Номер 632, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 632, страница 148.

632. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2x-5}{x+5}-4=0\mathrm{/}\cdot \left(x+5\right) \\ 2x-5-4\left(x+5\right)=0 \\ 2x-5-4x-20=0 \\ -2x-25=0 \\ -2x=25 \\ x=-12,5 \end{gathered}$$

Если $x=-12,5x=-12,5$, то $x+5=-12,5+5=-7,5\mathrm{\ne }0x+5\; =\; -12,5+5=-7,5\; \backslash neq\; 0$

Ответ: -12,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{12}{7-x}=x\mathrm{/}\cdot \left(7-x\right) \\ 12=x\left(7-x\right) \\ 12=7x-x^2 \\ 12-7x+x^2=0 \\ {x}^2-7x+12=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{1}}{2};x=\frac{7\pm 1}{2} \\ x=4 \text{или }x=3 \end{gathered}$$

Если $x=4x=4$, то $7-x=7-4=3\mathrm{\ne }07-x\; =\; 7-4\; =\; 3\; \backslash neq\; 0$,

если $x=3x=3$, то $7-x=7-3=4\mathrm{\ne }07-x\; =\; 7-3\; =\; 4\; \backslash neq\; 0$

Ответ: 3; 4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x^2-4}{4x}=\frac{3x-2}{2x}\mathrm{/}\cdot 4x \\ {x}^2-4=2\left(3x-2\right) \\ {x}^2-4=6x-4 \\ {x}^2-4-6x+4=0 \\ {x}^2-6x=0 \\ x(x-6)=0 \\ \begin{array}{ccc}x=0& \text{или}& x-6=0\\ & & x=6\end{array} \end{gathered}$$

Если x=0, то 4x=4*0=0;

если x=6, то 4x=4*6=24≠0

Ответ: 6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \frac{10}{2x-3}=x-1 /·(2x-3) \\ 10=(x-1)(2x-3) \\ 10=2x^2-3x-2x+3 \\ 2x^2-5x+3-10=0 \\ 2x^2-5x-7=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·2·\left(-7\right)=25+56=81 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{81}}{4}; x=\frac{5\pm 9}{4} \\ x=\frac{14}{4} \text{или} x=-1 \\ x=\frac{7}{2} \end{gathered}$$

Если $x=\frac{7}{2},$ то $2x-3=2·\frac{7}{2}-3=7-3=4\ne 0,$

если x=-1, то $2x-3=2·(-1)-3=-2-3=-5\ne 0$

Ответ: -1; 3,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{8}{x}=3x+2 /·x \\ 8=3x²+2x \\ 3x^2+2x-8=0 \\ D=2^2-4·3·(-8)=4+96=100 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{100}}{6}; x=\frac{-2\pm 10}{6} \\ x=\frac{8}{6} \text{или} x=-2 \\ x=\frac{4}{3} \\ x=1\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Если $x=1{\displaystyle \frac{1}{3}}x\; =\; 1\backslash frac\{1\}\{3\}$, то $x\mathrm{\ne }0x\; \backslash neq\; 0$,

Если $x=-2x\; =\; -2$, то $x\mathrm{\ne }0x\; \backslash neq\; 0$

Ответ: -2, $1{\displaystyle \frac{1}{3}}1\backslash frac\{1\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{x^2+4x}{x+2}=\frac{2x}{3} /·3(x+2) \\ 3\left(x^2+4x\right)=2x\left(x+2\right) \\ 3x^2+12x=2x^2+4x \\ 3x^2+12x-2x^2-4x=0 \\ {x}^2+8x=0 \\ x\left(x+8\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x+8=0\\ & & x=-8\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=0x\; =\; 0$, то $3\left(x+2\right)=3·\left(0+2\right)=6\ne 0$

Если $x=-8x\; =\; -8$, то $3\left(-8+2\right)=3·\left(-6\right)=-18\ne 0$

Ответ: -8; 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} \frac{2x^2-5x+3}{10x-5}=0 /·(10x-5) \\ 2x^2-5x+3=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot 3=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{4}; x=\frac{5\pm 1}{4} \\ x=1,5 \text{или} x=1 \end{gathered}$$

Если x=1,5, то $10x-5=10·1,5-5=15-5=10\ne 0,$

если $x=1x\; =\; 1$, то $10x-5=10·1-5=5\ne 0$

Ответ: 1; 1,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} \frac{4x^3-9x}{x+1,5}=0 /·(x+1,5) \\ 4x^3-9x=0 \\ x(4x^2-9)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 4x^2-9=0\\ & & 4x^2=9\\ & & x^2=\frac{9}{4}\\ & & x=\frac{3}{2} \text{или} x=-\frac{3}{2}\end{array} \end{gathered}$$

Если x=0, то $x+1,5=0+1,5=1,5\ne 0,$

если $x=\frac{3}{2},$ то $x+1,5=\frac{3}{2}+1,5=3\ne 0,$

если $x=-\frac{3}{2},$ то $x+1,5=-\frac{3}{2}+1,5=0,$

Ответ: 1,5; 0

а)
Исходное уравнение: $\frac{2x - 5}{x + 5} - 4 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x + 5 \neq 0$, откуда $x \neq -5$.
Перенесем 4 в правую часть уравнения: $\frac{2x - 5}{x + 5} = 4$.
Умножим обе части уравнения на $x + 5$ (учитывая ОДЗ):
$2x - 5 = 4(x + 5)$
$2x - 5 = 4x + 20$
$2x - 4x = 20 + 5$
$-2x = 25$
$x = -\frac{25}{2} = -12.5$.
Полученное значение $x = -12.5$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq -5$).
Ответ: -12.5.

б)
Исходное уравнение: $\frac{12}{7 - x} = x$.
ОДЗ: $7 - x \neq 0$, откуда $x \neq 7$.
Умножим обе части уравнения на $7 - x$ (при условии $x \neq 7$):
$12 = x(7 - x)$
$12 = 7x - x^2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 7x + 12 = 0$.
Решим это уравнение. По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
Либо через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.
$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2}$.
$x_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$.
Оба корня, 3 и 4, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 7$).
Ответ: 3; 4.

в)
Исходное уравнение: $\frac{x^2 - 4}{4x} = \frac{3x - 2}{2x}$.
ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, $4x \neq 0$, что дает условие $x \neq 0$.
Приведем дроби к общему знаменателю $4x$. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:
$\frac{x^2 - 4}{4x} = \frac{2(3x - 2)}{4x}$.
Так как знаменатели равны и не равны нулю, мы можем приравнять числители:
$x^2 - 4 = 2(3x - 2)$
$x^2 - 4 = 6x - 4$
$x^2 - 6x = 0$
Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 6) = 0$.
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $x - 6 = 0 \implies x_2 = 6$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq 0$). Корень $x_1 = 0$ является посторонним. Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 6.

г)
Исходное уравнение: $\frac{10}{2x - 3} = x - 1$.
ОДЗ: $2x - 3 \neq 0$, откуда $2x \neq 3$, $x \neq 1.5$.
Умножим обе части уравнения на $2x - 3$ (при условии $x \neq 1.5$):
$10 = (x - 1)(2x - 3)$
$10 = 2x^2 - 3x - 2x + 3$
$10 = 2x^2 - 5x + 3$
Приведем к стандартному квадратному уравнению:
$2x^2 - 5x + 3 - 10 = 0$
$2x^2 - 5x - 7 = 0$.
Решим через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm 9}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 9}{4}$.
$x_1 = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
$x_2 = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$.
Оба корня, -1 и 3.5, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1.5$).
Ответ: -1; 3.5.

д)
Исходное уравнение: $\frac{8}{x} = 3x + 2$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):
$8 = x(3x + 2)$
$8 = 3x^2 + 2x$
$3x^2 + 2x - 8 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 = 10^2$.
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 10}{6}$.
$x_1 = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
$x_2 = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Оба корня, -2 и $\frac{4}{3}$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: -2; $\frac{4}{3}$.

е)
Исходное уравнение: $\frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3}$.
ОДЗ: $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.
Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2)$
$3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x$
Перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 - 2x^2 + 12x - 4x = 0$
$x^2 + 8x = 0$
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 8) = 0$.
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $x + 8 = 0 \implies x_2 = -8$.
Оба корня, 0 и -8, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$).
Ответ: -8; 0.

ж)
Исходное уравнение: $\frac{2x^2 - 5x + 3}{10x - 5} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1. Найдем ОДЗ (условие, при котором знаменатель не равен нулю):
$10x - 5 \neq 0 \implies 10x \neq 5 \implies x \neq \frac{5}{10} \implies x \neq 0.5$.
2. Приравняем числитель к нулю:
$2x^2 - 5x + 3 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$.
$x_1 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.
3. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 0.5$). Оба корня ($1$ и $1.5$) удовлетворяют этому условию.
Ответ: 1; 1.5.

з)
Исходное уравнение: $\frac{4x^3 - 9x}{x + 1.5} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1. Найдем ОДЗ: $x + 1.5 \neq 0 \implies x \neq -1.5$.
2. Приравняем числитель к нулю:
$4x^3 - 9x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(4x^2 - 9) = 0$.
Выражение в скобках является разностью квадратов: $x((2x)^2 - 3^2) = x(2x - 3)(2x + 3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$
$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_2 = 1.5$
$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x_3 = -1.5$
3. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -1.5$).
$x_1 = 0$ (удовлетворяет).
$x_2 = 1.5$ (удовлетворяет).
$x_3 = -1.5$ (не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним корнем).
Ответ: 0; 1.5.