Страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

648. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю — 5, то она увеличится на 12. Найдите эту дробь.

Пусть х - числитель обыкновенной дроби, тогда x+3 - знаменатель обыкновенной дроби. Если к числителю прибавить 7, то x+7 - новый числитель, а к знаменателю прибавить 5, то x+3+5 - новый знаменатель.

$\frac{x+7}{x+8}$ - новая дробь, которая на ${\displaystyle \frac{1}{2}} \backslash frac\{1\}\{2\}$больше исходной. Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{x}{x+3}+\frac{1}{2}=\frac{x+7}{x+8} /·2\left(x+3\right)\left(x+8\right) \\ 2x\left(x+8\right)+\left(x+3\right)\left(x+8\right)=2\left(x+7\right)\left(x+3\right) \\ 2x^2+16x+x^2+8x+3x+24=2\left(x^2+3x+7x+21\right) \\ 3x^2+27x+24=2x^2+20x+42 \\ 3x^2+27x+24-2x^2-20x-42=0 \\ {x}^2+7x-18=0 \\ D=7^4-4·1·\left(-18\right)=49+72=121 \\ x=\frac{-7\pm \sqrt{121}}{2}; x=\frac{-7\pm 11}{2} \end{gathered}$$

x=2 или x=-9

Если x=2, то (x+8)(x+3)=(2+8)(2+3)=10*5=50≠0,

если х=-9, то (2+3)(x+8)=(-9+3)(-9+8)=6≠0

при х=2; $\frac{x}{x+3}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$

при х=-9; $\frac{x}{x+3}=\frac{-9}{-9+3}=\frac{-9}{-6}=\frac{3}{2}$ не подходит по условию задачи (числитель 3 должен быть на 3 меньше знаменателя)

Ответ: $\frac{2}{5}$

Пусть числитель исходной обыкновенной дроби равен $x$. Согласно условию задачи, ее знаменатель на 3 больше числителя, следовательно, знаменатель равен $x+3$. Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x}{x+3}$.

Далее, к числителю этой дроби прибавляют 7, а к знаменателю — 5. Новый числитель становится равным $x+7$, а новый знаменатель — $(x+3)+5 = x+8$. Новая дробь равна $\frac{x+7}{x+8}$.

По условию, эта новая дробь на $\frac{1}{2}$ больше исходной. На основе этого мы можем составить уравнение:

$\frac{x+7}{x+8} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{2}$

Для решения уравнения перенесем слагаемое с переменной $x$ в левую часть:

$\frac{x+7}{x+8} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{2}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+8)(x+3)$:

$\frac{(x+7)(x+3) - x(x+8)}{(x+8)(x+3)} = \frac{1}{2}$

Раскроем скобки в числителе левой части:

$\frac{x^2 + 3x + 7x + 21 - (x^2 + 8x)}{x^2 + 3x + 8x + 24} = \frac{1}{2}$

$\frac{x^2 + 10x + 21 - x^2 - 8x}{x^2 + 11x + 24} = \frac{1}{2}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{2x + 21}{x^2 + 11x + 24} = \frac{1}{2}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$2(2x + 21) = 1(x^2 + 11x + 24)$

$4x + 42 = x^2 + 11x + 24$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = x^2 + 11x - 4x + 24 - 42$

$x^2 + 7x - 18 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -18, а сумма равна -7. Это числа -9 и 2.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -9$.

Рассмотрим оба варианта:

1. Если числитель $x = 2$, то знаменатель равен $x+3 = 2+3=5$. Искомая дробь — $\frac{2}{5}$.
Проверка: новая дробь будет $\frac{2+7}{5+5} = \frac{9}{10}$. Разница между новой и исходной дробью: $\frac{9}{10} - \frac{2}{5} = \frac{9}{10} - \frac{4}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Это соответствует условию задачи.

2. Если числитель $x = -9$, то знаменатель равен $x+3 = -9+3=-6$. Исходная дробь — $\frac{-9}{-6}$, что равно $\frac{3}{2}$.
Проверка: новая дробь будет $\frac{-9+7}{-6+5} = \frac{-2}{-1} = 2$. Разница между новой и исходной дробью: $2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$. Это также соответствует условию задачи. Однако, если рассматривать упрощенную дробь $\frac{3}{2}$, то ее знаменатель (2) не больше числителя (3) на 3. Условие выполняется только для первоначальной формы $\frac{-9}{-6}$, так как $-6 > -9$. В школьных задачах под "обыкновенной дробью" обычно подразумевают дробь с натуральными числителем и знаменателем. Поэтому наиболее подходящим решением является первый вариант.

Ответ: $\frac{2}{5}$

649. Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришёл к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

Пусть x км/ч - скорость одного автомобиля, тогда (x+20) км/ч - скорость второго автомобиля.

Зная, что расстояние равно 120км, можно найти время каждого автомобиля, за которое они прошли данное расстояние:

$t_1={\displaystyle \frac{120}{x}}t\_1\; =\; \backslash frac\{120\}\{x\}$ ч - время первого автомобиля,

$t_2={\displaystyle \frac{120}{x+20}}t\_2\; =\; \backslash frac\{120\}\{x+20\}$ ч - время второго автомобиля

Известно, что второй автомобиль пришёл к месту назначения на 1ч раньше.

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{120}{x}=\frac{120}{x+20}+1 /·x\left(x+20\right) \\ 120\left(x+20\right)=120x+x\left(x+20\right) \\ 120x+2400=120x+x^2+20x \\ {x}^2+20x+120x-120x-2400=0 \\ {x}^2+20x-2400=0 \\ D=20^2-4·1·\left(-2400\right)=400+9600=10000 \\ x=\frac{-20\pm \sqrt{10000}}{2}; x=\frac{-20\pm 100}{2} \end{gathered}$$
$x_1=40; x_2=-60$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

40+20=60(км/ч)

Ответ: 40 км/ч; 60 км/ч

Пусть $v$ км/ч — скорость второго (более медленного) автомобиля. Тогда, согласно условию, скорость первого автомобиля будет $(v + 20)$ км/ч.

Оба автомобиля проехали расстояние $S = 120$ км.

Время, которое затратил на путь второй (медленный) автомобиль, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$ и составляет $t_2 = \frac{120}{v}$ часов.

Время, которое затратил на путь первый (быстрый) автомобиль, составляет $t_1 = \frac{120}{v+20}$ часов.

Из условия известно, что первый автомобиль пришёл к месту назначения на 1 час раньше второго. Это значит, что разница во времени их движения составляет 1 час:
$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для времени в это уравнение:
$\frac{120}{v} - \frac{120}{v+20} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+20)$. Область допустимых значений: $v > 0$.
$\frac{120(v+20) - 120v}{v(v+20)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:
$\frac{120v + 2400 - 120v}{v^2 + 20v} = 1$

$\frac{2400}{v^2 + 20v} = 1$

Это уравнение равносильно следующему:
$v^2 + 20v = 2400$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + 20v - 2400 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$
$\sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100$

Теперь найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-20 + 100}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$
$v_2 = \frac{-20 - 100}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -60$ не соответствует условию задачи.

Следовательно, скорость второго (медленного) автомобиля составляет 40 км/ч.

Скорость первого автомобиля на 20 км/ч больше:
$40 + 20 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость одного автомобиля 60 км/ч, скорость другого автомобиля 40 км/ч.