Номер 625, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Разложение квадратного трёхчлена на множители. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 625, страница 144.

625. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2-11x+24}{x^2-64}=\frac{\left(x-8\right)\left(x-3\right)}{\left(x-8\right)\left(x+8\right)}=\frac{x-3}{x+8} \\ {x}^2-11x+24=0 \\ D={\left(-11\right)}^2-4\cdot 1\cdot 24=121-96=25 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{25}}{2}; x=\frac{11\pm 5}{2} \\ x=8\text{ или} x=3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }2y^2+9y-5=0 \\ D=9^2-4\cdot 2\cdot \left(-5\right)=81+40=121 \\ y=\frac{-9\pm \sqrt{121}}{4}; y=\frac{-9\pm 11}{4} \\ y=\frac{1}{2}\text{ или }y=-5 \\ 2y^2+9y-5=2\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(y+5\right) \\ \frac{2y^2+9y-5}{4y^2-1}=\frac{2\left(y-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\left(y+5\right)}{\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)}= \\ =\frac{\left(2y-1\right)\left(y+5\right)}{\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)}=\frac{y+5}{2y+1} \end{gathered}$$

a)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 64}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $x^2 - 11x + 24$. Это квадратный трехчлен. Для разложения найдем корни уравнения $x^2 - 11x + 24 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней $x_1 + x_2 = 11$
• Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 24$

Методом подбора находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 8$. Квадратный трехчлен раскладывается на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$. В нашем случае $a=1$, поэтому разложение будет $(x - 3)(x - 8)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^2 - 64$. Это разность квадратов, так как $64 = 8^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $x^2 - 64 = x^2 - 8^2 = (x - 8)(x + 8)$.

3. Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь: $\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 64} = \frac{(x - 3)(x - 8)}{(x - 8)(x + 8)}$.

4. Сократим общий множитель $(x - 8)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x - 8 \neq 0$, то есть $x \neq 8$: $\frac{(x - 3)\cancel{(x - 8)}}{\cancel{(x - 8)}(x + 8)} = \frac{x - 3}{x + 8}$.

Ответ: $\frac{x - 3}{x + 8}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{2y^2 + 9y - 5}{4y^2 - 1}$, также разложим на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $2y^2 + 9y - 5$. Найдем корни квадратного уравнения $2y^2 + 9y - 5 = 0$ с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$. Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $y_1 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. $y_2 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5$. Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(y - y_1)(y - y_2)$: $2(y - \frac{1}{2})(y - (-5)) = 2(y - \frac{1}{2})(y + 5)$. Умножим множитель 2 на первую скобку, чтобы избавиться от дроби: $(2y - 1)(y + 5)$.

2. Разложим на множители знаменатель $4y^2 - 1$. Это разность квадратов, так как $4y^2 = (2y)^2$ и $1 = 1^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $4y^2 - 1 = (2y)^2 - 1^2 = (2y - 1)(2y + 1)$.

3. Подставим полученные разложения в исходную дробь: $\frac{2y^2 + 9y - 5}{4y^2 - 1} = \frac{(2y - 1)(y + 5)}{(2y - 1)(2y + 1)}$.

4. Сократим общий множитель $(2y - 1)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $2y - 1 \neq 0$, то есть $y \neq \frac{1}{2}$: $\frac{\cancel{(2y - 1)}(y + 5)}{\cancel{(2y - 1)}(2y + 1)} = \frac{y + 5}{2y + 1}$.

Ответ: $\frac{y + 5}{2y + 1}$