Номер 619, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Разложение квадратного трёхчлена на множители. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 619, страница 144.

619. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 2x^2+12x-14=0 \\ D={12}^2-4·2·(-14)=144+112=256 \\ x=\frac{-12\pm \sqrt{256}}{4}; x=\frac{-12\pm 16}{4} \\ x=1 \text{или} x=-7 \\ 2x^2+12x-14=2(x-1)(x+7) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -m^2+5m-6=0 \\ D=5^2-4·(-1)·(-6)=25-24=1 \\ m=\frac{-5\pm \sqrt{1}}{-2}; m=\frac{-5\pm 1}{-2} \\ m=2 \text{или} m=3 \\ -m^2+5m-6=-(m-2)(m-3)=(2-m)(m-3) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 3x^2+5x-2=0 \\ D=5^2-4·3·(-2)=25+24=49 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{49}}{6}; x=\frac{-5\pm 7}{6} \\ x=\frac{1}{3} \text{или} x=-2 \\ 3x^2+5x-2=3\left(x-\frac{1}{3}\right)(x+2)=(3x-1)(x+2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 6x^2-13x+6=0 \\ D={(-13)}^2-4·6·6=169-144=25 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{25}}{12}; x=\frac{13\pm 5}{12} \\ \begin{array}{lcl}x=\frac{18}{12}& \text{или}& x=\frac{8}{12}\\ x=\frac{3}{2}& & x=\frac{2}{3}\end{array} \\ 6x^2-13x+6=6\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)= \\ =2·3\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)=(2x-3)(3x-2) \end{gathered}$$

а)

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, нужно найти корни $x_1$ и $x_2$ соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и воспользоваться формулой $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Рассмотрим трёхчлен $2x^2 + 12x - 14$. Сначала вынесем за скобки общий множитель 2: $2(x^2 + 6x - 7)$.

Теперь найдём корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$. Здесь коэффициенты: $a=1, b=6, c=-7$. Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$.

Подставим корни в формулу разложения для трёхчлена $x^2 + 6x - 7$ (здесь $a=1$): $x^2 + 6x - 7 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-7)) = (x-1)(x+7)$.

Возвращаясь к исходному выражению, получаем: $2x^2 + 12x - 14 = 2(x-1)(x+7)$.

Ответ: $2(x-1)(x+7)$

б)

Рассмотрим трёхчлен $-m^2 + 5m - 6$. Найдём корни уравнения $-m^2 + 5m - 6 = 0$. Для удобства умножим обе части уравнения на -1: $m^2 - 5m + 6 = 0$.

Здесь коэффициенты: $a=1, b=-5, c=6$. Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$. $m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$.

Теперь используем формулу разложения $a(m - m_1)(m - m_2)$ для исходного трёхчлена $-m^2 + 5m - 6$, где старший коэффициент $a=-1$: $-m^2 + 5m - 6 = -1(m-3)(m-2) = -(m-3)(m-2)$.

Ответ: $-(m-2)(m-3)$

в)

Рассмотрим трёхчлен $3x^2 + 5x - 2$. Найдём корни уравнения $3x^2 + 5x - 2 = 0$.

Здесь коэффициенты: $a=3, b=5, c=-2$. Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Подставим корни и коэффициент $a=3$ в формулу разложения: $3x^2 + 5x - 2 = 3(x - \frac{1}{3})(x - (-2)) = 3(x - \frac{1}{3})(x+2)$.

Чтобы получить множители с целыми коэффициентами, умножим первый множитель в скобках на 3: $3(x - \frac{1}{3})(x+2) = (3x - 1)(x+2)$.

Ответ: $(3x-1)(x+2)$

г)

Рассмотрим трёхчлен $6x^2 - 13x + 6$. Найдём корни уравнения $6x^2 - 13x + 6 = 0$.

Здесь коэффициенты: $a=6, b=-13, c=6$. Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Подставим корни и коэффициент $a=6$ в формулу разложения: $6x^2 - 13x + 6 = 6(x - \frac{3}{2})(x - \frac{2}{3})$.

Чтобы избавиться от дробей, представим коэффициент 6 как $2 \cdot 3$ и распределим эти множители по скобкам: $6(x - \frac{3}{2})(x - \frac{2}{3}) = 2(x - \frac{3}{2}) \cdot 3(x - \frac{2}{3}) = (2x - 3)(3x - 2)$.

Ответ: $(2x-3)(3x-2)$