Страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

617. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3x^2-24x+21=0 \\ D={(-24)}^2-4·3·21=576-252=324 \\ x=\frac{24\pm \sqrt{324}}{6}, x=\frac{24\pm 18}{6} \\ x=7 \text{или} x=1 \\ 3x^2-24x+21=3(x-1)(x-7) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 5z^2+10z-15=0 \\ D={10}^2-4·5·(-15)=100+300=400 \\ z=\frac{-10\pm \sqrt{400}}{10}, z=\frac{-10\pm 20}{10} \\ z=1 \text{или} z=-3 \\ 5z^2+10z-15=5(z-1)(z+3) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} \frac{1}{6}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}=0 \\ D={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4·\frac{1}{6}·\frac{1}{3}=\frac{1}{4}-\frac{4}{18}= \\ =\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=\frac{9}{36}-\frac{8}{36}=\frac{1}{36} \\ x=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{36}}}}{2·{\displaystyle \frac{1}{6}}}; x=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{1}{6}}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}} \\ \begin{array}{lcl}x=\frac{-{\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}& \text{или}& x=\frac{-{\displaystyle \frac{3}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\\ x=-1& & x=-2\end{array} \\ \frac{1}{6}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}(x+1)(x+2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} x^2-12x+20=0 \\ D={(-12)}^2-4·1·20=144-80=64 \\ x=\frac{12\pm \sqrt{64}}{2}; x=\frac{12\pm 8}{2} \\ x=10 \text{или} x=2 \\ {x}^2-12x+20=(x-10)(x-2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} y^2+16y-15=0 \\ D={16}^2-4·(-1)·(-15)=256-60=196 \\ y=\frac{-16\pm \sqrt{196}}{-2}; y=\frac{-16\pm 14}{-2} \\ y=1 \text{или} y=15 \\ -y^2+16y-15=-(y-1)(y-15)=(1-y)(y-15) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} -t^2-8t+9=0 \\ D={(-8)}^2-4·(-1)·9=64+36=100 \\ t=\frac{8\pm \sqrt{100}}{-2}; t=\frac{8\pm 10}{-2} \\ t=-9 \text{или} t=1 \\ -t^2-8t+9=-(t+9)(t-1)=(t+9)(1-t) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} 2x^2-5x+3=0 \\ D={(-5)}^2-4·2·3=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{4}; x=\frac{5\pm 1}{4} \\ x=1,5 \text{или} x=1 \\ 2x^2-5x+3=2(x-1,5)(x-1)=(2x-3)(x-1) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} 5y^2+2y-3=0 \\ D=2^2-4·5·(-3)=4+60=64 \\ y=\frac{-2\pm \sqrt{64}}{10}; y=\frac{-2\pm 8}{10} \\ y=0,6 \text{или} y=-1 \\ 5y^2+2y-3=5(y-0,6)(y+1)=(5y-3)(y+1) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{и)}} -2n^2+5n+7=0 \\ D=5^2-4·(-2)·7=25+56=81 \\ n=\frac{-5\pm \sqrt{81}}{-4}; n=\frac{-5\pm 9}{-4} \\ n=-1 \text{или} n=\frac{14}{4}; n=\frac{7}{2} \\ -2n^2+5n+7=-2(n-\frac{7}{2})(n+1)=(7-2n)(n+1) \end{gathered}$$

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

а) $3x^2 - 24x + 21$

Сначала вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(x^2 - 8x + 7)$.

Теперь разложим на множители трёхчлен $x^2 - 8x + 7$. Для этого решим уравнение $x^2 - 8x + 7 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 7$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Тогда $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$.

Возвращая множитель 3, получаем: $3(x-1)(x-7)$.

Ответ: $3(x-1)(x-7)$.

б) $5z^2 + 10z - 15$

Вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(z^2 + 2z - 3)$.

Разложим на множители $z^2 + 2z - 3$, решив уравнение $z^2 + 2z - 3 = 0$.

По теореме Виета: $z_1 + z_2 = -2$ и $z_1 \cdot z_2 = -3$. Корни: $z_1 = 1$ и $z_2 = -3$.

Следовательно, $z^2 + 2z - 3 = (z-1)(z-(-3)) = (z-1)(z+3)$.

Окончательный результат: $5(z-1)(z+3)$.

Ответ: $5(z-1)(z+3)$.

в) $\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}$

Вынесем коэффициент $\frac{1}{6}$ за скобки: $\frac{1}{6}(x^2 + 3x + 2)$.

Разложим на множители $x^2 + 3x + 2$, решив уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = 2$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, $x^2 + 3x + 2 = (x-(-1))(x-(-2)) = (x+1)(x+2)$.

Окончательный результат: $\frac{1}{6}(x+1)(x+2)$.

Ответ: $\frac{1}{6}(x+1)(x+2)$.

г) $x^2 - 12x + 20$

Решим уравнение $x^2 - 12x + 20 = 0$. Коэффициент $a=1$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 12$ и $x_1 \cdot x_2 = 20$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 10$.

Разложение имеет вид $(x-x_1)(x-x_2) = (x-2)(x-10)$.

Ответ: $(x-2)(x-10)$.

д) $-y^2 + 16y - 15$

Вынесем -1 за скобки: $-(y^2 - 16y + 15)$.

Решим уравнение $y^2 - 16y + 15 = 0$.

По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 16$ и $y_1 \cdot y_2 = 15$. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 15$.

Разложение: $-(y-1)(y-15)$.

Ответ: $-(y-1)(y-15)$.

е) $-t^2 - 8t + 9$

Вынесем -1 за скобки: $-(t^2 + 8t - 9)$.

Решим уравнение $t^2 + 8t - 9 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -8$ и $t_1 \cdot t_2 = -9$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -9$.

Разложение: $-(t-1)(t-(-9)) = -(t-1)(t+9)$.

Ответ: $-(t-1)(t+9)$.

ж) $2x^2 - 5x + 3$

Решим уравнение $2x^2 - 5x + 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Подставляем в формулу $a(x-x_1)(x-x_2)$: $2(x-1)(x-\frac{3}{2})$.

Умножим второй множитель на 2: $(x-1)(2x-3)$.

Ответ: $(x-1)(2x-3)$.

з) $5y^2 + 2y - 3$

Решим уравнение $5y^2 + 2y - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$ и $y_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Подставляем в формулу $a(y-y_1)(y-y_2)$: $5(y-(-1))(y-\frac{3}{5}) = 5(y+1)(y-\frac{3}{5})$.

Умножим второй множитель на 5: $(y+1)(5y-3)$.

Ответ: $(y+1)(5y-3)$.

и) $-2n^2 + 5n + 7$

Решим уравнение $-2n^2 + 5n + 7 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 7 = 25 + 56 = 81$.

Корни уравнения: $n_1 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-14}{-4} = \frac{7}{2}$ и $n_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{-4} = -1$.

Подставляем в формулу $a(n-n_1)(n-n_2)$: $-2(n-\frac{7}{2})(n-(-1)) = -2(n-\frac{7}{2})(n+1)$.

Умножим первый множитель на -2: $(-2n + 7)(n+1) = (7-2n)(n+1)$.

Ответ: $(7-2n)(n+1)$.

618. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 2x^2-2x+\frac{1}{2}=0 \\ D={(-2)}^2-4·2·\frac{1}{2}=4-4=0 \\ x=\frac{2}{4}; x=\frac{1}{2} \\ 2x^2-2x+\frac{1}{2}=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=2{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -9x^2+12x-4=0 \\ D={12}^2-4·(-9)·(-4)=144-144=0 \\ x=\frac{-12}{-18}; x=\frac{2}{3} \\ -9x^2+12x-4=-9\left(x-\frac{2}{3}\right)= \\ =-{\left(3\left(x-\frac{2}{3}\right)\right)}^2=-{(3x-2)}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 16a^2+24a+9=0 \\ D={24}^2-4·16·9=576-576=0 \\ a=\frac{-24\pm \sqrt{0}}{32}; a=\frac{-24}{32}; a=-\frac{3}{4} \\ 16a^2+24a+9=16{\left(a+\frac{3}{4}\right)}^2= \\ ={\left(4\left(a+\frac{3}{4}\right)\right)}^2={(4a+3)}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 0,25m^2-2m+4=0 \\ D={(-2)}^2-4·0,25·4=4-4=0 \\ m=\frac{2}{0,5}; m=4 \\ 0,25{(m-4)}^2=(0,5{(m-4))}^2={(0,5m-2)}^2 \end{gathered}$$

Для разложения данных квадратных трёхчленов на множители воспользуемся формулами сокращённого умножения: квадратом суммы $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$ и квадратом разности $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.

а) Рассмотрим трёхчлен $2x^2 - 2x + \frac{1}{2}$.

Чтобы применить формулу сокращённого умножения, вынесем общий числовой множитель $2$ за скобки:

$2x^2 - 2x + \frac{1}{2} = 2(x^2 - x + \frac{1}{4})$

Выражение в скобках $x^2 - x + \frac{1}{4}$ является полным квадратом. Проверим это, используя формулу квадрата разности $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$.

В нашем случае $A^2=x^2$, значит $A=x$. $B^2=\frac{1}{4}$, значит $B=\frac{1}{2}$.

Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = x$. Средний член в скобках равен $-x$, что соответствует $-2AB$.

Следовательно, $x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2$.

Таким образом, исходный трёхчлен раскладывается на множители следующим образом:

$2(x - \frac{1}{2})^2$.

Ответ: $2(x - \frac{1}{2})^2$.

б) Рассмотрим трёхчлен $-9x^2 + 12x - 4$.

Вынесем знак минус за скобки, чтобы старший коэффициент стал положительным:

$-9x^2 + 12x - 4 = -(9x^2 - 12x + 4)$

Выражение в скобках $9x^2 - 12x + 4$ является полным квадратом. Проверим это по формуле квадрата разности $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$.

Здесь $A^2 = 9x^2$, что означает $A = 3x$. $B^2 = 4$, что означает $B=2$.

Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot (3x) \cdot 2 = 12x$. Средний член в скобках равен $-12x$, что соответствует $-2AB$.

Значит, $9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2$.

Итак, получаем разложение:

$-9x^2 + 12x - 4 = -(3x - 2)^2$.

Ответ: $-(3x - 2)^2$.

в) Рассмотрим трёхчлен $16a^2 + 24a + 9$.

Этот трёхчлен похож на формулу квадрата суммы $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$.

Определим $A$ и $B$. Из $A^2 = 16a^2$ следует $A = 4a$. Из $B^2 = 9$ следует $B = 3$.

Проверим, равно ли удвоенное произведение $2AB$ среднему члену трёхчлена $24a$.

$2AB = 2 \cdot (4a) \cdot 3 = 24a$.

Поскольку проверка прошла успешно, мы можем применить формулу квадрата суммы:

$16a^2 + 24a + 9 = (4a+3)^2$.

Ответ: $(4a + 3)^2$.

г) Рассмотрим трёхчлен $0.25m^2 - 2m + 4$.

Этот трёхчлен похож на формулу квадрата разности $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$.

Определим $A$ и $B$. Из $A^2 = 0.25m^2$ следует $A = 0.5m$. Из $B^2 = 4$ следует $B = 2$.

Проверим, равно ли удвоенное произведение $2AB$ по модулю среднему члену трёхчлена $2m$.

$2AB = 2 \cdot (0.5m) \cdot 2 = 2m$.

Так как средний член трёхчлена $-2m$, что соответствует $-2AB$, мы можем применить формулу квадрата разности:

$0.25m^2 - 2m + 4 = (0.5m - 2)^2$.

Ответ: $(0.5m - 2)^2$.

619. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 2x^2+12x-14=0 \\ D={12}^2-4·2·(-14)=144+112=256 \\ x=\frac{-12\pm \sqrt{256}}{4}; x=\frac{-12\pm 16}{4} \\ x=1 \text{или} x=-7 \\ 2x^2+12x-14=2(x-1)(x+7) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -m^2+5m-6=0 \\ D=5^2-4·(-1)·(-6)=25-24=1 \\ m=\frac{-5\pm \sqrt{1}}{-2}; m=\frac{-5\pm 1}{-2} \\ m=2 \text{или} m=3 \\ -m^2+5m-6=-(m-2)(m-3)=(2-m)(m-3) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 3x^2+5x-2=0 \\ D=5^2-4·3·(-2)=25+24=49 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{49}}{6}; x=\frac{-5\pm 7}{6} \\ x=\frac{1}{3} \text{или} x=-2 \\ 3x^2+5x-2=3\left(x-\frac{1}{3}\right)(x+2)=(3x-1)(x+2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 6x^2-13x+6=0 \\ D={(-13)}^2-4·6·6=169-144=25 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{25}}{12}; x=\frac{13\pm 5}{12} \\ \begin{array}{lcl}x=\frac{18}{12}& \text{или}& x=\frac{8}{12}\\ x=\frac{3}{2}& & x=\frac{2}{3}\end{array} \\ 6x^2-13x+6=6\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)= \\ =2·3\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)=(2x-3)(3x-2) \end{gathered}$$

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, нужно найти корни $x_1$ и $x_2$ соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и воспользоваться формулой $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Рассмотрим трёхчлен $2x^2 + 12x - 14$. Сначала вынесем за скобки общий множитель 2: $2(x^2 + 6x - 7)$.

Теперь найдём корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$. Здесь коэффициенты: $a=1, b=6, c=-7$. Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$.

Подставим корни в формулу разложения для трёхчлена $x^2 + 6x - 7$ (здесь $a=1$): $x^2 + 6x - 7 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-7)) = (x-1)(x+7)$.

Возвращаясь к исходному выражению, получаем: $2x^2 + 12x - 14 = 2(x-1)(x+7)$.

Ответ: $2(x-1)(x+7)$

Рассмотрим трёхчлен $-m^2 + 5m - 6$. Найдём корни уравнения $-m^2 + 5m - 6 = 0$. Для удобства умножим обе части уравнения на -1: $m^2 - 5m + 6 = 0$.

Здесь коэффициенты: $a=1, b=-5, c=6$. Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$. $m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$.

Теперь используем формулу разложения $a(m - m_1)(m - m_2)$ для исходного трёхчлена $-m^2 + 5m - 6$, где старший коэффициент $a=-1$: $-m^2 + 5m - 6 = -1(m-3)(m-2) = -(m-3)(m-2)$.

Ответ: $-(m-2)(m-3)$

Рассмотрим трёхчлен $3x^2 + 5x - 2$. Найдём корни уравнения $3x^2 + 5x - 2 = 0$.

Здесь коэффициенты: $a=3, b=5, c=-2$. Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Подставим корни и коэффициент $a=3$ в формулу разложения: $3x^2 + 5x - 2 = 3(x - \frac{1}{3})(x - (-2)) = 3(x - \frac{1}{3})(x+2)$.

Чтобы получить множители с целыми коэффициентами, умножим первый множитель в скобках на 3: $3(x - \frac{1}{3})(x+2) = (3x - 1)(x+2)$.

Ответ: $(3x-1)(x+2)$

Рассмотрим трёхчлен $6x^2 - 13x + 6$. Найдём корни уравнения $6x^2 - 13x + 6 = 0$.

Здесь коэффициенты: $a=6, b=-13, c=6$. Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Подставим корни и коэффициент $a=6$ в формулу разложения: $6x^2 - 13x + 6 = 6(x - \frac{3}{2})(x - \frac{2}{3})$.

Чтобы избавиться от дробей, представим коэффициент 6 как $2 \cdot 3$ и распределим эти множители по скобкам: $6(x - \frac{3}{2})(x - \frac{2}{3}) = 2(x - \frac{3}{2}) \cdot 3(x - \frac{2}{3}) = (2x - 3)(3x - 2)$.

Ответ: $(2x-3)(3x-2)$

620. Докажите тождество:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 10x^2+19x-2=10(x-0,1)(x+2) \\ 10x^2+19x-2=0 \\ D={19}^2-4·10·(-2)=361+80=441 \\ x=\frac{-19\pm \sqrt{441}}{20}; x=\frac{-19\pm 21}{20} \\ x=0,1 \text{или} x=-2 \\ 10x^2+19x-2=10(x-0,1)(x+2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 0,5(x-6)(x-5)=0,5x^2-5,5x+15 \\ 0,5(x-6)(x-5)=0,5(x^2-5x-6x+30)= \\ =0,5(x^2-11x+30)=0,5x^2-5,5x+15 \end{gathered}$$

а)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его правую часть, выполнив умножение. Сначала раскроем скобки с двучленами:

$(x - 0,1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 - 0,1 \cdot x - 0,1 \cdot 2 = x^2 + 2x - 0,1x - 0,2 = x^2 + 1,9x - 0,2$.

Теперь умножим полученный многочлен на коэффициент 10:

$10(x^2 + 1,9x - 0,2) = 10 \cdot x^2 + 10 \cdot 1,9x - 10 \cdot 0,2 = 10x^2 + 19x - 2$.

В результате преобразований правая часть стала равна левой части исходного выражения: $10x^2 + 19x - 2 = 10x^2 + 19x - 2$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Сначала перемножим двучлены в скобках:

$(x - 6)(x - 5) = x \cdot x + x \cdot (-5) - 6 \cdot x + (-6) \cdot (-5) = x^2 - 5x - 6x + 30 = x^2 - 11x + 30$.

Теперь умножим полученный многочлен на коэффициент 0,5:

$0,5(x^2 - 11x + 30) = 0,5 \cdot x^2 - 0,5 \cdot 11x + 0,5 \cdot 30 = 0,5x^2 - 5,5x + 15$.

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества: $0,5x^2 - 5,5x + 15 = 0,5x^2 - 5,5x + 15$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

621. Можно ли представить квадратный трёхчлен в виде произведения многочленов первой степени:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} -3y^2+3y+11=0 \\ D=3^2-4·(-3)·11=9+132=141>0 \end{gathered}$$

Ответ: можно

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 4b^2-9b+7=0 \\ D={(-9)}^2-4·4·7=81-112=-31<0 \end{gathered}$$

Ответ: нельзя

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} x^2-7x+11=0 \\ D={(-7)}^2-4·1·11=49-44=5>0 \end{gathered}$$

Ответ: можно

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 3y^2-12y+12=0 \\ D={(-12)}^2-4·3·12=144-144=0 \end{gathered}$$

Ответ: можно

Чтобы определить, можно ли представить квадратный трёхчлен в виде произведения многочленов первой степени, необходимо вычислить его дискриминант. Квадратный трёхчлен вида $ax^2+bx+c$ можно разложить на линейные множители тогда и только тогда, когда соответствующее квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет действительные корни. Это происходит, когда дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным ($D \ge 0$).

а) $-3y^2 + 3y + 11$

Для данного трёхчлена коэффициенты: $a = -3$, $b = 3$, $c = 11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 11 = 9 + 132 = 141$.

Так как $D = 141 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, следовательно, трёхчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени.

Ответ: можно.

б) $4b^2 - 9b + 7$

Для данного трёхчлена коэффициенты: $a = 4$, $b = -9$, $c = 7$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31$.

Так как $D = -31 < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, трёхчлен нельзя представить в виде произведения многочленов первой степени с действительными коэффициентами.

Ответ: нельзя.

в) $x^2 - 7x + 11$

Для данного трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = -7$, $c = 11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 49 - 44 = 5$.

Так как $D = 5 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, следовательно, трёхчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени.

Ответ: можно.

г) $3y^2 - 12y + 12$

Для данного трёхчлена коэффициенты: $a = 3$, $b = -12$, $c = 12$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 144 - 144 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих), следовательно, трёхчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени. В данном случае он является полным квадратом, умноженным на коэффициент: $3(y^2 - 4y + 4) = 3(y - 2)^2$.

Ответ: можно.

622. Можно ли разложить на множители квадратный трёхчлен, коэффициенты которого равные, отличные от нуля числа?

Квадратный трёхчлен, коэффициенты которого равные, отличные от нуля число, имеет вид:

$a{x}^2+ax+a=0$

$D=a^2-4·a·a=a^2-4a^2=-3a^2<0$ при любом a≠0

Значит, разложить на множители такой трёхчлен нельзя

Ответ: нельзя

Чтобы определить, можно ли разложить квадратный трёхчлен на множители, необходимо проанализировать его дискриминант. Квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители с действительными коэффициентами тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Общий вид квадратного трёхчлена: $ax^2 + bx + c$, где $a \ne 0$.

По условию задачи, все коэффициенты трёхчлена равны между собой и являются отличными от нуля числами. Обозначим этот общий коэффициент буквой $k$, где $k \ne 0$. Таким образом, мы имеем $a = b = c = k$.

Наш квадратный трёхчлен принимает вид: $kx^2 + kx + k$.

Вычислим дискриминант $D$ для этого трёхчлена, используя стандартную формулу $D = b^2 - 4ac$.

Подставим значения коэффициентов $a=k$, $b=k$ и $c=k$ в формулу:

$D = k^2 - 4 \cdot k \cdot k = k^2 - 4k^2 = -3k^2$.

Теперь определим знак полученного дискриминанта. По условию, коэффициент $k$ — это отличное от нуля число ($k \ne 0$). Для любого действительного числа $k \ne 0$, его квадрат $k^2$ будет строго положительным числом ($k^2 > 0$).

Следовательно, выражение для дискриминанта $D = -3k^2$ всегда будет отрицательным, так как оно представляет собой произведение отрицательного числа (-3) на положительное число ($k^2$).

Поскольку дискриминант $D < 0$, это означает, что соответствующее квадратное уравнение $kx^2 + kx + k = 0$ не имеет действительных корней. А это, в свою очередь, значит, что данный квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: нет, нельзя разложить на множители квадратный трёхчлен, коэффициенты которого равные, отличные от нуля числа.

623. Покажите, что существует квадратный трёхчлен, имеющий корни, коэффициенты которого — натуральные числа вида n, 2n, 3n (расположенные в произвольном порядке). Разложите этот трёхчлен на множители.

$$\begin{gathered} 2x^2+6x+4=0 \\ D=6^2-4·2·4=36-32=4 \\ x=\frac{-6\pm \sqrt{4}}{4}; x=\frac{-6\pm 2}{4} \end{gathered}$$

x=-1 или x=-2

$2x^{2}2x^2$+6x+4=2(x+1)(x+2)

В общем виде:

$n{x}^2+3nx+2n=0nx^2+3nx+2n=0$

$D=(3n{)}^2-4\cdot n\cdot 2n=9n^2-8n^2=n^{2}D=(3n)^2-4\backslash cdot\; n\backslash cdot2n\; =\; 9n^2-8n^2=n^2$

$x=\frac{-3n\pm n}{2n}x=\backslash frac\{-3n\backslash pm\; n\}\{2n\}$

x₁=-1, x₂=-2

$n{x}^{2}nx^2$+3nx+2n=n(x+1)(x+2)

Пусть искомый квадратный трёхчлен имеет вид $ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a, b, c$ являются натуральными числами вида $n, 2n, 3n$, расположенными в произвольном порядке, и $n \in \mathbb{N}$.

Для того чтобы квадратный трёхчлен имел действительные корни, его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным, то есть $D \ge 0$. Проверим все $3! = 6$ возможных перестановок коэффициентов, чтобы найти ту, которая удовлетворяет этому условию.

1. $a=n, b=2n, c=3n$. Дискриминант $D = (2n)^2 - 4(n)(3n) = 4n^2 - 12n^2 = -8n^2$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n^2 > 0$, следовательно, $D < 0$. Корней нет.

2. $a=n, b=3n, c=2n$. Дискриминант $D = (3n)^2 - 4(n)(2n) = 9n^2 - 8n^2 = n^2$. Поскольку $n \in \mathbb{N}$, то $n^2 > 0$, следовательно, $D > 0$. Корни существуют.

3. $a=2n, b=n, c=3n$. Дискриминант $D = n^2 - 4(2n)(3n) = n^2 - 24n^2 = -23n^2 < 0$. Корней нет.

4. $a=2n, b=3n, c=n$. Дискриминант $D = (3n)^2 - 4(2n)(n) = 9n^2 - 8n^2 = n^2 > 0$. Корни существуют.

5. $a=3n, b=n, c=2n$. Дискриминант $D = n^2 - 4(3n)(2n) = n^2 - 24n^2 = -23n^2 < 0$. Корней нет.

6. $a=3n, b=2n, c=n$. Дискриминант $D = (2n)^2 - 4(3n)(n) = 4n^2 - 12n^2 = -8n^2 < 0$. Корней нет.

Мы установили, что существуют два варианта расстановки коэффициентов (пункты 2 и 4), при которых дискриминант положителен. Это доказывает, что требуемый квадратный трёхчлен существует.

Теперь разложим один из таких трёхчленов на множители. Возьмём случай, где $a=n, b=3n, c=2n$. Трёхчлен имеет вид $nx^2 + 3nx + 2n$.

Найдём его корни, решив уравнение $nx^2 + 3nx + 2n = 0$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $n$:

$x^2 + 3x + 2 = 0$

Корни этого приведённого квадратного уравнения можно найти по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$. Отсюда $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Разложение квадратного трёхчлена на множители выполняется по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$. Для нашего трёхчлена $a=n, x_1=-1, x_2=-2$.

$nx^2 + 3nx + 2n = n(x - (-1))(x - (-2)) = n(x+1)(x+2)$.

Ответ: Такой трёхчлен существует, например, $nx^2 + 3nx + 2n$. Его разложение на множители: $n(x+1)(x+2)$.

624. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}}\mathbf{ }\frac{4x+4}{3x^2+2x-1}=\frac{4\left(x+1\right)}{3\left(x+1\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}=\frac{4}{3x-1} \\ 3x^2+2x-1=0 \\ D=4-4\cdot 3\cdot \left(-1\right)=4+12=16 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{6}; x=\frac{-2\pm 4}{6} \\ x=\frac{1}{3}\text{ или }x=-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2a^2-5a-3}{3a-9}=\frac{2\left(a+\frac{1}{2}\right)\left(a-3\right)}{3\left(a-3\right)}=\frac{2a+1}{3} \\ 2a^2-5a-3=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=25+24=49 \\ a=\frac{5\pm \sqrt{49}}{4}; a=\frac{5\pm 7}{4} \\ a=3\text{ или }a=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }{b}^2-b-12=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=1+48=49 \\ b=\frac{1\pm \sqrt{49}}{2}; b=\frac{1\pm 7}{2} \\ b=4\text{ или }b=-3 \\ \frac{16-b^2}{b^2-b-12}=\frac{\left(4-b\right)\left(4+b\right)}{\left(b-4\right)\left(b+3\right)}= \\ =\frac{-\left(b-4\right)\left(b+4\right)}{\left(b-4\right)\left(b+3\right)}=-\frac{b+4}{b+3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}2y^2+7y+3=0 \\ D=7^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25 \\ y=\frac{-7\pm \sqrt{25}}{4}; y=\frac{-7\pm 5}{4} \\ y=-\frac{1}{2}\text{ или }y=-3 \\ \frac{2y^2+7y+3}{y^2-9}=\frac{2\left(y+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\left(y+3\right)}{\left(y-3\right)\left(y+3\right)}=\frac{2y+1}{y-3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}}\mathbf{ }{p}^2-11p+10=0 \\ D={\left(-11\right)}^2-4\cdot 1\cdot 10=121-40=81 \\ p=\frac{11\pm \sqrt{81}}{2}; p=\frac{11\pm 9}{2} \\ p=10\text{ или }p=1 \\ {p}^2-11p+10=\left(p-10\right)\left(p-1\right) \\ 20+8p-p^2=0 \\ -p^2+8p+20=0 \\ D=8^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 20=64+80=144 \\ p=\frac{-8\pm \sqrt{144}}{-2}; p=\frac{-8\pm 12}{-2} \\ p=-2\text{ или }p=10 \\ 20+8p-p^2=-\left(p+2\right)\left(p-10\right) \\ \frac{p^2-11p+10}{20+8p-p^2}=\frac{\left(p-10\right)\left(p-1\right)}{-\left(p+2\right)\left(p-10\right)}=-\frac{p-1}{p+2}=\frac{1-p}{p+2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}3x^2+16x-12=0 \\ D=16^2-4\cdot 3\cdot \left(-12\right)=256+144=400 \\ x=\frac{-16\pm \sqrt{400}}{6}; x=\frac{-16\pm 20}{6} \\ x=\frac{2}{3}\text{ или }x=-6 \\ 3x^2+16x-12=3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+6\right) \\ 10-13x-3x^2=0 \\ D={\left(-13\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 10=169+120=289 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{289}}{-6}; x=\frac{13\pm 17}{-6} \\ x=-5\text{ или }x=\frac{2}{3} \\ 10-13x-3x^2=-3\left(x-\frac{2}{3}\right)(x+5) \\ \frac{3x^2+16x-12}{10-13x-3x^2}=\frac{3\left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)(x+6)}{-3\left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)(x+5)}=-\frac{x+6}{x+5} \end{gathered}$$

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{4x + 4}{3x^2 + 2x - 1}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель за скобки: $4x + 4 = 4(x + 1)$.

Знаменатель $3x^2 + 2x - 1$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$; $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Разложение на множители: $3x^2 + 2x - 1 = 3(x - x_1)(x - x_2) = 3(x - (-1))(x - \frac{1}{3}) = 3(x+1)(x - \frac{1}{3}) = (x+1)(3x-1)$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь: $\frac{4(x + 1)}{(x + 1)(3x - 1)}$.

Сокращаем общий множитель $(x+1)$: $\frac{4}{3x - 1}$.

Ответ: $\frac{4}{3x - 1}$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{2a^2 - 5a - 3}{3a - 9}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $2a^2 - 5a - 3$, найдя корни уравнения $2a^2 - 5a - 3 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Корни: $a_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$; $a_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Разложение: $2(a - 3)(a + \frac{1}{2}) = (a - 3)(2a + 1)$.

Разложим знаменатель: $3a - 9 = 3(a - 3)$.

Подставим в дробь: $\frac{(a - 3)(2a + 1)}{3(a - 3)}$.

Сокращаем общий множитель $(a-3)$: $\frac{2a + 1}{3}$.

Ответ: $\frac{2a + 1}{3}$.

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{16 - b^2}{b^2 - b - 12}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель раскладывается по формуле разности квадратов: $16 - b^2 = (4 - b)(4 + b)$.

Для разложения знаменателя $b^2 - b - 12$ решим уравнение $b^2 - b - 12 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение $-12$. Корни: $b_1 = 4$, $b_2 = -3$.
Разложение: $b^2 - b - 12 = (b - 4)(b + 3)$.

Подставим в дробь: $\frac{(4 - b)(4 + b)}{(b - 4)(b + 3)}$.

Так как $4 - b = -(b - 4)$, то дробь можно переписать в виде $\frac{-(b - 4)(b + 4)}{(b - 4)(b + 3)}$.

Сокращаем общий множитель $(b-4)$: $\frac{-(b + 4)}{b + 3} = -\frac{b + 4}{b + 3}$.

Ответ: $-\frac{b + 4}{b + 3}$.

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{2y^2 + 7y + 3}{y^2 - 9}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $2y^2 + 7y + 3$, найдя корни уравнения $2y^2 + 7y + 3 = 0$.
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
Корни: $y_1 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$; $y_2 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Разложение: $2(y - (-3))(y - (-\frac{1}{2})) = 2(y + 3)(y + \frac{1}{2}) = (y + 3)(2y + 1)$.

Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: $y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)$.

Подставим в дробь: $\frac{(y + 3)(2y + 1)}{(y - 3)(y + 3)}$.

Сокращаем общий множитель $(y+3)$: $\frac{2y + 1}{y - 3}$.

Ответ: $\frac{2y + 1}{y - 3}$.

д)

Чтобы сократить дробь $\frac{p^2 - 11p + 10}{20 + 8p - p^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $p^2 - 11p + 10$. По теореме Виета, корни уравнения $p^2 - 11p + 10 = 0$ равны $1$ и $10$.
Разложение: $(p - 1)(p - 10)$.

Разложим знаменатель $20 + 8p - p^2 = -(p^2 - 8p - 20)$. Решим уравнение $p^2 - 8p - 20 = 0$.
По теореме Виета, корни равны $10$ и $-2$.
Разложение: $-(p - 10)(p - (-2)) = -(p - 10)(p + 2)$.

Подставим в дробь: $\frac{(p - 1)(p - 10)}{-(p - 10)(p + 2)}$.

Сокращаем общий множитель $(p-10)$: $\frac{p - 1}{-(p + 2)} = -\frac{p - 1}{p + 2}$.

Ответ: $-\frac{p - 1}{p + 2}$.

е)

Чтобы сократить дробь $\frac{3x^2 + 16x - 12}{10 - 13x - 3x^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $3x^2 + 16x - 12$, решив уравнение $3x^2 + 16x - 12 = 0$.
$D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$.
Корни: $x_1 = \frac{-16 - \sqrt{400}}{6} = -6$; $x_2 = \frac{-16 + \sqrt{400}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Разложение: $3(x - (-6))(x - \frac{2}{3}) = (x + 6)(3x - 2)$.

Разложим знаменатель $10 - 13x - 3x^2 = -(3x^2 + 13x - 10)$. Решим уравнение $3x^2 + 13x - 10 = 0$.
$D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289$.
Корни: $x_3 = \frac{-13 - \sqrt{289}}{6} = -5$; $x_4 = \frac{-13 + \sqrt{289}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Разложение: $-(3(x - (-5))(x - \frac{2}{3})) = -(x + 5)(3x - 2)$.

Подставим в дробь: $\frac{(x + 6)(3x - 2)}{-(x + 5)(3x - 2)}$.

Сокращаем общий множитель $(3x-2)$: $\frac{x + 6}{-(x + 5)} = -\frac{x + 6}{x + 5}$.

Ответ: $-\frac{x + 6}{x + 5}$.

625. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2-11x+24}{x^2-64}=\frac{\left(x-8\right)\left(x-3\right)}{\left(x-8\right)\left(x+8\right)}=\frac{x-3}{x+8} \\ {x}^2-11x+24=0 \\ D={\left(-11\right)}^2-4\cdot 1\cdot 24=121-96=25 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{25}}{2}; x=\frac{11\pm 5}{2} \\ x=8\text{ или} x=3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }2y^2+9y-5=0 \\ D=9^2-4\cdot 2\cdot \left(-5\right)=81+40=121 \\ y=\frac{-9\pm \sqrt{121}}{4}; y=\frac{-9\pm 11}{4} \\ y=\frac{1}{2}\text{ или }y=-5 \\ 2y^2+9y-5=2\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(y+5\right) \\ \frac{2y^2+9y-5}{4y^2-1}=\frac{2\left(y-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\left(y+5\right)}{\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)}= \\ =\frac{\left(2y-1\right)\left(y+5\right)}{\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)}=\frac{y+5}{2y+1} \end{gathered}$$

a)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 64}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $x^2 - 11x + 24$. Это квадратный трехчлен. Для разложения найдем корни уравнения $x^2 - 11x + 24 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней $x_1 + x_2 = 11$
• Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 24$

Методом подбора находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 8$. Квадратный трехчлен раскладывается на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$. В нашем случае $a=1$, поэтому разложение будет $(x - 3)(x - 8)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^2 - 64$. Это разность квадратов, так как $64 = 8^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $x^2 - 64 = x^2 - 8^2 = (x - 8)(x + 8)$.

3. Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь: $\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 64} = \frac{(x - 3)(x - 8)}{(x - 8)(x + 8)}$.

4. Сократим общий множитель $(x - 8)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x - 8 \neq 0$, то есть $x \neq 8$: $\frac{(x - 3)\cancel{(x - 8)}}{\cancel{(x - 8)}(x + 8)} = \frac{x - 3}{x + 8}$.

Ответ: $\frac{x - 3}{x + 8}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{2y^2 + 9y - 5}{4y^2 - 1}$, также разложим на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $2y^2 + 9y - 5$. Найдем корни квадратного уравнения $2y^2 + 9y - 5 = 0$ с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$. Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $y_1 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. $y_2 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5$. Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(y - y_1)(y - y_2)$: $2(y - \frac{1}{2})(y - (-5)) = 2(y - \frac{1}{2})(y + 5)$. Умножим множитель 2 на первую скобку, чтобы избавиться от дроби: $(2y - 1)(y + 5)$.

2. Разложим на множители знаменатель $4y^2 - 1$. Это разность квадратов, так как $4y^2 = (2y)^2$ и $1 = 1^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $4y^2 - 1 = (2y)^2 - 1^2 = (2y - 1)(2y + 1)$.

3. Подставим полученные разложения в исходную дробь: $\frac{2y^2 + 9y - 5}{4y^2 - 1} = \frac{(2y - 1)(y + 5)}{(2y - 1)(2y + 1)}$.

4. Сократим общий множитель $(2y - 1)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $2y - 1 \neq 0$, то есть $y \neq \frac{1}{2}$: $\frac{\cancel{(2y - 1)}(y + 5)}{\cancel{(2y - 1)}(2y + 1)} = \frac{y + 5}{2y + 1}$.

Ответ: $\frac{y + 5}{2y + 1}$