдем несколько точек для построения:

• при $x = -2, y = -\frac{2}{-2} = 1$; точка $(-2, 1)$
• при $x = -1, y = -\frac{2}{-1} = 2$; точка $(-1, 2)$
• при $x = 1, y = -\frac{2}{1} = -2$; точка $(1, -2)$
• при $x = 2, y = -\frac{2}{2} = -1$; точка $(2, -1)$

Ответ: гипербола.

д) $1 + 2x = 0$

Это линейное уравнение. Выразим x: $2x = -1$ $x = -\frac{1}{2}$ Это уравнение вида $x = c$, где $c$ - константа. Графиком является прямая.

Построение графика:
График - это прямая, параллельная оси ординат (оси Oy) и проходящая через точку $(-\frac{1}{2}, 0)$ на оси абсцисс (оси Ox).

Ответ: прямая.

е) $2x - 2y = 5$

Это линейное уравнение с двумя переменными. Приведем его к виду $y=mx+b$: $-2y = -2x + 5$ $y = \frac{-2x+5}{-2}$ $y = x - \frac{5}{2}$ $y = x - 2.5$ Это уравнение вида $y = mx+b$ с угловым коэффициентом (наклоном) $m=1$ и смещением $b=-2.5$. Графиком является прямая.

Построение графика:
Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью Oy: при $x=0, y = 0 - 2.5 = -2.5$. Точка $(0, -2.5)$.
• Пересечение с осью Ox: при $y=0, 0 = x - 2.5 \Rightarrow x = 2.5$. Точка $(2.5, 0)$.

Проведя прямую через эти две точки, получим искомый график.

Ответ: прямая.

Итог:

• Уравнения параболы: в)
• Уравнения гиперболы: а), г)
• Уравнения прямой: б), д), е)

701. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{c-1}{12c}+\frac{2c+7}{12c}-\frac{6-3c}{12c}= \\ =\frac{c-1+2c+7-6+3c}{12c}=\frac{6c}{12c}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a-4b}{2ab}-\frac{2a-6b}{2ab}-\frac{3a-b}{2ab}= \\ =\frac{a-4b-2a+6b-3a+b}{2ab}= \\ =\frac{-4a+3b}{2ab}=\frac{3b-4a}{2ab} \end{gathered}$$

в) $\frac{17x-4y}{21xy}+\frac{8x+9y}{21xy}-\frac{11x-16y}{21xy}=$

$$\begin{gathered} =\frac{17x-4y+8x+9y-11x+16y}{21xy}= \\ =\frac{14x+21y}{21xy}=\frac{7\left(2x+3y\right)}{21xy}=\frac{2x+3y}{3xy} \end{gathered}$$

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{c-1}{12c} + \frac{2c+7}{12c} - \frac{6-3c}{12c} $, нужно выполнить сложение и вычитание дробей. Так как у всех дробей одинаковый знаменатель $12c$, мы можем объединить их числители в один:

$ \frac{(c-1) + (2c+7) - (6-3c)}{12c} $

Теперь раскроем скобки в числителе. Важно обратить внимание на знак минус перед последней скобкой, который меняет знаки внутри нее:

$ \frac{c-1 + 2c+7 - 6+3c}{12c} $

Приведем подобные слагаемые в числителе. Сгруппируем слагаемые с переменной $c$ и числовые слагаемые:

$ \frac{(c+2c+3c) + (-1+7-6)}{12c} = \frac{6c + 0}{12c} = \frac{6c}{12c} $

Сократим полученную дробь. Мы можем сократить и числовые коэффициенты (6 и 12), и переменную $c$:

$ \frac{6c}{12c} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

б)

Упростим выражение $ \frac{a-4b}{2ab} - \frac{2a-6b}{2ab} - \frac{3a-b}{2ab} $. Все дроби имеют общий знаменатель $2ab$, поэтому объединим числители:

$ \frac{(a-4b) - (2a-6b) - (3a-b)}{2ab} $

Раскроем скобки, меняя знаки там, где перед скобками стоит минус:

$ \frac{a-4b - 2a+6b - 3a+b}{2ab} $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые для переменных $a$ и $b$:

$ \frac{(a-2a-3a) + (-4b+6b+b)}{2ab} = \frac{-4a + 3b}{2ab} $

Запишем числитель в более привычном виде, поменяв слагаемые местами:

$ \frac{3b - 4a}{2ab} $

Дальнейшее сокращение дроби невозможно, так как в числителе и знаменателе нет общих множителей.

Ответ: $ \frac{3b-4a}{2ab} $

в)

Упростим выражение $ \frac{17x-4y}{21xy} + \frac{8x+9y}{21xy} - \frac{11x-16y}{21xy} $. Знаменатель $21xy$ является общим для всех дробей. Объединим числители:

$ \frac{(17x-4y) + (8x+9y) - (11x-16y)}{21xy} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{17x-4y + 8x+9y - 11x+16y}{21xy} $

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые с $x$ и с $y$:

$ \frac{(17x+8x-11x) + (-4y+9y+16y)}{21xy} = \frac{14x + 21y}{21xy} $

Теперь можно сократить полученную дробь. Для этого вынесем общий множитель 7 за скобки в числителе:

$ \frac{7(2x + 3y)}{21xy} $

Сократим числитель и знаменатель на 7:

$ \frac{7(2x + 3y)}{3 \cdot 7 \cdot xy} = \frac{2x+3y}{3xy} $

Ответ: $ \frac{2x+3y}{3xy} $