Номер 629, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Разложение квадратного трёхчлена на множители. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 629, страница 145.

629. Разложите на множители многочлен:

a) $$\begin{gathered} 4x^2-6x+2xy-3y=(4x^2-6x)+(2xy-3y)= \\ =2x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(2x+y) \end{gathered}$$

б) $4a^3+2b^3-2a^{2}b-4a{b}^2=(4a^3-2a^{2}b)+$
$$\begin{gathered} +(2b^3-4a{b}^2)=2a^2(2a-b)+2b^2(b-2a)= \\ =2a^2(2a-b)-2b^2(2a-b)=(2a-b)(2a^2-2b^2)= \\ =2(2a-b)(a^2-b^2)=2(2a-b)(a-b)(a+b) \end{gathered}$$

а) $4x^2 - 6x + 2xy - 3y$

Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем члены многочлена следующим образом:

$(4x^2 - 6x) + (2xy - 3y)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе общий множитель — $2x$, а во второй — $y$.

$2x(2x - 3) + y(2x - 3)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель — $(2x - 3)$. Вынесем его за скобки:

$(2x - 3)(2x + y)$

Ответ: $(2x - 3)(2x + y)$

б) $4a^3 + 2b^3 - 2a^2b - 4ab^2$

Для удобства сгруппируем члены многочлена, предварительно изменив их порядок:

$4a^3 - 2a^2b - 4ab^2 + 2b^3 = (4a^3 - 2a^2b) - (4ab^2 - 2b^3)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $2a^2$, во второй — $2b^2$.

$2a^2(2a - b) - 2b^2(2a - b)$

Теперь вынесем общий множитель $(2a - b)$ за скобки:

$(2a - b)(2a^2 - 2b^2)$

Заметим, что второй множитель $(2a^2 - 2b^2)$ также можно разложить. Сначала вынесем общий множитель 2:

$2(a^2 - b^2)$

Выражение в скобках является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Таким образом, получаем:

$2(a - b)(a + b)$

Собираем все множители вместе:

$(2a - b) \cdot 2(a - b)(a + b) = 2(a - b)(a + b)(2a - b)$

Ответ: $2(a - b)(a + b)(2a - b)$