Страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

631. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{y^2}{y+3}=\frac{y}{y+3} /·(y+3) \\ {y}^2=y \\ {y}^2-y=0 \\ y(y-1)=0 \\ \begin{array}{ccc}y=0& \text{или}& y-1=0\\ & & y=1\end{array} \end{gathered}$$

Если y=0, то y+3=0+3=3≠0;

Если y=1, то y+3=1+3=4≠0

Ответ: 0;1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\frac{x^2}{x^2-4}=\frac{5x-6}{x^2-4} /·\left(x^2-4\right) \\ {x}^2=5x-6 \\ {x}^2-5x+6=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2}, x=\frac{5\pm 1}{2} \\ x=3 \text{или }x=2 \end{gathered}$$

Если x=3, то $x^2-4=3^2-4=9-4=5\ne 0,$

Если x=2, то $x^2-4=2^2-4=4-4=0 x^2\; -\; 4\; =\; 2^2\; -\; 4\; =\; 4\; -\; 4\; =\; 0$

Ответ: 3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{2x^2}{x-2}=\frac{-7x+6}{2-x} \\ \frac{2x^2}{x-2}=\frac{-\left(7x-6\right)}{-\left(x-2\right)} \\ \frac{2x^2}{x-2}=\frac{7x-6}{x-2} /\cdot \left(x-2\right) \\ 2x^2=7x-6 \\ 2x^2-7x+6=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4\cdot 2\cdot 6=49-48=1 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{1}}{4}; x=\frac{7\pm 1}{4} \\ x=2 \text{или }x=1,5 \end{gathered}$$

Если x=2, то x-2=2-2=0,

если x=1,5, то x-2=1,5-2=-0,5≠0

Ответ: 1,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{y^2-6y}{y-5}=\frac{5}{5-y} \\ \frac{y^2-6y}{y-5}=\frac{5}{-\left(y-5\right)} \\ \frac{y^2-6y}{y-5}=\frac{-5}{y-5} /·(y-5) \\ {y}^2-6y=-5 \\ {y}^2-6y+5=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16 \\ y=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}, y=\frac{6\pm 4}{2} \\ y=5\text{ или }y=1 \end{gathered}$$

Если y=5, то y-5=5-5=0,

если y=1, то y-5=1-5=-4≠0

Ответ: 1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{2x-1}{x+7}=\frac{3x+4}{x-1} /·\left(x+7\right)\left(x-1\right) \\ \left(2x-1\right)\left(x-1\right)=\left(3x+4\right)\left(x+7\right) \\ 2x^2-2x-x+1=3x^2+21x+4x+28 \\ 2x^2-3x+1-3x^2-25x-28=0 \\ -x^2-28x-27=0 \\ D={\left(-28\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-27\right)=784-108=676 \\ x=\frac{28\pm \sqrt{676}}{-2}; x=\frac{28\pm 26}{-2} \\ x=-27\text{ или }x=-1 \end{gathered}$$

Если x=-27, то $$\begin{gathered} \left(x+7\right)\left(x-1\right)=\left(-27+7\right)\left(-27-1\right)= \\ =-20\cdot \left(-28\right)=560\ne 0, \end{gathered}$$

если x=-1, то $\left(x+7\right)\left(x-1\right)=\left(-1+7\right)\left(-1-1\right)=6\cdot \left(-2\right)=-12\mathrm{\ne }0(x+7)(x-1)=(-1+7)(-1-1)=6\backslash cdot(-2)\; =\; -12\; \backslash neq\; 0$

Ответ: -27; -1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{2y+3}{2y-1}=\frac{y-5}{y+3} /·\left(2y-1\right)\left(y+3\right) \\ \left(2y+3\right)\left(y+3\right)=\left(y-5\right)\left(2y-1\right) \\ 2y^2+6y+3y+9=2y^2-y-10y+5 \\ 2y^2+9y+9-2y^2+11y-5=0 \\ 20y+4=0 \\ 20y=-4 \\ y=-\frac{4}{20} \\ y=-\frac{1}{5} \end{gathered}$$

Если $y=-{\displaystyle \frac{1}{5}}y=-\backslash frac\{1\}\{5\}$, то

$$\begin{gathered} \left(2y-1\right)\left(y+3\right)=\left(2\left(-\frac{1}{5}\right)-1\right)\left(-\frac{1}{5}+3\right)=\left(-\frac{2}{5}-1\right)\times \\ \times \left(\frac{-1+15}{5}\right)=\frac{-2+5}{5}\cdot \frac{14}{5}=-\frac{7·14}{5·5}=-\frac{98}{25}\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $-{\displaystyle \frac{1}{5}}-\backslash frac\{1\}\{5\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\frac{5y+1}{y+1}=\frac{y+2}{y} /·y\left(y+1\right) \\ \left(5y+1\right)y=\left(y+2\right)\left(y+1\right) \\ 5y^2+y=y^2+y+2y+2 \\ 5y^2-y^2+y-y-2y-2=0 \\ 4y^2-2y-2=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4\cdot 4\cdot \left(-2\right)=4+32=36 \\ y=\frac{2\pm \sqrt{36}}{8}; y=\frac{2\pm 6}{8} \\ y=1\text{ или }y=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Если $y=1y=1$, то $y\left(y+1\right)=1\cdot \left(1+1\right)=2,$

Если $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}y\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}$, то $-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{\ne }0-\backslash frac\{1\}\{2\}(-\backslash frac\{1\}\{2\}+1)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash neq\; 0$

Ответ: $-{\displaystyle \frac{1}{2}};1-\backslash frac\{1\}\{2\};\; 1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\frac{1+3x}{1-2x}=\frac{5-3x}{1+2x} /\cdot \left(1-2x\right)\left(1+2x\right) \\ \left(1+3x\right)\left(1+2x\right)=\left(5-3x\right)\left(1-2x\right) \\ 1+2x+3x+6x^2=5-10x-3x+6x^2 \\ 6x^2+5x+1-6x^2+13x-5=0 \\ 18x-4=0 \\ 18x=4 \\ x=\frac{4}{18} \\ x=\frac{2}{9} \end{gathered}$$

Если x=$\frac{2}{9}$, то

$$\begin{gathered} \left(1-2x\right)\left(1+2x\right)=1-4x^2=1-4{\left(\frac{2}{9}\right)}^2= \\ =1-4\cdot \frac{4}{81}=1-\frac{16}{81}=\frac{81-16}{81}=\frac{65}{81}\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{2}{9}}\backslash frac\{2\}\{9\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{и) }}\frac{x-1}{2x+3}-\frac{2x-1}{3-2x}=0 /\cdot \left(3+2x\right)\left(3-2x\right) \\ \left(x-1\right)\left(3-2x\right)-\left(2x-1\right)\left(3+2x\right)=0 \\ 3x-2x^2-3+2x-\left(6x+4x^2-3-2x\right)=0 \\ -2x^2+5x-3-\left(4x^2+4x-3\right)=0 \\ -2x^2+5x-3-4x^2-4x+3=0 \\ -6x^2+x=0 \\ x\left(-6x+1\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& -6x+1=0\\ & & -6x=-1\\ & & x=\frac{1}{6}\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=0x=0$, то $\left(3+2x\right)\left(3-2x\right)=\left(3+2·0\right)\left(3-2\cdot 0\right)=9\ne 0$

Если $x={\displaystyle \frac{1}{6}}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}$, то

$$\begin{gathered} \left(3+2x\right)\left(3-2x\right)=\left(3+2·\frac{1}{6}\right)\left(3-2·\frac{1}{6}\right)= \\ =\left(3+\frac{1}{3}\right)\left(3-\frac{1}{3}\right)=9-\frac{1}{9}=8\frac{8}{9}\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $0;{\displaystyle \frac{1}{6}}0;\; \backslash frac\{1\}\{6\}$

а) $\frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3}$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $y+3 \neq 0$, следовательно, $y \neq -3$.
Так как знаменатели в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять числители:
$y^2 = y$
$y^2 - y = 0$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(y-1) = 0$
Это дает нам два возможных корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = 1$.
Проверяем корни по ОДЗ: оба корня ($0$ и $1$) не равны $-3$, следовательно, они являются решениями уравнения.
Ответ: $0; 1$.

б) $\frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4}$
ОДЗ: $x^2-4 \neq 0$, то есть $(x-2)(x+2) \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Приравниваем числители, так как знаменатели равны:
$x^2 = 5x - 6$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Проверяем корни по ОДЗ: $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому это посторонний корень. $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $3$.

в) $\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x}$
ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $2-x \neq 0$, что дает одно и то же условие $x \neq 2$.
Заметим, что $2-x = -(x-2)$. Преобразуем правую часть уравнения:
$\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{-(x-2)}$
$\frac{2x^2}{x-2} = -\frac{-7x+6}{x-2}$
$\frac{2x^2}{x-2} = \frac{7x-6}{x-2}$
Теперь приравниваем числители:
$2x^2 = 7x-6$
$2x^2 - 7x + 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.
$x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 1}{4}$
$x_1 = \frac{7+1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{7-1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$.
Проверяем корни по ОДЗ: $x_1 = 2$ не является решением (посторонний корень). $x_2 = 1,5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $1,5$.

г) $\frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{5}{5-y}$
ОДЗ: $y-5 \neq 0$ и $5-y \neq 0$, откуда $y \neq 5$.
Преобразуем знаменатель в правой части: $5-y = -(y-5)$.
$\frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{5}{-(y-5)}$
$\frac{y^2-6y}{y-5} = -\frac{5}{y-5}$
Умножим обе части на $y-5$ (при условии $y \neq 5$):
$y^2-6y = -5$
$y^2-6y+5 = 0$
По теореме Виета: $y_1+y_2 = 6$ и $y_1 \cdot y_2 = 5$. Корни: $y_1=1$ и $y_2=5$.
Проверяем по ОДЗ: $y_1=1$ удовлетворяет условию. $y_2=5$ не удовлетворяет ОДЗ, это посторонний корень.
Ответ: $1$.

д) $\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1}$
ОДЗ: $x+7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$ и $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$(2x-1)(x-1) = (3x+4)(x+7)$
$2x^2 - 2x - x + 1 = 3x^2 + 21x + 4x + 28$
$2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = (3x^2 - 2x^2) + (25x + 3x) + (28 - 1)$
$x^2 + 28x + 27 = 0$
По теореме Виета: $x_1+x_2=-28$ и $x_1 \cdot x_2=27$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -27$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-27; -1$.

е) $\frac{2y+3}{2y-1} = \frac{y-5}{y+3}$
ОДЗ: $2y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{2}$ и $y+3 \neq 0 \Rightarrow y \neq -3$.
Применим перекрестное умножение:
$(2y+3)(y+3) = (y-5)(2y-1)$
$2y^2 + 6y + 3y + 9 = 2y^2 - y - 10y + 5$
$2y^2 + 9y + 9 = 2y^2 - 11y + 5$
Приведем подобные члены:
$9y + 11y = 5 - 9$
$20y = -4$
$y = -\frac{4}{20} = -\frac{1}{5} = -0,2$
Корень $y = -0,2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-0,2$.

ж) $\frac{5y+1}{y+1} = \frac{y+2}{y}$
ОДЗ: $y+1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -1$ и $y \neq 0$.
Применим перекрестное умножение:
$y(5y+1) = (y+2)(y+1)$
$5y^2 + y = y^2 + y + 2y + 2$
$5y^2 + y = y^2 + 3y + 2$
$4y^2 - 2y - 2 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$2y^2 - y - 1 = 0$
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$
$y_1 = \frac{1+3}{4} = 1$.
$y_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-0,5; 1$.

з) $\frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x}$
ОДЗ: $1-2x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$ и $1+2x \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{2}$.
Применим перекрестное умножение:
$(1+3x)(1+2x) = (5-3x)(1-2x)$
$1 + 2x + 3x + 6x^2 = 5 - 10x - 3x + 6x^2$
$1 + 5x + 6x^2 = 5 - 13x + 6x^2$
$1 + 5x = 5 - 13x$
$5x + 13x = 5 - 1$
$18x = 4$
$x = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.
Корень $x = \frac{2}{9}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{2}{9}$.

и) $\frac{x-1}{2x+3} - \frac{2x-1}{3-2x} = 0$
ОДЗ: $2x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}$ и $3-2x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2}$.
Перенесем вторую дробь в правую часть:
$\frac{x-1}{2x+3} = \frac{2x-1}{3-2x}$
Применим перекрестное умножение:
$(x-1)(3-2x) = (2x-1)(2x+3)$
$3x - 2x^2 - 3 + 2x = 4x^2 + 6x - 2x - 3$
$-2x^2 + 5x - 3 = 4x^2 + 4x - 3$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = (4x^2 + 2x^2) + (4x - 5x) + (-3 + 3)$
$6x^2 - x = 0$
$x(6x-1) = 0$
Корни: $x_1 = 0$ и $6x-1=0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{6}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $0; \frac{1}{6}$.

632. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2x-5}{x+5}-4=0\mathrm{/}\cdot \left(x+5\right) \\ 2x-5-4\left(x+5\right)=0 \\ 2x-5-4x-20=0 \\ -2x-25=0 \\ -2x=25 \\ x=-12,5 \end{gathered}$$

Если $x=-12,5x=-12,5$, то $x+5=-12,5+5=-7,5\mathrm{\ne }0x+5\; =\; -12,5+5=-7,5\; \backslash neq\; 0$

Ответ: -12,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{12}{7-x}=x\mathrm{/}\cdot \left(7-x\right) \\ 12=x\left(7-x\right) \\ 12=7x-x^2 \\ 12-7x+x^2=0 \\ {x}^2-7x+12=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{1}}{2};x=\frac{7\pm 1}{2} \\ x=4 \text{или }x=3 \end{gathered}$$

Если $x=4x=4$, то $7-x=7-4=3\mathrm{\ne }07-x\; =\; 7-4\; =\; 3\; \backslash neq\; 0$,

если $x=3x=3$, то $7-x=7-3=4\mathrm{\ne }07-x\; =\; 7-3\; =\; 4\; \backslash neq\; 0$

Ответ: 3; 4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x^2-4}{4x}=\frac{3x-2}{2x}\mathrm{/}\cdot 4x \\ {x}^2-4=2\left(3x-2\right) \\ {x}^2-4=6x-4 \\ {x}^2-4-6x+4=0 \\ {x}^2-6x=0 \\ x(x-6)=0 \\ \begin{array}{ccc}x=0& \text{или}& x-6=0\\ & & x=6\end{array} \end{gathered}$$

Если x=0, то 4x=4*0=0;

если x=6, то 4x=4*6=24≠0

Ответ: 6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \frac{10}{2x-3}=x-1 /·(2x-3) \\ 10=(x-1)(2x-3) \\ 10=2x^2-3x-2x+3 \\ 2x^2-5x+3-10=0 \\ 2x^2-5x-7=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·2·\left(-7\right)=25+56=81 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{81}}{4}; x=\frac{5\pm 9}{4} \\ x=\frac{14}{4} \text{или} x=-1 \\ x=\frac{7}{2} \end{gathered}$$

Если $x=\frac{7}{2},$ то $2x-3=2·\frac{7}{2}-3=7-3=4\ne 0,$

если x=-1, то $2x-3=2·(-1)-3=-2-3=-5\ne 0$

Ответ: -1; 3,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{8}{x}=3x+2 /·x \\ 8=3x²+2x \\ 3x^2+2x-8=0 \\ D=2^2-4·3·(-8)=4+96=100 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{100}}{6}; x=\frac{-2\pm 10}{6} \\ x=\frac{8}{6} \text{или} x=-2 \\ x=\frac{4}{3} \\ x=1\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Если $x=1{\displaystyle \frac{1}{3}}x\; =\; 1\backslash frac\{1\}\{3\}$, то $x\mathrm{\ne }0x\; \backslash neq\; 0$,

Если $x=-2x\; =\; -2$, то $x\mathrm{\ne }0x\; \backslash neq\; 0$

Ответ: -2, $1{\displaystyle \frac{1}{3}}1\backslash frac\{1\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{x^2+4x}{x+2}=\frac{2x}{3} /·3(x+2) \\ 3\left(x^2+4x\right)=2x\left(x+2\right) \\ 3x^2+12x=2x^2+4x \\ 3x^2+12x-2x^2-4x=0 \\ {x}^2+8x=0 \\ x\left(x+8\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x+8=0\\ & & x=-8\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=0x\; =\; 0$, то $3\left(x+2\right)=3·\left(0+2\right)=6\ne 0$

Если $x=-8x\; =\; -8$, то $3\left(-8+2\right)=3·\left(-6\right)=-18\ne 0$

Ответ: -8; 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} \frac{2x^2-5x+3}{10x-5}=0 /·(10x-5) \\ 2x^2-5x+3=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot 3=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{4}; x=\frac{5\pm 1}{4} \\ x=1,5 \text{или} x=1 \end{gathered}$$

Если x=1,5, то $10x-5=10·1,5-5=15-5=10\ne 0,$

если $x=1x\; =\; 1$, то $10x-5=10·1-5=5\ne 0$

Ответ: 1; 1,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} \frac{4x^3-9x}{x+1,5}=0 /·(x+1,5) \\ 4x^3-9x=0 \\ x(4x^2-9)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 4x^2-9=0\\ & & 4x^2=9\\ & & x^2=\frac{9}{4}\\ & & x=\frac{3}{2} \text{или} x=-\frac{3}{2}\end{array} \end{gathered}$$

Если x=0, то $x+1,5=0+1,5=1,5\ne 0,$

если $x=\frac{3}{2},$ то $x+1,5=\frac{3}{2}+1,5=3\ne 0,$

если $x=-\frac{3}{2},$ то $x+1,5=-\frac{3}{2}+1,5=0,$

Ответ: 1,5; 0

а)
Исходное уравнение: $\frac{2x - 5}{x + 5} - 4 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x + 5 \neq 0$, откуда $x \neq -5$.
Перенесем 4 в правую часть уравнения: $\frac{2x - 5}{x + 5} = 4$.
Умножим обе части уравнения на $x + 5$ (учитывая ОДЗ):
$2x - 5 = 4(x + 5)$
$2x - 5 = 4x + 20$
$2x - 4x = 20 + 5$
$-2x = 25$
$x = -\frac{25}{2} = -12.5$.
Полученное значение $x = -12.5$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq -5$).
Ответ: -12.5.

б)
Исходное уравнение: $\frac{12}{7 - x} = x$.
ОДЗ: $7 - x \neq 0$, откуда $x \neq 7$.
Умножим обе части уравнения на $7 - x$ (при условии $x \neq 7$):
$12 = x(7 - x)$
$12 = 7x - x^2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 7x + 12 = 0$.
Решим это уравнение. По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
Либо через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.
$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2}$.
$x_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$.
Оба корня, 3 и 4, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 7$).
Ответ: 3; 4.

в)
Исходное уравнение: $\frac{x^2 - 4}{4x} = \frac{3x - 2}{2x}$.
ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, $4x \neq 0$, что дает условие $x \neq 0$.
Приведем дроби к общему знаменателю $4x$. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:
$\frac{x^2 - 4}{4x} = \frac{2(3x - 2)}{4x}$.
Так как знаменатели равны и не равны нулю, мы можем приравнять числители:
$x^2 - 4 = 2(3x - 2)$
$x^2 - 4 = 6x - 4$
$x^2 - 6x = 0$
Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 6) = 0$.
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $x - 6 = 0 \implies x_2 = 6$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq 0$). Корень $x_1 = 0$ является посторонним. Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 6.

г)
Исходное уравнение: $\frac{10}{2x - 3} = x - 1$.
ОДЗ: $2x - 3 \neq 0$, откуда $2x \neq 3$, $x \neq 1.5$.
Умножим обе части уравнения на $2x - 3$ (при условии $x \neq 1.5$):
$10 = (x - 1)(2x - 3)$
$10 = 2x^2 - 3x - 2x + 3$
$10 = 2x^2 - 5x + 3$
Приведем к стандартному квадратному уравнению:
$2x^2 - 5x + 3 - 10 = 0$
$2x^2 - 5x - 7 = 0$.
Решим через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm 9}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 9}{4}$.
$x_1 = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
$x_2 = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$.
Оба корня, -1 и 3.5, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1.5$).
Ответ: -1; 3.5.

д)
Исходное уравнение: $\frac{8}{x} = 3x + 2$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):
$8 = x(3x + 2)$
$8 = 3x^2 + 2x$
$3x^2 + 2x - 8 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 = 10^2$.
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 10}{6}$.
$x_1 = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
$x_2 = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Оба корня, -2 и $\frac{4}{3}$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: -2; $\frac{4}{3}$.

е)
Исходное уравнение: $\frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3}$.
ОДЗ: $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.
Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2)$
$3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x$
Перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 - 2x^2 + 12x - 4x = 0$
$x^2 + 8x = 0$
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 8) = 0$.
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $x + 8 = 0 \implies x_2 = -8$.
Оба корня, 0 и -8, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$).
Ответ: -8; 0.

ж)
Исходное уравнение: $\frac{2x^2 - 5x + 3}{10x - 5} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1. Найдем ОДЗ (условие, при котором знаменатель не равен нулю):
$10x - 5 \neq 0 \implies 10x \neq 5 \implies x \neq \frac{5}{10} \implies x \neq 0.5$.
2. Приравняем числитель к нулю:
$2x^2 - 5x + 3 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$.
$x_1 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.
3. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 0.5$). Оба корня ($1$ и $1.5$) удовлетворяют этому условию.
Ответ: 1; 1.5.

з)
Исходное уравнение: $\frac{4x^3 - 9x}{x + 1.5} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1. Найдем ОДЗ: $x + 1.5 \neq 0 \implies x \neq -1.5$.
2. Приравняем числитель к нулю:
$4x^3 - 9x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(4x^2 - 9) = 0$.
Выражение в скобках является разностью квадратов: $x((2x)^2 - 3^2) = x(2x - 3)(2x + 3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$
$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_2 = 1.5$
$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x_3 = -1.5$
3. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -1.5$).
$x_1 = 0$ (удовлетворяет).
$x_2 = 1.5$ (удовлетворяет).
$x_3 = -1.5$ (не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним корнем).
Ответ: 0; 1.5.

633. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{x^2}{x^2+1}=\frac{7x}{x^2+1} /·x^2+1 \\ {x}^2=7x \\ {x}^2-7x=0 \\ x(x-7)=0 \\ \begin{array}{ccc}x=0& \text{или}& x-7=0\\ & & x=7\end{array} \end{gathered}$$

Т.к. $x^2+1>0$ при любых значениях x, то 0 и 7 - корни уравнения

Ответ: 0; 7

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{y^2}{y^2-6y}=\frac{4(3-2y)}{y(6-y)} \\ \frac{y^2}{y(y-6)}=\frac{4(3-2y)}{-y(y-6)} /·y(y-6) \\ {y}^2=-4\left(3-2y\right) \\ {y}^2=-12+8y \\ {y}^2-8y+12=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16 \\ y=\frac{8\pm \sqrt{16}}{2}; y=\frac{8\pm 4}{2} \\ y=6\text{ или }y=2 \end{gathered}$$

Если $y=6y=6$, то $y\left(y-6\right)=6\left(6-6\right)=0y(y-6)\; =\; 6(6-6)\; =\; 0$,

если $y=2y=2$, то $2\left(2-6\right)=2·\left(-4\right)=-8\ne 0$

Ответ: 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x-2}{x+2}=\frac{x+3}{x-4} /\cdot \left(x+2\right)\left(x-4\right) \\ \left(x-2\right)\left(x-4\right)=\left(x+3\right)\left(x+2\right) \\ {x}^2-4x-2x+8=x^2+2x+3x+6 \\ {x}^2-6x+8-x^2-5x-6=0 \\ -11x+2=0 \\ -11x=-2 \\ x=\frac{2}{11} \end{gathered}$$

Если $x={\displaystyle \frac{2}{11}}x\; =\; \backslash frac\{2\}\{11\}$, то

$$\begin{gathered} \left(x+2\right)\left(x-4\right)=\left({\displaystyle \frac{2}{11}}+2\right)\left({\displaystyle \frac{2}{11}}-4\right)=(x+2)(x-4)\; =\; (\backslash frac\{2\}\{11\}\; +\; 2)(\backslash frac\{2\}\{11\}\; -\; 4)\; = \\ =\left({\displaystyle \frac{2+22}{11}}\right)\left({\displaystyle \frac{2-44}{11}}\right)={\displaystyle \frac{24}{11}}\cdot {\displaystyle \frac{-42}{11}}=-{\displaystyle \frac{1008}{11}}\mathrm{\ne }0=\; (\backslash frac\{2+22\}\{11\})(\backslash frac\{2-44\}\{11\})\; =\; \backslash frac\{24\}\{11\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{-42\}\{11\}\; =\; -\backslash frac\{1008\}\{11\}\; \backslash neq\; 0 \end{gathered}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{2}{11}}\backslash frac\{2\}\{11\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{8y-5}{y}=\frac{9y}{y+2} /\cdot y\left(y+2\right) \\ \left(8y-5\right)\left(y+2\right)=9y^2 \\ 8y^2+16y-5y-10-9y^2=0 \\ -y^2+11y-10=0 \\ D=11^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-10\right)=121-40=81 \\ y=\frac{-11\pm \sqrt{81}}{-2}; y=\frac{-11\pm 9}{-2} \end{gathered}$$

y=1 или y=10

Если y=1, то y(y+2)=1(1+2)=3≠0

если y=10, то y(y+2)=10(10+2)=10*12=120≠0

Ответ: 1; 10

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} \frac{x^2+3}{x^2+1}=2 /\cdot \left(x^2+1\right) \\ {x}^2+3=2\left(x^2+1\right) \\ {x}^2+3=2x^2+2 \\ {x}^2+3-2x^2-2=0 \\ -x^2+1=0 \\ -\left(x^2-1\right)=0 \\ {x}^2-1=0 \\ {x}^2=1 \\ x=1 \text{или} x=-1 \end{gathered}$$

Т.к. $x^2+1\mathrm{\ne }0x^2+1\; \backslash neq\; 0$ при любых x, то -1 и 1 - корни уравнения

Ответ: -1; 1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e)}} \frac{3}{x^2+2}=\frac{1}{x} /\cdot x\left(x^2+2\right) \\ 3x=x^2+2 \\ 3x-x^2-2=0 \\ -x^2+3x-2=0 \\ D=3^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-2\right)=9-8=1 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{1}}{-2}; \frac{-3\pm 1}{-2} \\ x=1 \text{или} x=2 \end{gathered}$$

Если x=1, то $x\left(x^2+2\right)=1\cdot \left(1^2+2\right)=3\mathrm{\ne }0x(x^2+2)\; =\; 1\; \backslash cdot\; (1^2+2)\; =\; 3\; \backslash neq\; 0$,

если x=2, то $x\left(x^2+2\right)=2·\left(2^2+2\right)=2·6=12\ne 0$

Ответ: 1; 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}x+2=\frac{15}{4x+1} /·(4x+1) \\ (x+2)\left(4x+1\right)=15 \\ 4x^2+x+8x+2-15=0 \\ 4x^2+9x-13=0 \\ D=9^2-4\cdot 4\cdot \left(-13\right)=81+208=289 \\ x=\frac{-9\pm \sqrt{289}}{8}; x=\frac{-9\pm 17}{8} \\ \begin{array}{ccl}x=1& \text{или}& x=-\frac{26}{8}\\ & & x=-\frac{13}{4}\\ & & x=-3\frac{1}{4}\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=1x\; =\; 1$, то $4x+1=4·1+1=5\ne 0,$

Если $x=-{\displaystyle \frac{13}{4}}x\; =\; -\backslash frac\{13\}\{4\}$, то $4x+1=4·\left(-\frac{13}{4}\right)+1=-12\ne 0$

Ответ: $-3{\displaystyle \frac{1}{4}};1-3\backslash frac\{1\}\{4\};\; 1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} \frac{x^2-5}{x-1}=\frac{7x+10}{9} /·9\left(x-1\right) \\ 9\left(x^2-5\right)=\left(7x+10\right)\left(x-1\right) \\ 9x^2-45=7x^2-7x+10x-10 \\ 9x^2-7x^2-3x-45+10=0 \\ 2x^2-3x-35=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·2·\left(-35\right)=9+280=289 \\ x=\frac{3\pm \sqrt{289}}{4}; x=\frac{3\pm 17}{4} \\ \begin{array}{ccl}x=5& \text{или}& x=-\frac{14}{4}\\ & & x=-\frac{7}{2}\\ & & x=-3,5\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=5x\; =\; 5$, то $x-1=5-1=4\mathrm{\ne }0x\; -\; 1\; =\; 5\; -\; 1\; =\; 4\; \backslash neq\; 0$

Если $x=-3,5x\; =\; -3,5$, то $x-1=-3,5-1=-4,5\mathrm{\ne }0x\; -\; 1\; =\; -3,5\; -\; 1\; =\; -4,5\; \backslash neq\; 0$

Ответ: -3,5; 5

а) $\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{7x}{x^2+1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель $x^2+1$ не должен быть равен нулю. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+1 \ge 1$. Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку знаменатели дробей равны и не обращаются в ноль, мы можем приравнять их числители:

$x^2 = 7x$

$x^2 - 7x = 0$

$x(x - 7) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: 0; 7.

б) $\frac{y^2}{y^2 - 6y} = \frac{4(3 - 2y)}{y(6 - y)}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$y^2 - 6y \neq 0 \implies y(y - 6) \neq 0 \implies y \neq 0$ и $y \neq 6$.

$y(6 - y) \neq 0 \implies y \neq 0$ и $y \neq 6$.

ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq 6$.

Преобразуем уравнение. Заметим, что $y^2 - 6y = y(y-6)$ и $y(6 - y) = -y(y - 6)$:

$\frac{y^2}{y(y - 6)} = \frac{4(3 - 2y)}{-y(y - 6)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $y(y-6)$, учитывая ОДЗ, и приравняем числители, изменив знак у правой части:

$y^2 = -(4(3 - 2y))$

$y^2 = -12 + 8y$

$y^2 - 8y + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 12. Корни: $y_1 = 2$, $y_2 = 6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $y_1 = 2$ удовлетворяет условиям ($2 \neq 0$, $2 \neq 6$). Корень $y_2 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $y=6$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $y=6$ - посторонний корень.

Ответ: 2.

в) $\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x + 3}{x - 4}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

ОДЗ: $x \neq -2$, $x \neq 4$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(x - 2)(x - 4) = (x + 3)(x + 2)$

Раскроем скобки:

$x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 + 2x + 3x + 6$

$x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6$

Сократим $x^2$ в обеих частях и перенесем слагаемые:

$-6x - 5x = 6 - 8$

$-11x = -2$

$x = \frac{2}{11}$

Полученный корень $x = \frac{2}{11}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{2}{11}$.

г) $\frac{8y - 5}{y} = \frac{9y}{y + 2}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$y \neq 0$.

$y + 2 \neq 0 \implies y \neq -2$.

ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq -2$.

Воспользуемся свойством пропорции:

$(8y - 5)(y + 2) = 9y \cdot y$

$8y^2 + 16y - 5y - 10 = 9y^2$

$8y^2 + 11y - 10 = 9y^2$

$y^2 - 11y + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно 10. Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 10$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1; 10.

д) $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2$

Найдем ОДЗ. Знаменатель $x^2+1$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Умножим обе части уравнения на $x^2+1$:

$x^2 + 3 = 2(x^2 + 1)$

$x^2 + 3 = 2x^2 + 2$

$3 - 2 = 2x^2 - x^2$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: -1; 1.

е) $\frac{3}{x^2 + 2} = \frac{1}{x}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x^2 + 2 \neq 0$ (верно для любых $x$).

$x \neq 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Воспользуемся свойством пропорции:

$3x = 1 \cdot (x^2 + 2)$

$3x = x^2 + 2$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1; 2.

ж) $x + 2 = \frac{15}{4x + 1}$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$4x + 1 \neq 0 \implies 4x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{4}$.

Умножим обе части уравнения на $4x+1$, учитывая ОДЗ:

$(x + 2)(4x + 1) = 15$

$4x^2 + x + 8x + 2 = 15$

$4x^2 + 9x + 2 - 15 = 0$

$4x^2 + 9x - 13 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 81 + 208 = 289 = 17^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-26}{8} = -\frac{13}{4} = -3,25$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -3,25; 1.

з) $\frac{x^2 - 5}{x - 1} = \frac{7x + 10}{9}$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Воспользуемся свойством пропорции:

$9(x^2 - 5) = (x - 1)(7x + 10)$

$9x^2 - 45 = 7x^2 + 10x - 7x - 10$

$9x^2 - 45 = 7x^2 + 3x - 10$

$9x^2 - 7x^2 - 3x - 45 + 10 = 0$

$2x^2 - 3x - 35 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 9 + 280 = 289 = 17^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3,5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -3,5; 5.