Номер 614, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 614, страница 141.

614. С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и t (с) — время полёта стрелы, то расстояние h (м) стрелы от поверхности земли в момент времени t (с) можно найти по формуле h = –5t² + 50t + 20 (приближённое значение ускорения свободного падения считается равным 10 м/с²). Какой наибольшей высоты достигнет стрела?

$$\begin{gathered} h=-5t^2+50t+20=-5(t^2-10t-4)= \\ =-5(t^2-2·5t+5^2-5^2-4)=-5({(t-5)}^2-25-4)= \\ =-5({(t-5)}^2-29)=-5{(t-5)}^2+145 \end{gathered}$$

при t=5c, h=145м

Ответ: 145м

Чтобы найти наибольшую высоту, которой достигнет стрела, нам нужно найти максимальное значение функции высоты $h(t) = -5t^2 + 50t + 20$.

Эта функция является квадратичной, и её график — парабола. Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный ($a = -5$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что максимальное значение функции достигается в её вершине.

Время $t$, в которое достигается максимальная высота, соответствует абсциссе вершины параболы и вычисляется по формуле:

$t_{вершины} = -\frac{b}{2a}$

В нашей задаче коэффициенты уравнения $h(t) = at^2 + bt + c$ равны: $a = -5$, $b = 50$, $c = 20$.

Вычислим время подъема до максимальной высоты:

$t = -\frac{50}{2 \cdot (-5)} = -\frac{50}{-10} = 5$ секунд.

Теперь подставим это значение времени в исходную формулу, чтобы найти саму максимальную высоту $h_{max}$:

$h_{max} = h(5) = -5 \cdot (5)^2 + 50 \cdot 5 + 20$

$h_{max} = -5 \cdot 25 + 250 + 20$

$h_{max} = -125 + 250 + 20$

$h_{max} = 125 + 20 = 145$ метров.

Ответ: 145 м.