Страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

614. С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и t (с) — время полёта стрелы, то расстояние h (м) стрелы от поверхности земли в момент времени t (с) можно найти по формуле h = –5t² + 50t + 20 (приближённое значение ускорения свободного падения считается равным 10 м/с²). Какой наибольшей высоты достигнет стрела?

$$\begin{gathered} h=-5t^2+50t+20=-5(t^2-10t-4)= \\ =-5(t^2-2·5t+5^2-5^2-4)=-5({(t-5)}^2-25-4)= \\ =-5({(t-5)}^2-29)=-5{(t-5)}^2+145 \end{gathered}$$

при t=5c, h=145м

Ответ: 145м

Чтобы найти наибольшую высоту, которой достигнет стрела, нам нужно найти максимальное значение функции высоты $h(t) = -5t^2 + 50t + 20$.

Эта функция является квадратичной, и её график — парабола. Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный ($a = -5$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что максимальное значение функции достигается в её вершине.

Время $t$, в которое достигается максимальная высота, соответствует абсциссе вершины параболы и вычисляется по формуле:

$t_{вершины} = -\frac{b}{2a}$

В нашей задаче коэффициенты уравнения $h(t) = at^2 + bt + c$ равны: $a = -5$, $b = 50$, $c = 20$.

Вычислим время подъема до максимальной высоты:

$t = -\frac{50}{2 \cdot (-5)} = -\frac{50}{-10} = 5$ секунд.

Теперь подставим это значение времени в исходную формулу, чтобы найти саму максимальную высоту $h_{max}$:

$h_{max} = h(5) = -5 \cdot (5)^2 + 50 \cdot 5 + 20$

$h_{max} = -5 \cdot 25 + 250 + 20$

$h_{max} = -125 + 250 + 20$

$h_{max} = 125 + 20 = 145$ метров.

Ответ: 145 м.

615. Решите уравнение:

а) 3 (x + 4)² = 10x + 32;

б) 31x + 77 = 15 (x + 1)².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3{(x+4)}^2=10x+32 \\ 3(x^2+8x+16)=10x+32 \\ 3x^2+24x+48-10x-32=0 \\ 3x^2+14x+16=0 \\ D={14}^2-4·3·16=196-192=4 \\ x=\frac{-14\pm \sqrt{4}}{6}; x=\frac{-14\pm 2}{6} \\ x=-2 \text{или} x=-\frac{16}{6}; x=-\frac{8}{3}; x=-2\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} -2; -2\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 31x+77=15{(x+1)}^2 \\ 31x+77=15(x^2+2x+1) \\ 31x+77=15x^2+30x+15 \\ 15x^2+30x+15-31x-77=0 \\ 15x^2-x-62=0 \\ D={(-1)}^2-4·15·(-62)=1+3720=3721 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{3721}}{30}, x=\frac{1\pm 61}{30} \\ x=\frac{62}{30} \text{или} x=-2 \\ x=\frac{31}{15} \\ x=2\frac{1}{15} \\ \text{Ответ:} -2; 2\frac{1}{15} \end{gathered}$$

а) $3(x + 4)^2 = 10x + 32$

Для начала раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32$

Раскроем скобки, умножив каждый член на 3:

$3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 + 24x - 10x + 48 - 32 = 0$

$3x^2 + 14x + 16 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 2}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$

Ответ: $-2; -\frac{8}{3}$.

б) $31x + 77 = 15(x + 1)^2$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения по формуле квадрата суммы:

$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$31x + 77 = 15(x^2 + 2x + 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$31x + 77 = 15x^2 + 30x + 15$

Перенесем все члены в одну часть (в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным), чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0 = 15x^2 + 30x - 31x + 15 - 77$

$15x^2 - x - 62 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-62) = 1 + 3720 = 3721$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{3721} = 61$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{3721}}{2 \cdot 15} = \frac{1 + 61}{30} = \frac{62}{30} = \frac{31}{15}$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{3721}}{2 \cdot 15} = \frac{1 - 61}{30} = \frac{-60}{30} = -2$

Ответ: $-2; \frac{31}{15}$.

616. Разложите на множители многочлен:

а) ab + 3b – 5a – 15;

б) 2xy – y + 8x – 4.

a) $$\begin{gathered} ab+3b-5a-15=(ab+3b)-(5a+15)= \\ =b(a+3)-5(a+3)=(a+3)(b-5) \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} 2xy-y+8x-4=(2xy-y)+(8x-4)= \\ =y(2x-1)+4(2x-1)=(2x-1)(y+4) \end{gathered}$$

а) Для того чтобы разложить на множители многочлен $ab + 3b - 5a - 15$, применим метод группировки. Этот метод заключается в объединении слагаемых в группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести за скобки общий множитель.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(ab + 3b) + (-5a - 15)$
Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе общим множителем является $b$, а во второй группе можно вынести $-5$.
$b(a + 3) - 5(a + 3)$
В получившемся выражении мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель — выражение в скобках $(a + 3)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:
$(a + 3)(b - 5)$
Таким образом, мы разложили исходный многочлен на два множителя: $(a + 3)$ и $(b - 5)$.
Ответ: $(a + 3)(b - 5)$

б) Разложим на множители многочлен $2xy - y + 8x - 4$, также используя метод группировки.
Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвертым:
$(2xy - y) + (8x - 4)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп. Из первой группы вынесем $y$, а из второй — $4$.
$y(2x - 1) + 4(2x - 1)$
Как и в предыдущем примере, мы получили общий множитель в скобках, на этот раз это $(2x - 1)$. Вынесем его за скобки:
$(2x - 1)(y + 4)$
Многочлен успешно разложен на множители: $(2x - 1)$ и $(y + 4)$.
Ответ: $(2x - 1)(y + 4)$