Страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

680. Составьте уравнение с двумя переменными, график которого изображён на рисунке 29.

a) x=3 или y=3

(x-3)(y-3)=0

б) x=-2 или y=-2

(x+2)(y+2)=0

в) y=-2 или y=2

(y+2)(y-2)=0

г) x=-2 или x=4

(x+2)(x-4)=0

а) График, изображённый на рисунке, представляет собой объединение двух прямых: вертикальной прямой и горизонтальной прямой. Вертикальная прямая проходит через все точки, у которых абсцисса (координата $x$) равна 3. Её уравнение: $x = 3$. Это уравнение можно переписать в виде $x - 3 = 0$. Горизонтальная прямая проходит через все точки, у которых ордината (координата $y$) равна 3. Её уравнение: $y = 3$. Это уравнение можно переписать в виде $y - 3 = 0$. График является множеством всех точек, которые принадлежат либо первой, либо второй прямой. Это означает, что координаты точки $(x, y)$ должны удовлетворять хотя бы одному из уравнений: $x - 3 = 0$ или $y - 3 = 0$. В алгебре условие "A=0 или B=0" эквивалентно уравнению $A \cdot B = 0$. Применяя это правило, мы можем объединить два уравнения в одно: $(x - 3)(y - 3) = 0$. Это и есть искомое уравнение с двумя переменными, график которого изображён на рисунке.
Ответ: $(x-3)(y-3)=0$.

б) На графике изображены две перпендикулярные прямые. Вертикальная прямая проходит через точку $(-2, 0)$ и параллельна оси $y$. Для всех точек на этой прямой координата $x$ постоянна и равна -2. Уравнение этой прямой: $x = -2$, или $x + 2 = 0$. Горизонтальная прямая проходит через точку $(0, -2)$ и параллельна оси $x$. Для всех точек на этой прямой координата $y$ постоянна и равна -2. Уравнение этой прямой: $y = -2$, или $y + 2 = 0$. График представляет собой объединение этих двух прямых. Точка $(x, y)$ принадлежит графику, если выполняется условие $x + 2 = 0$ или $y + 2 = 0$. Объединим эти два условия в одно уравнение, используя свойство равенства произведения нулю: $(x + 2)(y + 2) = 0$.
Ответ: $(x+2)(y+2)=0$.

в) На графике изображены две параллельные горизонтальные прямые. Верхняя прямая параллельна оси $x$ и проходит через точку $(0, 2)$. Уравнение этой прямой: $y = 2$, что эквивалентно $y - 2 = 0$. Нижняя прямая также параллельна оси $x$ и проходит через точку $(0, -1.5)$. Уравнение этой прямой: $y = -1.5$. Перепишем его как $y + 1.5 = 0$. Чтобы избавиться от десятичной дроби, можно умножить обе части на 2, получив $2y + 3 = 0$. График является объединением этих двух прямых, поэтому точка $(x, y)$ принадлежит ему, если $y - 2 = 0$ или $2y + 3 = 0$. Составим общее уравнение: $(y - 2)(2y + 3) = 0$. Это уравнение с двумя переменными, где переменная $x$ может принимать любое действительное значение, так как она не входит в уравнение в явном виде.
Ответ: $(y-2)(2y+3)=0$.

г) На графике изображены две параллельные вертикальные прямые. Левая прямая параллельна оси $y$ и проходит через точку $(-2, 0)$. Для всех её точек координата $x$ равна -2. Уравнение этой прямой: $x = -2$, или $x + 2 = 0$. Правая прямая также параллельна оси $y$ и проходит через точку $(4, 0)$. Для всех её точек координата $x$ равна 4. Уравнение этой прямой: $x = 4$, или $x - 4 = 0$. График является объединением этих двух прямых. Точка $(x, y)$ принадлежит графику, если её координаты удовлетворяют условию $x + 2 = 0$ или $x - 4 = 0$. Объединим эти условия в одно уравнение: $(x + 2)(x - 4) = 0$. В этом уравнении переменная $y$ может принимать любое действительное значение.
Ответ: $(x+2)(x-4)=0$.

681. Постройте график уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} y-x^2=0 \\ y=x^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} y-x^3=0 \\ y=x^3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 0,5xy+1,5=0 \\ 0,5xy=-1,5 \\ xy=\frac{-1,5}{0,5} \\ xy=-3 \\ y=\frac{-3}{x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y+x^3=0 \\ y=-x^3 \end{gathered}$$

а) Преобразуем уравнение $y - x^2 = 0$, выразив $y$ через $x$: $y = x^2$. Это уравнение является функцией $y(x) = x^2$, графиком которой является парабола. Вершина этой параболы находится в начале координат, в точке (0, 0). Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх. Для построения графика найдем координаты нескольких точек:
- при $x=0$, $y=0^2=0$, точка (0, 0);
- при $x=1$, $y=1^2=1$, точка (1, 1);
- при $x=-1$, $y=(-1)^2=1$, точка (-1, 1);
- при $x=2$, $y=2^2=4$, точка (2, 4);
- при $x=-2$, $y=(-2)^2=4$, точка (-2, 4).
Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график параболы.
Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

б) Преобразуем уравнение $y - x^3 = 0$, выразив $y$ через $x$: $y = x^3$. Это уравнение является функцией $y(x) = x^3$, графиком которой является кубическая парабола. График проходит через начало координат (0, 0) и расположен в I и III координатных четвертях. Он симметричен относительно начала координат. Для построения графика найдем координаты нескольких точек:
- при $x=0$, $y=0^3=0$, точка (0, 0);
- при $x=1$, $y=1^3=1$, точка (1, 1);
- при $x=-1$, $y=(-1)^3=-1$, точка (-1, -1);
- при $x=2$, $y=2^3=8$, точка (2, 8);
- при $x=-2$, $y=(-2)^3=-8$, точка (-2, -8).
Отметив эти точки и соединив их плавной кривой, получим искомый график.
Ответ: Графиком уравнения является кубическая парабола $y = x^3$, проходящая через начало координат.

в) Преобразуем уравнение $0,5xy + 1,5 = 0$. Сначала перенесем 1,5 в правую часть: $0,5xy = -1,5$. Теперь выразим $y$ через $x$. При этом необходимо учесть, что $x \neq 0$, иначе уравнение теряет смысл.
$y = \frac{-1,5}{0,5x}$
$y = -\frac{3}{x}$
Это функция обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Так как коэффициент $k = -3$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $x=0$ и $y=0$. Найдем координаты нескольких точек для каждой ветви:
Для ветви в IV четверти ($x>0$):
- при $x=1$, $y = -3/1 = -3$, точка (1, -3);
- при $x=3$, $y = -3/3 = -1$, точка (3, -1).
Для ветви во II четверти ($x<0$):
- при $x=-1$, $y = -3/(-1) = 3$, точка (-1, 3);
- при $x=-3$, $y = -3/(-3) = 1$, точка (-3, 1).
Ответ: Графиком уравнения является гипербола $y = -3/x$, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

г) Преобразуем уравнение $y + x^3 = 0$, выразив $y$ через $x$: $y = -x^3$. Это уравнение является функцией $y(x) = -x^3$, графиком которой является кубическая парабола. Этот график симметричен графику функции $y = x^3$ относительно оси Ox (или оси Oy). Он проходит через начало координат (0, 0) и расположен во II и IV координатных четвертях. Для построения графика найдем координаты нескольких точек:
- при $x=0$, $y=-(0)^3=0$, точка (0, 0);
- при $x=1$, $y=-(1)^3=-1$, точка (1, -1);
- при $x=-1$, $y=-(-1)^3=1$, точка (-1, 1);
- при $x=2$, $y=-(2)^3=-8$, точка (2, -8);
- при $x=-2$, $y=-(-2)^3=8$, точка (-2, 8).
Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.
Ответ: Графиком уравнения является кубическая парабола $y = -x^3$, проходящая через начало координат.