Страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

639. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\frac{10}{\left(x-5\right)\left(x+1\right)}+\frac{3}{x+1}=\frac{3}{x-5} /·\left(x-5\right)\left(x+1\right) \\ 10+x\left(x-5\right)=3\left(x+1\right) \\ 10+x^2-5x=3x+3 \\ {x}^2-5x-3x-3+10=0 \\ {x}^2-8x+7=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4·1·7=64-28=36 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{36}}{2}; x=\frac{8\pm 6}{2} \\ x=7\text{ или }x=1 \end{gathered}$$

Если $x=7x\; =\; 7$, то $\left(x-5\right)\left(x+1\right)=\left(7-5\right)\left(7+1\right)=2·8=16\ne 0,$

если $x=1x\; =\; 1$, то $\left(x-5\right)\left(x+1\right)=\left(1-5\right)\left(1+1\right)=-4·2=-8\ne 0$

Ответ: 1; 7

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{17}{\left(x-3\right)\left(x+4\right)}-\frac{1}{x-3}=\frac{x}{x+4} /·\left(x-3\right)\left(x+4\right) \\ 17-\left(x+4\right)=x\left(x-3\right) \\ 17-x-4=x^2-3x \\ {x}^2-3x+x+4-17=0 \\ {x}^2-2x-13=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-13\right)=4+52=56 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{56}}{2}; x=\frac{2\pm 2\sqrt{14}}{2} \\ {x}_1=1+\sqrt{14}; x_2=1-\sqrt{14} \end{gathered}$$

Если $x=1+\sqrt{14}x\; =\; 1\; +\; \backslash sqrt\{14\}$, то $$\begin{gathered} \left(x-3\right)\left(x+4\right)=\left(1+\sqrt{14}-3\right)\left(1+\sqrt{14}+4\right)=(x-3)(x+4)\; =\; (1\; +\; \backslash sqrt\{14\}\; -\; 3)(1\; +\; \backslash sqrt\{14\}\; +\; 4)\; = \\ \left(\sqrt{14}-2\right)\left(\sqrt{14}+5\right)\mathrm{\ne }0(\backslash sqrt\{14\}\; -\; 2)(\backslash sqrt\{14\}\; +\; 5)\; \backslash ne\; 0 \end{gathered}$$

Если $x=1-\sqrt{14}x\; =\; 1\; -\; \backslash sqrt\{14\}$, то $$\begin{gathered} \left(x-3\right)\left(x+4\right)=\left(1-\sqrt{14}-3\right)\left(1-\sqrt{14}+4\right)=(x-3)(x+4)\; =\; (1\; -\; \backslash sqrt\{14\}\; -\; 3)(1\; -\; \backslash sqrt\{14\}\; +\; 4)\; = \\ \left(-\sqrt{14}-2\right)\left(5-\sqrt{14}\right)\mathrm{\ne }0(-\backslash sqrt\{14\}\; -\; 2)(5\; -\; \backslash sqrt\{14\})\; \backslash ne\; 0 \end{gathered}$$

Ответ: $1+\sqrt{14}, 1-\sqrt{14}$

$\mathbf{\text{в) }}\frac{4}{{\left(x+1\right)}^{\mathbf{2}}}-\frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{x-1}=0$

$\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=0$ $/·{\left(x+1\right)}^2{\left(x-1\right)}^2$

$$\begin{gathered} 4{\left(x-1\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2+\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0 \\ 4\left(x^2-2x+1\right)-\left(x^2+2x+1\right)+x^2-1=0 \\ 4x^2-8x+4-x^2-2x-1+x^2-1=0 \\ 4x^2-10x+2=0 \\ D={\left(-10\right)}^2-4·4·2=100-32=68 \\ x=\frac{10\pm \sqrt{68}}{8}; x=\frac{10\pm 2\sqrt{17}}{8}; x=\frac{2\left(5\pm \sqrt{17}\right)}{8} \\ x=\frac{5+\sqrt{17}}{4}\text{ или }x=\frac{5-\sqrt{17}}{4} \end{gathered}$$

Если $x={\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{4}}x\; =\; \backslash frac\{5\; +\; \backslash sqrt\{17\}\}\{4\}$, то ${\left(x+1\right)}^2{\left(x-1\right)}^2={\left(\frac{5+\sqrt{17}}{4}+1\right)}^2{\left(\frac{5+\sqrt{17}}{4}-1\right)}^2\ne 0,$

Если $x={\displaystyle \frac{5-\sqrt{17}}{4}}x\; =\; \backslash frac\{5\; -\; \backslash sqrt\{17\}\}\{4\}$, то ${\left(x+1\right)}^2{\left(x-1\right)}^2={\left(\frac{5-\sqrt{17}}{4}+1\right)}^2{\left(\frac{5-\sqrt{17}}{4}-1\right)}^2\ne 0$

Ответ: $\frac{5+\sqrt{17}}{4}; \frac{5-\sqrt{17}}{4}$

$\mathbf{\text{г) }}\frac{4}{9x^2-1}+\frac{1}{3x^2-x}=\frac{4}{9x^2-6x+1}$

$\frac{4}{\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)}+\frac{1}{x\left(3x-1\right)}=\frac{4}{{\left(3x-1\right)}^2}$ $/·x{\left(3x-1\right)}^2\left(3x+1\right)$

$$\begin{gathered} 4x\left(3x-1\right)+\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)=4x\left(3x+1\right) \\ 12x^2-4x+9x^2-1=12x^2+4x \\ 12x^2-4x+9x^2-1-12x^2-4x=0 \\ 9x^2-8x-1=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4·9·\left(-1\right)=64+36=100 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{100}}{18}; x=\frac{8\pm 10}{18} \\ x=1\text{ или }x=-\frac{1}{9} \end{gathered}$$

Если $x=1x\; =\; 1$, то $x{\left(3x-1\right)}^2\left(3x+1\right)=1{\left(3·1-1\right)}^2\left(3·1+1\right)=4·4=16\ne 0$

Если $x=-{\displaystyle \frac{1}{9}}x\; =\; -\backslash frac\{1\}\{9\}$, то

$$\begin{gathered} x{\left(3x-1\right)}^2\left(3x+1\right)=-\frac{1}{9}{\left(3\left(-\frac{1}{9}\right)-1\right)}^2\times \\ \times \left(3\left(-\frac{1}{9}\right)+1\right)=-\frac{1}{9}{\left(-\frac{1}{3}-1\right)}^2\left(-\frac{1}{3}+1\right)= \\ =-\frac{1}{9}·{\left(-\frac{4}{3}\right)}^2·\frac{2}{3}=-\frac{1}{9}·\frac{16}{9}·\frac{2}{3}\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $-\frac{1}{9}; 1$

а) $\frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому: $x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$ $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$ ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -1$.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $(x-5)(x+1)$. Для этого домножим второй член на $(x-5)$, а третий член на $(x+1)$: $\frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x(x-5)}{(x-5)(x+1)} = \frac{3(x+1)}{(x-5)(x+1)}$

Так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ, мы можем приравнять числители: $10 + x(x-5) = 3(x+1)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение: $10 + x^2 - 5x = 3x + 3$ $x^2 - 5x - 3x + 10 - 3 = 0$ $x^2 - 8x + 7 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 + x_2 = 8$ $x_1 \cdot x_2 = 7$ Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ. Оба корня ($1$ и $7$) не равны $5$ и $-1$, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $1; 7$.

б) $\frac{17}{(x-3)(x+4)} - \frac{1}{x-3} = \frac{x}{x+4}$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю. $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$ $x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$ ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -4$.

Общий знаменатель: $(x-3)(x+4)$. Домножим члены уравнения на недостающие множители: $\frac{17}{(x-3)(x+4)} - \frac{1(x+4)}{(x-3)(x+4)} = \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+4)}$

Приравняем числители: $17 - (x+4) = x(x-3)$

Раскроем скобки и решим уравнение: $17 - x - 4 = x^2 - 3x$ $13 - x = x^2 - 3x$ $x^2 - 3x + x - 13 = 0$ $x^2 - 2x - 13 = 0$

Это квадратное уравнение, решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 14}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 1 \pm \sqrt{14}$

Корни $x_1 = 1 + \sqrt{14}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{14}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1 \pm \sqrt{14}$.

в) $\frac{4}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x^2-1} = 0$

Преобразуем знаменатель последнего члена: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$ и $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Общий знаменатель: $(x+1)^2(x-1)^2$. Умножим все уравнение на него: $4(x-1)^2 - 1(x+1)^2 + 1(x-1)(x+1) = 0$

Раскроем скобки: $4(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 1) = 0$ $4x^2 - 8x + 4 - x^2 - 2x - 1 + x^2 - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые: $(4x^2 - x^2 + x^2) + (-8x - 2x) + (4 - 1 - 1) = 0$ $4x^2 - 10x + 2 = 0$ Разделим уравнение на 2 для упрощения: $2x^2 - 5x + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$

Корни $x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$ и $x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$ не равны $\pm 1$, поэтому удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$.

г) $\frac{4}{9x^2-1} + \frac{1}{3x^2-x} = \frac{4}{9x^2-6x+1}$

Разложим знаменатели на множители: $9x^2-1 = (3x-1)(3x+1)$ $3x^2-x = x(3x-1)$ $9x^2-6x+1 = (3x-1)^2$

Уравнение принимает вид: $\frac{4}{(3x-1)(3x+1)} + \frac{1}{x(3x-1)} = \frac{4}{(3x-1)^2}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $3x-1 \neq 0 \implies x \neq 1/3$, $3x+1 \neq 0 \implies x \neq -1/3$.

Общий знаменатель: $x(3x+1)(3x-1)^2$. Умножим уравнение на него: $4x(3x-1) + 1(3x+1)(3x-1) = 4x(3x+1)$

Раскроем скобки и упростим: $12x^2 - 4x + 9x^2 - 1 = 12x^2 + 4x$ $21x^2 - 4x - 1 = 12x^2 + 4x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные: $21x^2 - 12x^2 - 4x - 4x - 1 = 0$ $9x^2 - 8x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100 = 10^2$ $x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$ $x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{18} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9}$

Оба корня ($1$ и $-1/9$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0, \pm 1/3$).

Ответ: $1; -\frac{1}{9}$.

640. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\frac{21}{x+1}=\frac{16}{x-2}-\frac{6}{1} /·x\left(x+1\right)\left(x-2\right) \\ 21x\left(x-2\right)=16x\left(x+1\right)-6\left(x+1\right)\left(x-2\right) \\ 21x^2-42x=16x^2+16x-6\left(x^2-2x+x-2\right) \\ 21x^2-42x=16x^2+16x-6x^2+6x+12 \\ 21x^2-42x=10x^2+22x+12 \\ 11x^2-64x-12=0 \\ D={\left(-64\right)}^2-4·11·\left(-12\right)=4096+528=4624 \\ x=\frac{64\pm \sqrt{4624}}{22}; x=\frac{64\pm 68}{22} \\ \begin{array}{ccl}x=6& \text{или}& x=-\frac{4}{22}\\ & & x=-\frac{2}{11}\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=6 x\; =\; 6$, то $x\left(x+1\right)\left(x-2\right)=6·\left(6+1\right)·\left(6-2\right)\mathrm{\ne }0 x(x+1)(x-2)\; =\; 6\; \backslash cdot\; (6+1)\; \backslash cdot\; (6-2)\; \backslash neq\; 0$,

если $x=-{\displaystyle \frac{2}{11}} x\; =\; -\; \backslash frac\{2\}\{11\}$, то $x\left(x+1\right)\left(x-2\right)=-{\displaystyle \frac{2}{11}}\left(-{\displaystyle \frac{2}{11}}+1\right)\left(-{\displaystyle \frac{2}{11}}-2\right)\mathrm{\ne }0 x(x+1)(x-2)\; =\; -\; \backslash frac\{2\}\{11\}\; (-\backslash frac\{2\}\{11\}\; +\; 1)\; (-\backslash frac\{2\}\{11\}\; -\; 2)\; \backslash neq\; 0$

Other: $-\frac{2}{11}; 6$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2}{y^2-3y}-\frac{1}{y-3}=\frac{5}{y^3-9y} \\ \frac{2}{y\left(y-2\right)}-\frac{1}{y-3}=\frac{5}{y\left(y^2-9\right)} \\ \frac{2}{y\left(y-2\right)}-\frac{1}{y-3}=\frac{5}{y\left(y-3\right)\left(y+3\right)} /·y\left(y-3\right)\left(y+3\right) \\ 2\left(y+3\right)-y\left(y+3\right)=5 \\ 2y+6-y^2-3y-5=0 \\ -y^2-y+1=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·\left(-1\right)·1=1+4=5 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{5}}{-2}; y=-\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} \\ y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\text{или}y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$

Если $y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$, то

$$\begin{gathered} y\left(y-3\right)\left(y+3\right)=y(y^2-9)= \\ =\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left({\left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)}^2-9\right)\ne 0, \end{gathered}$$

Если $y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, то $y\left(y^2-9\right)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\left({\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2-9\right)\ne 0$

Other: $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}; \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$\mathbf{\text{в) }}\frac{18}{4x^2+4x+1}-\frac{1}{2x^2-x}=\frac{6}{4x^2-1}$

$\frac{18}{{\left(2x+1\right)}^2}-\frac{1}{x\left(2x-1\right)}=\frac{6}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}$ $/·x{\left(2x+1\right)}^2\left(2x-1\right)$

$$\begin{gathered} 18x\left(2x-1\right)-{\left(2x+1\right)}^2=6x\left(2x+1\right) \\ 36x^2-18x-\left(4x^2+4x+1\right)=12x^2+6x \\ 36x^2-18x-4x^2-4x-1-12x^2-6x=0 \\ 20x^2-28x-1=0 \\ D={\left(-28\right)}^2-4·20·\left(-1\right)=784+80=864 \\ x=\frac{28\pm \sqrt{864}}{40}; x=\frac{28\pm \sqrt{144·6}}{40} \\ x=\frac{28\pm 12\sqrt{6}}{40}; x=\frac{4\left(7\pm 3\sqrt{6}\right)}{40} \\ {x}_1=\frac{7+3\sqrt{6}}{10}; x_2=\frac{7-3\sqrt{6}}{10} \end{gathered}$$

Если $x={\displaystyle \frac{7+3\sqrt{6}}{10}} x\; =\; \backslash frac\{7\; +\; 3\backslash sqrt\{6\}\}\{10\}$, то

$$\begin{gathered} x{\left(2x+1\right)}^2\left(2x-1\right)=\frac{7+3\sqrt{6}}{10}{\left(2·\frac{7+3\sqrt{6}}{10}+1\right)}^2\times \\ \times \left(2·\frac{7+3\sqrt{6}}{10}-1\right)\ne 0 \end{gathered}$$

Если $x={\displaystyle \frac{7-3\sqrt{6}}{10}} x\; =\; \backslash frac\{7\; -\; 3\backslash sqrt\{6\}\}\{10\}$, то

$$\begin{gathered} x{\left(2x+1\right)}^2\left(2x-1\right)=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}{\left(2·\frac{7-3\sqrt{6}}{10}+1\right)}^2\times \\ \times \left(2·\frac{7-3\sqrt{6}}{10}-1\right)\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{7+3\sqrt{6}}{10}; \frac{7-3\sqrt{6}}{10}$

$\mathbf{\text{г) }}\frac{3\left(4y^2+10y-7\right)}{16y^2-9}=\frac{3y-7}{3-4y}+\frac{6y+5}{3+4y}$

$\frac{3\left(4y^2+10y-7\right)}{\left(4y-3\right)\left(4y+3\right)}=-\frac{3y-7}{4y-3}+\frac{6y+5}{4y+3}$$/·\left(4y·3\right)\left(4y+3\right)$

$$\begin{gathered} 3\left(4y^2+10y-7\right)=-\left(3y-7\right)\left(4y+3\right)+\left(6y+5\right)\left(4y-3\right) \\ 12y^2+30y-21=-\left(12y^2+9y-28y-21\right)+ \\ +24y^2-18y+20y-15 \\ 12y^2+30y-21=-12y^2+19y+21+24y^2+2y-15 \\ 12y^2+30y-21=12y^2+21y+6 \\ 12y^2+30y-21-12y^2-21y-6=0 \\ 9y-27=0 \\ 9y=27 \\ y=3 \end{gathered}$$

Если y=3, то

$$\begin{gathered} (4y-3)(4y+3)=16y^2-9=16·3^2-9= \\ =16·9-9=9(16-1)=9·15=135\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: 3

а) $ \frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} - \frac{6}{x} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$x \neq 0$

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $x(x-2)$:

$ \frac{21}{x+1} = \frac{16x - 6(x-2)}{x(x-2)} $

$ \frac{21}{x+1} = \frac{16x - 6x + 12}{x(x-2)} $

$ \frac{21}{x+1} = \frac{10x + 12}{x(x-2)} $

Воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест):

$ 21 \cdot x(x-2) = (10x + 12)(x+1) $

Раскроем скобки:

$ 21x^2 - 42x = 10x^2 + 10x + 12x + 12 $

$ 21x^2 - 42x = 10x^2 + 22x + 12 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$ 21x^2 - 10x^2 - 42x - 22x - 12 = 0 $

$ 11x^2 - 64x - 12 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-12) = 4096 + 528 = 4624 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{4624} = 68 $

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + 68}{2 \cdot 11} = \frac{132}{22} = 6 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - 68}{2 \cdot 11} = \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $6; -\frac{2}{11}$.

б) $ \frac{2}{y^2 - 3y} - \frac{1}{y - 3} = \frac{5}{y^3 - 9y} $

Разложим знаменатели на множители и определим ОДЗ:

$y^2 - 3y = y(y - 3)$

$y^3 - 9y = y(y^2 - 9) = y(y-3)(y+3)$

Знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому:

$y \neq 0; \quad y-3 \neq 0 \Rightarrow y \neq 3; \quad y+3 \neq 0 \Rightarrow y \neq -3$.

ОДЗ: $y \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$ \frac{2}{y(y-3)} - \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y(y-3)(y+3)} $

Общий знаменатель: $y(y-3)(y+3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$ 2(y+3) - 1 \cdot y(y+3) = 5 $

Раскроем скобки и упростим:

$ 2y + 6 - y^2 - 3y = 5 $

$ -y^2 - y + 6 - 5 = 0 $

$ -y^2 - y + 1 = 0 $

Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$ y^2 + y - 1 = 0 $

Решим уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{5} $

$ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $

$ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} $

Оба корня не равны 0, 3 или -3, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $.

в) $ \frac{18}{4x^2 + 4x + 1} - \frac{1}{2x^2 - x} = \frac{6}{4x^2 - 1} $

Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ:

$4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2$

$2x^2 - x = x(2x-1)$

$4x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1)$

Из ОДЗ исключаются значения x, при которых знаменатели равны нулю:

$2x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1/2$

$x \neq 0$

$2x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1/2$

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (-1/2; 0) \cup (0; 1/2) \cup (1/2; +\infty)$.

Перепишем уравнение:

$ \frac{18}{(2x+1)^2} - \frac{1}{x(2x-1)} = \frac{6}{(2x-1)(2x+1)} $

Общий знаменатель: $x(2x-1)(2x+1)^2$. Умножим обе части уравнения на него:

$ 18x(2x-1) - 1(2x+1)^2 = 6x(2x+1) $

Раскроем скобки:

$ 36x^2 - 18x - (4x^2 + 4x + 1) = 12x^2 + 6x $

$ 36x^2 - 18x - 4x^2 - 4x - 1 = 12x^2 + 6x $

$ 32x^2 - 22x - 1 = 12x^2 + 6x $

Перенесем все в левую часть:

$ 32x^2 - 12x^2 - 22x - 6x - 1 = 0 $

$ 20x^2 - 28x - 1 = 0 $

Решим квадратное уравнение:

$ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1) = 784 + 80 = 864 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{864} = \sqrt{144 \cdot 6} = 12\sqrt{6} $

$ x_1 = \frac{28 + 12\sqrt{6}}{2 \cdot 20} = \frac{28 + 12\sqrt{6}}{40} = \frac{4(7 + 3\sqrt{6})}{40} = \frac{7 + 3\sqrt{6}}{10} $

$ x_2 = \frac{28 - 12\sqrt{6}}{2 \cdot 20} = \frac{28 - 12\sqrt{6}}{40} = \frac{4(7 - 3\sqrt{6})}{40} = \frac{7 - 3\sqrt{6}}{10} $

Найденные корни не совпадают с ограничениями ОДЗ ($x \neq 0, \pm 1/2$).

Ответ: $ \frac{7 \pm 3\sqrt{6}}{10} $.

г) $ \frac{3(4y^2 + 10y - 7)}{16y^2 - 9} = \frac{3y-7}{3-4y} + \frac{6y+5}{3+4y} $

Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ:

$16y^2 - 9 = (4y-3)(4y+3)$

$3-4y = -(4y-3)$

$3+4y = 4y+3$

ОДЗ: $4y-3 \neq 0 \Rightarrow y \neq 3/4$ и $4y+3 \neq 0 \Rightarrow y \neq -3/4$.

Преобразуем уравнение, приведя знаменатели к одному виду:

$ \frac{3(4y^2 + 10y - 7)}{(4y-3)(4y+3)} = -\frac{3y-7}{4y-3} + \frac{6y+5}{4y+3} $

Приведем правую часть к общему знаменателю $(4y-3)(4y+3)$:

$ \frac{3(4y^2 + 10y - 7)}{(4y-3)(4y+3)} = \frac{-(3y-7)(4y+3) + (6y+5)(4y-3)}{(4y-3)(4y+3)} $

Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:

$ 3(4y^2 + 10y - 7) = -(3y-7)(4y+3) + (6y+5)(4y-3) $

Раскроем скобки:

$ 12y^2 + 30y - 21 = -(12y^2 + 9y - 28y - 21) + (24y^2 - 18y + 20y - 15) $

$ 12y^2 + 30y - 21 = -(12y^2 - 19y - 21) + (24y^2 + 2y - 15) $

$ 12y^2 + 30y - 21 = -12y^2 + 19y + 21 + 24y^2 + 2y - 15 $

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$ 12y^2 + 30y - 21 = (24y^2 - 12y^2) + (19y + 2y) + (21 - 15) $

$ 12y^2 + 30y - 21 = 12y^2 + 21y + 6 $

Сократим $12y^2$ с обеих сторон:

$ 30y - 21 = 21y + 6 $

Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:

$ 30y - 21y = 6 + 21 $

$ 9y = 27 $

$ y = \frac{27}{9} = 3 $

Корень $y=3$ удовлетворяет ОДЗ ($y \neq \pm 3/4$).

Ответ: $3$.

641. (Для работы в парах.) Решите уравнение:

1) Обсудите, какие преобразования и в какой последовательности надо выполнить, чтобы найти корни уравнения.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли решено уравнение.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle 2+\frac{1}{5-x^2}}}}}=1\frac{7}{24} \\ 1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{2\left(5-x^2\right)+1}{5-x^2}}}}}=\frac{31}{24} \\ 1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1(5-x^2)}{10-2x^2+1}}}=\frac{31}{24} \\ 1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{5-x^2}{11-2x^2}}}=\frac{31}{24} \\ 1+\frac{1}{{\displaystyle \frac{3\left(11-2x^2\right)+5-x^2}{11-2x^2}}}=\frac{31}{24} \\ 1+\frac{11-2x^2}{33-6x^2+5-x^2}=\frac{31}{24} \\ 1+\frac{11-2x^2}{38-7x^2}=\frac{31}{24} \\ \frac{38-7x^2+11-2x^2}{38-7x^2}=\frac{31}{24} \\ \frac{-9x^2+49}{38-7x^2}=\frac{31}{24} \\ \left(-9x^2+49\right)·24=31\left(38-7x^2\right) \\ -216x^2+1176=1178-217x^2 \\ -216x^2+217x^2=1178-1176 \\ {x}^2=2 \\ x=-\sqrt{2}\text{ или }x=\sqrt{2} \end{gathered}$$

Проверка:

Если $x=-\sqrt{2}$, то

$$\begin{gathered} 1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{5-{(-\sqrt{2})}^2}}}}}=1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{3}}}}}= \\ =1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{7}{3}}}}}=1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{3}{7}}}= \\ =1+\frac{1}{{\displaystyle \frac{24}{7}}}=1+\frac{7}{24}=\frac{31}{24}=1\frac{7}{24}, \end{gathered}$$

Если $x=\sqrt{2}$, то

$1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{5-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}}}}}=1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{3}}}}}=1\frac{7}{24}$

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{10-x^2}}}}}=\frac{3}{5} \\ 1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{10-x^2+1}{10-x^2}}}}}=\frac{3}{5} \\ 1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{10-x^2}{11-x^2}}}=\frac{3}{5} \\ 1-\frac{1}{{\displaystyle \frac{2\left(11-x^2\right)+10-x^2}{11-x^2}}}=\frac{3}{5} \\ 1-\frac{1}{{\displaystyle \frac{22-2x^2+10-x^2}{11-x^2}}}=\frac{3}{5} \\ 1-\frac{11-x^2}{32-3x^2}=\frac{3}{5} \\ \frac{32-3x^2-11+x^2}{32-3x^2}=\frac{3}{5} \\ \frac{21-2x^2}{32-3x^2}=\frac{3}{5} \\ 5\left(21-2x^2\right)=3\left(32-3x^2\right) \\ 105-10x^2=96-9x^2 \\ 105-96=-9x^2+10x^2 \\ 9=x^2 \\ x=3\text{ или }x=-3 \end{gathered}$$

Если $x=3x=3$, то

$$\begin{gathered} 1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{10-3^2}}}}}=1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{1+1}}}= \\ =1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2}}}=1-\frac{1}{{\displaystyle \frac{5}{2}}}=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}, \end{gathered}$$

Если $x=-3x=-3$, то

$1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{10-{(-3)}^2}}}}}=1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{1+1}}}=\frac{3}{5}$

Ответ: -3; 3

Для решения данных уравнений используется метод последовательного упрощения многоэтажных (цепных) дробей. Преобразования выполняются "снаружи внутрь". На каждом шаге мы выделяем неизвестное выражение (которое само является дробью) как слагаемое, вычитаемое или делитель и находим его значение. Этот процесс повторяется, пока мы не дойдем до простейшего уравнения, содержащего $x^2$. Также в конце решения необходимо убедиться, что найденные корни не обращают знаменатели в ноль.

а) $1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}}} = 1\frac{7}{24}$

1. Перенесем 1 из левой части в правую. $1\frac{7}{24}$ представим как $\frac{31}{24}$.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}}} = \frac{31}{24} - 1 = \frac{31 - 24}{24} = \frac{7}{24}$

2. Если $\frac{1}{A} = \frac{B}{C}$, то $A = \frac{C}{B}$. "Перевернем" обе части уравнения:

$3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}} = \frac{24}{7}$

3. Перенесем 3 в правую часть:

$\frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}} = \frac{24}{7} - 3 = \frac{24 - 21}{7} = \frac{3}{7}$

4. Снова "перевернем" обе части:

$2 + \frac{1}{5 - x^2} = \frac{7}{3}$

5. Перенесем 2 в правую часть:

$\frac{1}{5 - x^2} = \frac{7}{3} - 2 = \frac{7 - 6}{3} = \frac{1}{3}$

6. И еще раз "перевернем" дроби:

$5 - x^2 = 3$

7. Решим полученное уравнение:

$x^2 = 5 - 3$

$x^2 = 2$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$

При этих значениях $x$ ни один из знаменателей в исходном уравнении не равен нулю, значит, корни подходят.

Ответ: $x = \pm\sqrt{2}$.

б) $1 - \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}} = \frac{3}{5}$

1. Выразим дробь из левой части:

$\frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

2. "Перевернем" обе части уравнения:

$2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}} = \frac{5}{2}$

3. Перенесем 2 в правую часть:

$\frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}} = \frac{5}{2} - 2 = \frac{5 - 4}{2} = \frac{1}{2}$

4. Снова "перевернем" обе части:

$1 + \frac{1}{10 - x^2} = 2$

5. Перенесем 1 в правую часть:

$\frac{1}{10 - x^2} = 1$

6. Отсюда следует, что знаменатель равен 1:

$10 - x^2 = 1$

7. Решим полученное уравнение:

$x^2 = 10 - 1$

$x^2 = 9$

$x_{1,2} = \pm 3$

При этих значениях $x$ ни один из знаменателей в исходном уравнении не равен нулю, значит, корни подходят.

Ответ: $x = \pm 3$.

642. Решите графически уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{6}{x}=x \\ y=\frac{6}{x} \end{gathered}$$

Область определения: все числа, кроме 0

y=x

Ответ: ≈-2,4; ≈2,4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{6}{x}=-x+6 \\ y=\frac{6}{x} \end{gathered}$$

y=-x+6

Ответ: ≈1,2; ≈4,9

а) Для того чтобы решить уравнение $ \frac{6}{x} = x $ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $ y = \frac{6}{x} $ и $ y = x $. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут являться решениями исходного уравнения.

1. График функции $ y = \frac{6}{x} $ — это гипербола. Поскольку коэффициент $ k=6 > 0 $, её ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Для построения графика найдем несколько точек: (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1), а также (-1; -6), (-2; -3), (-3; -2), (-6; -1).

2. График функции $ y = x $ — это прямая, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей. Она проходит через начало координат (0; 0) и, например, точку (4; 4).

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках, симметричных относительно начала координат. Одна точка пересечения находится в первой четверти, а другая — в третьей. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения. Для нахождения точных значений решим уравнение аналитически, так как из графика можно определить их лишь приблизительно.

$ \frac{6}{x} = x $
При условии $ x \neq 0 $, умножим обе части на $x$:
$ 6 = x^2 $
$ x^2 = 6 $
$ x_1 = \sqrt{6} $, $ x_2 = -\sqrt{6} $.

Таким образом, графики пересекаются в точках, абсциссы которых равны $ \sqrt{6} $ и $ -\sqrt{6} $.

Ответ: $ x_1 = \sqrt{6}, x_2 = -\sqrt{6} $.

б) Для решения уравнения $ \frac{6}{x} = -x + 6 $ графическим методом построим в одной системе координат графики функций $ y = \frac{6}{x} $ и $ y = -x + 6 $. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. График функции $ y = \frac{6}{x} $ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях, как и в предыдущем задании.

2. График функции $ y = -x + 6 $ — это прямая. Для её построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат:
при $ x = 0 $, $ y = -0 + 6 = 6 $. Точка (0; 6).
при $ y = 0 $, $ 0 = -x + 6 \implies x = 6 $. Точка (6; 0).

Построим оба графика в одной системе координат. Прямая $ y = -x + 6 $ пересекает ветвь гиперболы, расположенную в I координатной четверти, в двух точках. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения. Поскольку по графику найти точные значения корней затруднительно, решим уравнение аналитически.

$ \frac{6}{x} = -x + 6 $
При $ x \neq 0 $, умножим обе части на $x$:
$ 6 = -x^2 + 6x $
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ x^2 - 6x + 6 = 0 $
Найдем корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:
$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12 $
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} $.

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков равны $ 3 - \sqrt{3} $ и $ 3 + \sqrt{3} $.

Ответ: $ x_1 = 3 - \sqrt{3}, x_2 = 3 + \sqrt{3} $.

643. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение 1x= ax + b где а и b — некоторые числа. Для каждого случая укажите, каким условиям должны удовлетворять числа а и b.

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}=ax+b \\ y=\frac{1}{x} \end{gathered}$$

Область определения - все числа, кроме 0

y=ax+b - линейная функция, график-прямая

1) при a>0, b - любое число уравнение имеет два корня

2) при a<0, -2<b<2, уравнение не имеет корней

3) при a<0, $b=\pm 2\sqrt{-a}$, уравнение имеет один корень

Докажем, что при a<0, $b=\pm 2\sqrt{-a}$ уравнение имеет один корень $\frac{1}{2}=ax+b; a{x}^2+bx=1; a{x}^2+bx-1=0$

$D=b^2-4a(-1)=b^2+4a$

 Квадратное уравнение имеет один корень, если D=0

$$\begin{gathered} b^2+4a=0 \\ {b}^2=-4a \end{gathered}$$

Равенство справедливо при a<0

$b=\pm \sqrt{-4a}=\pm 2\sqrt{-a}$

Приведем примеры: пусть a=-4, тогда $b=\pm 2\sqrt{-(-4)}=\pm 2·2=\pm 4$

Функции будут иметь вид:

y=-4x+4 или y=-4x-4

Или пусть $a=-\frac{1}{4},$ тогда $b=\pm 2\sqrt{-\left(-\frac{1}{4}\right)}=\pm 1$

$y=-\frac{1}{4}x+1; y=-\frac{1}{4}x-1$

4) при a<0, b<-2 или b>2 уравнение имеет два корня

5) при a=0, b≠0 уравнение имеет один корень

6) при a=0, b=0, уравнение не имеет корней

Для определения количества корней уравнения $ \frac{1}{x} = ax + b $ необходимо проанализировать количество точек пересечения графиков функций $ y = \frac{1}{x} $ и $ y = ax + b $. График функции $ y = \frac{1}{x} $ — это гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях. График функции $ y = ax + b $ — это прямая, наклон которой определяется коэффициентом $ a $, а сдвиг по оси OY — коэффициентом $ b $.

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от количества корней.

0 корней

Уравнение не имеет корней, если графики прямой и гиперболы не пересекаются. Это возможно в двух ситуациях:

1. Прямая $ y = ax + b $ является горизонтальной асимптотой гиперболы, то есть совпадает с осью абсцисс ($ y = 0 $). Это происходит, когда $ a=0 $ и $ b=0 $. Уравнение $ \frac{1}{x} = 0 $ не имеет решений.

2. Прямая является убывающей ($ a < 0 $) и "проходит между" ветвями гиперболы, не касаясь их. Чтобы найти точное условие, преобразуем исходное уравнение к квадратному виду, умножив его на $ x $ (при условии $ x \neq 0 $): $ 1 = ax^2 + bx $ или $ ax^2 + bx - 1 = 0 $. Отсутствие точек пересечения означает, что это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это происходит, когда дискриминант $ D = b^2 - 4a(-1) = b^2 + 4a $ отрицателен. Таким образом, условие: $ b^2 + 4a < 0 $.

Ответ: уравнение не имеет корней при $ a=0, b=0 $ или при $ a < 0 $ и $ b^2 + 4a < 0 $.

1 корень

Уравнение имеет один корень, если графики прямой и гиперболы имеют ровно одну точку пересечения. Это возможно в следующих случаях:

1. Прямая является горизонтальной ($ a=0 $) и не совпадает с осью абсцисс ($ b \neq 0 $). Горизонтальная прямая $ y=b $ при любом ненулевом $b$ пересекает одну из ветвей гиперболы ровно в одной точке.

2. Прямая является касательной к одной из ветвей гиперболы. Это возможно, только если прямая убывающая ($ a < 0 $). Касание означает, что квадратное уравнение $ ax^2 + bx - 1 = 0 $ имеет ровно один действительный корень. Это условие выполняется, когда его дискриминант $ D = b^2 + 4a $ равен нулю, то есть $ b^2 + 4a = 0 $.

Ответ: уравнение имеет один корень при $ a=0, b \neq 0 $ или при $ a < 0 $ и $ b^2 + 4a = 0 $.

2 корня

Уравнение имеет два корня, если графики прямой и гиперболы имеют две точки пересечения. Это возможно в следующих случаях:

1. Прямая является возрастающей ($ a > 0 $). В этом случае, независимо от значения $ b $, прямая всегда пересекает обе ветви гиперболы, каждую в одной точке. Таким образом, всегда будет две точки пересечения.

2. Прямая является убывающей ($ a < 0 $), но пересекает одну из ветвей гиперболы в двух точках. Это происходит, когда квадратное уравнение $ ax^2 + bx - 1 = 0 $ имеет два различных действительных корня. Условием для этого является положительность дискриминанта: $ D = b^2 + 4a > 0 $.

Ответ: уравнение имеет два корня при $ a > 0 $ (для любого $b$) или при $ a < 0 $ и $ b^2 + 4a > 0 $.