Страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

626. Найдите значение дроби:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}6-7x+x^2=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{25}}{2}; x=\frac{7\pm 5}{2} \\ x=6 \text{или} x=1 \\ {x}^2-7x+6=(x-6)(x-1) \\ \frac{36-x^2}{6-7x+x^2}=\frac{(6-x)(6+x)}{(x-6)(x-1)}=\frac{-(x-6)(x+6)}{(x-6)(x-1)}= \\ =-\frac{x+6}{x-1}=\frac{x+6}{1-x} \end{gathered}$$

при x=-9; $\frac{-9+6}{1-(-9)}=\frac{-3}{10}=-0,3$

при x=-99; $\frac{-99+6}{1-(-99)}=\frac{-93}{100}=-0,93$

при x=-999; $\frac{-999+6}{1-(-999)}=\frac{-993}{1000}=-0,993$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}4x^2+8x-32=0 \\ D=8^2-4\cdot 4\cdot (-32)=64+512=576 \\ x=\frac{-8\pm \sqrt{576}}{8}; x=\frac{-8\pm 24}{8} \\ x=2; x=-4 \\ 4x^2+8x-32=4(x-2)(x+4) \\ \frac{4x^2+8x-32}{4x^2-16}=\frac{4(x-2)(x+4)}{(2x-4)(2x+4)}= \\ =\frac{4(x-2)(x+4)}{2(x-2)·2(x+2)}=\frac{x+4}{x+2} \end{gathered}$$

при x=-1; $\frac{-1+4}{-1+2}=3$

при x=5; $\frac{5+4}{5+2}=\frac{9}{7}=1\frac{2}{7}$

при x=10; $\frac{10+4}{10+2}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}$

а)

Для того чтобы найти значение дроби $\frac{36 - x^2}{6 - 7x + x^2}$, сначала упростим ее. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель представляет собой разность квадратов:
$36 - x^2 = 6^2 - x^2 = (6 - x)(6 + x)$.

Знаменатель является квадратным трехчленом $x^2 - 7x + 6$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Следовательно, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Таким образом, знаменатель раскладывается на множители: $x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$.

Теперь подставим разложения в исходную дробь:
$\frac{(6 - x)(6 + x)}{(x - 1)(x - 6)}$

Заметим, что $(6 - x) = -(x - 6)$. Перепишем дробь и сократим ее (при условии, что $x \neq 6$):
$\frac{-(x - 6)(x + 6)}{(x - 1)(x - 6)} = -\frac{x + 6}{x - 1} = \frac{x + 6}{1 - x}$

Теперь вычислим значение упрощенного выражения для каждого заданного $x$:

При $x = -9$:
$\frac{-9 + 6}{1 - (-9)} = \frac{-3}{1 + 9} = \frac{-3}{10} = -0.3$

При $x = -99$:
$\frac{-99 + 6}{1 - (-99)} = \frac{-93}{1 + 99} = \frac{-93}{100} = -0.93$

При $x = -999$:
$\frac{-999 + 6}{1 - (-999)} = \frac{-993}{1 + 999} = \frac{-993}{1000} = -0.993$

Ответ: -0.3; -0.93; -0.993.

б)

Упростим дробь $\frac{4x^2 + 8x - 32}{4x^2 - 16}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель 4: $4(x^2 + 2x - 8)$. Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 2x - 8$. Корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$. Значит, $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)$.
Числитель равен: $4(x - 2)(x + 4)$.

В знаменателе также вынесем за скобки 4 и используем формулу разности квадратов:
$4x^2 - 16 = 4(x^2 - 4) = 4(x - 2)(x + 2)$.

Подставим разложения в дробь и сократим ее (при условии, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$):
$\frac{4(x - 2)(x + 4)}{4(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 4}{x + 2}$

Теперь вычислим значение упрощенного выражения для каждого заданного $x$:

При $x = -1$:
$\frac{-1 + 4}{-1 + 2} = \frac{3}{1} = 3$

При $x = 5$:
$\frac{5 + 4}{5 + 2} = \frac{9}{7}$

При $x = 10$:
$\frac{10 + 4}{10 + 2} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$

Ответ: 3; $\frac{9}{7}$; $\frac{7}{6}$.

627. Чем различаются графики функций y = x – 4 и x² - 6x + 8x - 2?

$$\begin{gathered} y=\frac{x^2-6x+8}{x-2} \\ {x}^2-6x+8=0 \\ D={(-6)}^2-4·1·8=36-32=4 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{4}}{2}; x=\frac{6\pm 2}{2} \\ x=4 \text{или} x=2 \\ {x}^2-6x+8=(x-4)(x-2) \\ y=\frac{(x-4)(x-2)}{x-2}; y=x-4 \end{gathered}$$

Область определения y=x-4 - все действительные числа, а область определения функции $y=\frac{x^2-6x+8}{x-2}=x-4$ - все числа, кроме x-2=0; x=2, на графике выколота точка (2;-2)

Чтобы определить различие между графиками функций $y = x - 4$ и $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$, необходимо проанализировать каждую из них.

Первая функция $y = x - 4$ — это линейная функция. Её область определения — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$). Графиком данной функции является прямая линия.

Вторая функция $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции исключает значения переменной $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$
Таким образом, область определения второй функции: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для второй функции. Для этого разложим на множители числитель $x^2 - 6x + 8$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней $x_1 + x_2 = 6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 8$. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, числитель можно представить в виде произведения $(x - 2)(x - 4)$.

Подставим полученное разложение в исходную функцию:
$y = \frac{(x - 2)(x - 4)}{x - 2}$
Поскольку из области определения мы знаем, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на множитель $(x - 2)$:
$y = x - 4$

Вывод: функция $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ совпадает с функцией $y = x - 4$ на всей области определения, то есть для всех $x$, кроме $x = 2$.
Это означает, что их графики практически идентичны. Оба графика являются прямой линией $y = x - 4$. Однако у графика второй функции есть точка разрыва (так называемая "выколотая" точка) при $x = 2$.
Найдем координаты этой выколотой точки. Абсцисса этой точки $x = 2$. Для нахождения ординаты подставим это значение в упрощенное уравнение $y = x - 4$:
$y = 2 - 4 = -2$
Таким образом, график функции $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ — это прямая $y = x - 4$ с выколотой точкой $(2; -2)$.

Ответ: Графиком функции $y = x - 4$ является прямая. Графиком функции $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ является та же самая прямая, но с одной удаленной (выколотой) точкой, имеющей координаты $(2; -2)$.

628. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{x^2-1}{2}-11x=11 /·2 \\ {x}^2-1-22x=22 \\ {x}^2-22x-1-22=0 \\ {x}^2-22x-23=0 \\ D={(-22)}^2-4·1·(-23)=484+92=576 \\ x=\frac{22\pm \sqrt{576}}{2}, x=\frac{22\pm 24}{2} \\ x=23 \text{или} x=-1 \\ \text{Ответ:} -1; 23 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{x^2+x}{2}=\frac{8x-7}{3} /·6 \\ 3(x^2+x)=2(8x-7) \\ 3x^2+3x=16x-14 \\ 3x^2+3x-16x+14=0 \\ 3x^2-13x+14=0 \\ D={(-13)}^2-4·3·14=169-168=1 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{1}}{6}, x=\frac{13\pm 1}{6} \\ x=\frac{14}{6} \text{или} x=2 \\ x=\frac{7}{3} \\ x=2\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} 2; 2\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} x-3=\frac{1-x^2}{3} /·3 \\ 3(x-3)=1-x^2 \\ 3x-9-1+x^2=0 \\ {x}^2+3x-10=0 \\ D=3^2-4·1·(-10)=9+40=49 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{49}}{2}; x=\frac{-3\pm 7}{2} \\ x=2 \text{или} x=-5 \\ \text{Ответ:} -5; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \frac{2-x^2}{7}=\frac{x}{2} /·14 \\ 2(2-x^2)=7x \\ 4-2x^2-7x=0 \\ -2x^2-7x+4=0 \\ D={(-7)}^2-4·(-2)·4=49+32=81 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{81}}{-4}; x=\frac{7\pm 9}{-4} \\ x=-4 \text{или} x=\frac{1}{2} \\ \text{Ответ:} -4; \frac{1}{2} \end{gathered}$$

а) $\frac{x^2-1}{2} - 11x = 11$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot (\frac{x^2-1}{2} - 11x) = 2 \cdot 11$

$x^2 - 1 - 22x = 22$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 22x - 1 - 22 = 0$

$x^2 - 22x - 23 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 1, b = -22, c = -23$

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576$

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{22 + 24}{2 \cdot 1} = \frac{46}{2} = 23$

$x_2 = \frac{22 - 24}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = 23, x_2 = -1$.

б) $\frac{x^2+x}{2} = \frac{8x-7}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6:

$6 \cdot \frac{x^2+x}{2} = 6 \cdot \frac{8x-7}{3}$

$3(x^2+x) = 2(8x-7)$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 3x = 16x - 14$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 3x - 16x + 14 = 0$

$3x^2 - 13x + 14 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$a = 3, b = -13, c = 14$

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$

$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{13 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{13 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

Ответ: $x_1 = 2\frac{1}{3}, x_2 = 2$.

в) $x-3 = \frac{1-x^2}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3:

$3(x-3) = 1-x^2$

$3x - 9 = 1-x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 3x - 9 - 1 = 0$

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна -3, а произведение -10. Подбором находим корни: -5 и 2.

Проверим через дискриминант:

$a = 1, b = 3, c = -10$

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$

$x_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -5$.

г) $\frac{2-x^2}{7} = \frac{x}{2}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2(2-x^2) = 7x$

Раскроем скобки:

$4 - 2x^2 = 7x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = 2x^2 + 7x - 4$

Или, что то же самое:

$2x^2 + 7x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$a = 2, b = 7, c = -4$

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

$x_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

Ответ: $x_1 = 0.5, x_2 = -4$.

629. Разложите на множители многочлен:

a) $$\begin{gathered} 4x^2-6x+2xy-3y=(4x^2-6x)+(2xy-3y)= \\ =2x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(2x+y) \end{gathered}$$

б) $4a^3+2b^3-2a^{2}b-4a{b}^2=(4a^3-2a^{2}b)+$
$$\begin{gathered} +(2b^3-4a{b}^2)=2a^2(2a-b)+2b^2(b-2a)= \\ =2a^2(2a-b)-2b^2(2a-b)=(2a-b)(2a^2-2b^2)= \\ =2(2a-b)(a^2-b^2)=2(2a-b)(a-b)(a+b) \end{gathered}$$

а) $4x^2 - 6x + 2xy - 3y$

Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем члены многочлена следующим образом:

$(4x^2 - 6x) + (2xy - 3y)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе общий множитель — $2x$, а во второй — $y$.

$2x(2x - 3) + y(2x - 3)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель — $(2x - 3)$. Вынесем его за скобки:

$(2x - 3)(2x + y)$

Ответ: $(2x - 3)(2x + y)$

б) $4a^3 + 2b^3 - 2a^2b - 4ab^2$

Для удобства сгруппируем члены многочлена, предварительно изменив их порядок:

$4a^3 - 2a^2b - 4ab^2 + 2b^3 = (4a^3 - 2a^2b) - (4ab^2 - 2b^3)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $2a^2$, во второй — $2b^2$.

$2a^2(2a - b) - 2b^2(2a - b)$

Теперь вынесем общий множитель $(2a - b)$ за скобки:

$(2a - b)(2a^2 - 2b^2)$

Заметим, что второй множитель $(2a^2 - 2b^2)$ также можно разложить. Сначала вынесем общий множитель 2:

$2(a^2 - b^2)$

Выражение в скобках является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Таким образом, получаем:

$2(a - b)(a + b)$

Собираем все множители вместе:

$(2a - b) \cdot 2(a - b)(a + b) = 2(a - b)(a + b)(2a - b)$

Ответ: $2(a - b)(a + b)(2a - b)$

630. В какой координатной четверти расположена точка пересечения графиков функций f(x) = 0,8x + 2,1 и g(x) = –0,9x + 3?

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=0,8x+2,1; q\left(x\right)=-0,9x+3 \\ 0,8x+2,1=-0,9x+3 \\ 0,8x+0,9x=3-2,1 \\ 1,7x=0,9 \\ x=\frac{0,9}{1,7} \\ x=\frac{9}{17} \\ f\left(\frac{9}{17}\right)=0,8·\frac{9}{17}+2,1=\frac{8}{10}·\frac{9}{17}+2,1=\frac{4·9}{5·17}+ \\ +\frac{21}{10}=\frac{36}{85}+\frac{21}{10}=\frac{72}{170}+\frac{357}{170}=\frac{429}{170}=2\frac{89}{170} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(\frac{9}{17}; 2\frac{89}{170}\right)$ ∈ I четверти

Чтобы определить, в какой координатной четверти расположена точка пересечения графиков функций, нужно найти координаты этой точки $(x, y)$. Точка пересечения — это точка, в которой значения обеих функций равны, то есть $f(x) = g(x)$.

Приравняем правые части уравнений функций:

$f(x) = g(x)$

$0.8x + 2.1 = -0.9x + 3$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$0.8x + 0.9x = 3 - 2.1$

$1.7x = 0.9$

$x = \frac{0.9}{1.7} = \frac{9}{17}$

Мы получили, что абсцисса точки пересечения $x = \frac{9}{17}$. Это значение больше нуля ($x > 0$).

Теперь найдем ординату точки пересечения $y$, подставив найденное значение $x$ в уравнение любой из функций. Подставим, например, в $g(x)$:

$y = g(\frac{9}{17}) = -0.9 \cdot \frac{9}{17} + 3$

$y = -\frac{9}{10} \cdot \frac{9}{17} + 3 = -\frac{81}{170} + 3$

$y = -\frac{81}{170} + \frac{3 \cdot 170}{170} = \frac{-81 + 510}{170} = \frac{429}{170}$

Ордината точки пересечения $y = \frac{429}{170}$. Это значение также больше нуля ($y > 0$).

Точка пересечения имеет координаты $(\frac{9}{17}; \frac{429}{170})$. Поскольку обе координаты ($x$ и $y$) положительны, точка расположена в I (первой) координатной четверти.

Ответ: в I (первой) координатной четверти.

1. Дайте определение квадратного трёхчлена. Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен?

Определение. Квадратным трёхчленом называется многочлен вида $a{x}^2+bx+c,$ где х - переменная, а, b и с - некоторые числа, причём а≠0.

Квадратный трехчлен имеет, как и квадратное уравнение, два корня, один корень или не имеет корней.

Дайте определение квадратного трёхчлена.

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числа (коэффициенты), причём коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

• $a$ — старший коэффициент (коэффициент при $x^2$).
• $b$ — второй коэффициент (коэффициент при $x$).
• $c$ — свободный член.

Условие $a \neq 0$ является обязательным, так как в противном случае, если $a=0$, многочлен $ax^2 + bx + c$ превращается в $bx + c$ и перестаёт быть квадратным (становится линейным или константой).

Ответ: Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — числа, и $a \neq 0$.

Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен?

Корнем квадратного трёхчлена называется значение переменной $x$, при котором значение этого трёхчлена равно нулю. Чтобы найти корни, необходимо решить соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.

Количество действительных корней квадратного трёхчлена зависит от знака его дискриминанта, который вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если дискриминант положителен ($D > 0$), то квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня. Корни находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
• Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то квадратный трёхчлен имеет один действительный корень (его также называют корнем кратности 2 или двумя совпадающими корнями). Корень находится по формуле: $x = -\frac{b}{2a}$.
• Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.

Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта, квадратный трёхчлен может иметь два, один или ни одного действительного корня.

Ответ: Квадратный трёхчлен может иметь два, один или ни одного корня.

2. Покажите на примере выражения Зx² - 12x + 32, как можно выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена.

$$\begin{gathered} 3x^2-12x+32=3(x^2-4x+\frac{32}{3})= \\ =3(x^2-2·2·x+2^2-2^2+\frac{32}{3})= \\ =3({(x-2)}^2-4+\frac{32}{3})=3({(x-2)}^2-\frac{12-32}{3})= \\ =3({(x-2)}^2+\frac{20}{3})=3{(x-2)}^2+20 \end{gathered}$$

Процесс выделения квадрата двучлена из квадратного трёхчлена $3x^2 - 12x + 32$ заключается в преобразовании выражения к виду $a(x-h)^2 + k$. Рассмотрим этот процесс по шагам.

1. Сначала вынесем за скобки коэффициент при $x^2$ (в данном случае это 3) из тех членов, которые содержат переменную $x$:

$3x^2 - 12x + 32 = 3(x^2 - 4x) + 32$

2. Теперь сосредоточимся на выражении в скобках: $x^2 - 4x$. Чтобы превратить его в полный квадрат, мы воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае, $a=x$, а член $-4x$ соответствует $-2ab$. Отсюда мы можем найти $b$:

$-2 \cdot x \cdot b = -4x$

Разделив обе части на $-2x$, получим $b=2$.

3. Для завершения полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 2^2 = 4$. Чтобы не изменить значение выражения, мы добавим и сразу же вычтем это число внутри скобок:

$3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 32$

4. Теперь первые три слагаемых в скобках образуют полный квадрат $(x-2)^2$. Сгруппируем их:

$3((x^2 - 4x + 4) - 4) + 32 = 3((x-2)^2 - 4) + 32$

5. Раскроем внешние скобки, умножив коэффициент 3 на каждый член внутри них:

$3(x-2)^2 - 3 \cdot 4 + 32$

6. Выполним последние арифметические действия, чтобы упростить выражение:

$3(x-2)^2 - 12 + 32 = 3(x-2)^2 + 20$

В результате мы преобразовали исходный трёхчлен, выделив в нём квадрат двучлена.

Ответ: $3(x-2)^2 + 20$

3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении на множители квадратного трёхчлена, имеющего корни.

Если х₁ и х₂ – корни квадратного трёхчлена $a{x}^2+bx+c,$ то $a{x}^2+bx+c=a\left(x–x_1\right)\left(x–x_2\right).$

Вынесем за скобки в многочлене $a{x}^2+bx+cax²\; +\; bx\; +\; c$ множитель а. Получим

$a{x}^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right).$

Так как корни квадратного трёхчлена $a{x}^2+bx+cax²\; +\; bx\; +\; c$ являются корнями квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0,$ то по теореме Виета

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$

Отсюда

$\frac{b}{a}=-\left(x_1+x_2\right), \frac{c}{a}=x_1\cdot x_2.$

Поэтому

$$\begin{gathered} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1{x}_2= \\ =x^2-x_{1}x-x_{2}x+x_1{x}_2= \\ =x\left(x-x_1\right)-x_2\left(x-x_1\right)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right). \end{gathered}$$

Итак, $a{x}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right).$.

Сформулируйте

Теорема о разложении квадратного трёхчлена на множители. Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$, то справедливо тождество:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Докажите

Пусть дан квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$. По условию теоремы, он имеет корни, а это значит, что его старший коэффициент $a \neq 0$.

1. Вынесем старший коэффициент $a$ за скобки в выражении $ax^2 + bx + c$:

$ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a})$

2. Корни $x_1$ и $x_2$ исходного трёхчлена являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. По теореме Виета, для этих корней справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

3. Подставим выражения для $\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$ из теоремы Виета в преобразованный трёхчлен:

$a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) = a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)$

4. Раскроем скобки и выполним алгебраические преобразования выражения в правой части равенства. Сначала раскроем внутренние скобки:

$a(x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2)$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$a((x^2 - x_1x) - (x_2x - x_1x_2))$

Вынесем общие множители в каждой группе:

$a(x(x - x_1) - x_2(x - x_1))$

Вынесем общий множитель $(x - x_1)$:

$a((x - x_1)(x - x_2)) = a(x - x_1)(x - x_2)$

5. Таким образом, мы показали, что $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Была сформулирована и доказана теорема о разложении квадратного трёхчлена, имеющего корни. Формулировка: если $x_1$ и $x_2$ — корни трёхчлена $ax^2 + bx + c$, то $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Доказательство основано на вынесении старшего коэффициента $a$ за скобки и применении теоремы Виета.