Номер 633, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 633, страница 148.

633. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{x^2}{x^2+1}=\frac{7x}{x^2+1} /·x^2+1 \\ {x}^2=7x \\ {x}^2-7x=0 \\ x(x-7)=0 \\ \begin{array}{ccc}x=0& \text{или}& x-7=0\\ & & x=7\end{array} \end{gathered}$$

Т.к. $x^2+1>0$ при любых значениях x, то 0 и 7 - корни уравнения

Ответ: 0; 7

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{y^2}{y^2-6y}=\frac{4(3-2y)}{y(6-y)} \\ \frac{y^2}{y(y-6)}=\frac{4(3-2y)}{-y(y-6)} /·y(y-6) \\ {y}^2=-4\left(3-2y\right) \\ {y}^2=-12+8y \\ {y}^2-8y+12=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16 \\ y=\frac{8\pm \sqrt{16}}{2}; y=\frac{8\pm 4}{2} \\ y=6\text{ или }y=2 \end{gathered}$$

Если $y=6y=6$, то $y\left(y-6\right)=6\left(6-6\right)=0y(y-6)\; =\; 6(6-6)\; =\; 0$,

если $y=2y=2$, то $2\left(2-6\right)=2·\left(-4\right)=-8\ne 0$

Ответ: 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x-2}{x+2}=\frac{x+3}{x-4} /\cdot \left(x+2\right)\left(x-4\right) \\ \left(x-2\right)\left(x-4\right)=\left(x+3\right)\left(x+2\right) \\ {x}^2-4x-2x+8=x^2+2x+3x+6 \\ {x}^2-6x+8-x^2-5x-6=0 \\ -11x+2=0 \\ -11x=-2 \\ x=\frac{2}{11} \end{gathered}$$

Если $x={\displaystyle \frac{2}{11}}x\; =\; \backslash frac\{2\}\{11\}$, то

$$\begin{gathered} \left(x+2\right)\left(x-4\right)=\left({\displaystyle \frac{2}{11}}+2\right)\left({\displaystyle \frac{2}{11}}-4\right)=(x+2)(x-4)\; =\; (\backslash frac\{2\}\{11\}\; +\; 2)(\backslash frac\{2\}\{11\}\; -\; 4)\; = \\ =\left({\displaystyle \frac{2+22}{11}}\right)\left({\displaystyle \frac{2-44}{11}}\right)={\displaystyle \frac{24}{11}}\cdot {\displaystyle \frac{-42}{11}}=-{\displaystyle \frac{1008}{11}}\mathrm{\ne }0=\; (\backslash frac\{2+22\}\{11\})(\backslash frac\{2-44\}\{11\})\; =\; \backslash frac\{24\}\{11\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{-42\}\{11\}\; =\; -\backslash frac\{1008\}\{11\}\; \backslash neq\; 0 \end{gathered}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{2}{11}}\backslash frac\{2\}\{11\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{8y-5}{y}=\frac{9y}{y+2} /\cdot y\left(y+2\right) \\ \left(8y-5\right)\left(y+2\right)=9y^2 \\ 8y^2+16y-5y-10-9y^2=0 \\ -y^2+11y-10=0 \\ D=11^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-10\right)=121-40=81 \\ y=\frac{-11\pm \sqrt{81}}{-2}; y=\frac{-11\pm 9}{-2} \end{gathered}$$

y=1 или y=10

Если y=1, то y(y+2)=1(1+2)=3≠0

если y=10, то y(y+2)=10(10+2)=10*12=120≠0

Ответ: 1; 10

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} \frac{x^2+3}{x^2+1}=2 /\cdot \left(x^2+1\right) \\ {x}^2+3=2\left(x^2+1\right) \\ {x}^2+3=2x^2+2 \\ {x}^2+3-2x^2-2=0 \\ -x^2+1=0 \\ -\left(x^2-1\right)=0 \\ {x}^2-1=0 \\ {x}^2=1 \\ x=1 \text{или} x=-1 \end{gathered}$$

Т.к. $x^2+1\mathrm{\ne }0x^2+1\; \backslash neq\; 0$ при любых x, то -1 и 1 - корни уравнения

Ответ: -1; 1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e)}} \frac{3}{x^2+2}=\frac{1}{x} /\cdot x\left(x^2+2\right) \\ 3x=x^2+2 \\ 3x-x^2-2=0 \\ -x^2+3x-2=0 \\ D=3^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-2\right)=9-8=1 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{1}}{-2}; \frac{-3\pm 1}{-2} \\ x=1 \text{или} x=2 \end{gathered}$$

Если x=1, то $x\left(x^2+2\right)=1\cdot \left(1^2+2\right)=3\mathrm{\ne }0x(x^2+2)\; =\; 1\; \backslash cdot\; (1^2+2)\; =\; 3\; \backslash neq\; 0$,

если x=2, то $x\left(x^2+2\right)=2·\left(2^2+2\right)=2·6=12\ne 0$

Ответ: 1; 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}x+2=\frac{15}{4x+1} /·(4x+1) \\ (x+2)\left(4x+1\right)=15 \\ 4x^2+x+8x+2-15=0 \\ 4x^2+9x-13=0 \\ D=9^2-4\cdot 4\cdot \left(-13\right)=81+208=289 \\ x=\frac{-9\pm \sqrt{289}}{8}; x=\frac{-9\pm 17}{8} \\ \begin{array}{ccl}x=1& \text{или}& x=-\frac{26}{8}\\ & & x=-\frac{13}{4}\\ & & x=-3\frac{1}{4}\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=1x\; =\; 1$, то $4x+1=4·1+1=5\ne 0,$

Если $x=-{\displaystyle \frac{13}{4}}x\; =\; -\backslash frac\{13\}\{4\}$, то $4x+1=4·\left(-\frac{13}{4}\right)+1=-12\ne 0$

Ответ: $-3{\displaystyle \frac{1}{4}};1-3\backslash frac\{1\}\{4\};\; 1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} \frac{x^2-5}{x-1}=\frac{7x+10}{9} /·9\left(x-1\right) \\ 9\left(x^2-5\right)=\left(7x+10\right)\left(x-1\right) \\ 9x^2-45=7x^2-7x+10x-10 \\ 9x^2-7x^2-3x-45+10=0 \\ 2x^2-3x-35=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·2·\left(-35\right)=9+280=289 \\ x=\frac{3\pm \sqrt{289}}{4}; x=\frac{3\pm 17}{4} \\ \begin{array}{ccl}x=5& \text{или}& x=-\frac{14}{4}\\ & & x=-\frac{7}{2}\\ & & x=-3,5\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=5x\; =\; 5$, то $x-1=5-1=4\mathrm{\ne }0x\; -\; 1\; =\; 5\; -\; 1\; =\; 4\; \backslash neq\; 0$

Если $x=-3,5x\; =\; -3,5$, то $x-1=-3,5-1=-4,5\mathrm{\ne }0x\; -\; 1\; =\; -3,5\; -\; 1\; =\; -4,5\; \backslash neq\; 0$

Ответ: -3,5; 5

а) $\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{7x}{x^2+1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель $x^2+1$ не должен быть равен нулю. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+1 \ge 1$. Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку знаменатели дробей равны и не обращаются в ноль, мы можем приравнять их числители:

$x^2 = 7x$

$x^2 - 7x = 0$

$x(x - 7) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: 0; 7.

б) $\frac{y^2}{y^2 - 6y} = \frac{4(3 - 2y)}{y(6 - y)}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$y^2 - 6y \neq 0 \implies y(y - 6) \neq 0 \implies y \neq 0$ и $y \neq 6$.

$y(6 - y) \neq 0 \implies y \neq 0$ и $y \neq 6$.

ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq 6$.

Преобразуем уравнение. Заметим, что $y^2 - 6y = y(y-6)$ и $y(6 - y) = -y(y - 6)$:

$\frac{y^2}{y(y - 6)} = \frac{4(3 - 2y)}{-y(y - 6)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $y(y-6)$, учитывая ОДЗ, и приравняем числители, изменив знак у правой части:

$y^2 = -(4(3 - 2y))$

$y^2 = -12 + 8y$

$y^2 - 8y + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 12. Корни: $y_1 = 2$, $y_2 = 6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $y_1 = 2$ удовлетворяет условиям ($2 \neq 0$, $2 \neq 6$). Корень $y_2 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $y=6$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $y=6$ - посторонний корень.

Ответ: 2.

в) $\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x + 3}{x - 4}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

ОДЗ: $x \neq -2$, $x \neq 4$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(x - 2)(x - 4) = (x + 3)(x + 2)$

Раскроем скобки:

$x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 + 2x + 3x + 6$

$x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6$

Сократим $x^2$ в обеих частях и перенесем слагаемые:

$-6x - 5x = 6 - 8$

$-11x = -2$

$x = \frac{2}{11}$

Полученный корень $x = \frac{2}{11}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{2}{11}$.

г) $\frac{8y - 5}{y} = \frac{9y}{y + 2}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$y \neq 0$.

$y + 2 \neq 0 \implies y \neq -2$.

ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq -2$.

Воспользуемся свойством пропорции:

$(8y - 5)(y + 2) = 9y \cdot y$

$8y^2 + 16y - 5y - 10 = 9y^2$

$8y^2 + 11y - 10 = 9y^2$

$y^2 - 11y + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно 10. Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 10$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1; 10.

д) $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2$

Найдем ОДЗ. Знаменатель $x^2+1$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Умножим обе части уравнения на $x^2+1$:

$x^2 + 3 = 2(x^2 + 1)$

$x^2 + 3 = 2x^2 + 2$

$3 - 2 = 2x^2 - x^2$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: -1; 1.

е) $\frac{3}{x^2 + 2} = \frac{1}{x}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x^2 + 2 \neq 0$ (верно для любых $x$).

$x \neq 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Воспользуемся свойством пропорции:

$3x = 1 \cdot (x^2 + 2)$

$3x = x^2 + 2$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1; 2.

ж) $x + 2 = \frac{15}{4x + 1}$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$4x + 1 \neq 0 \implies 4x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{4}$.

Умножим обе части уравнения на $4x+1$, учитывая ОДЗ:

$(x + 2)(4x + 1) = 15$

$4x^2 + x + 8x + 2 = 15$

$4x^2 + 9x + 2 - 15 = 0$

$4x^2 + 9x - 13 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 81 + 208 = 289 = 17^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-26}{8} = -\frac{13}{4} = -3,25$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -3,25; 1.

з) $\frac{x^2 - 5}{x - 1} = \frac{7x + 10}{9}$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Воспользуемся свойством пропорции:

$9(x^2 - 5) = (x - 1)(7x + 10)$

$9x^2 - 45 = 7x^2 + 10x - 7x - 10$

$9x^2 - 45 = 7x^2 + 3x - 10$

$9x^2 - 7x^2 - 3x - 45 + 10 = 0$

$2x^2 - 3x - 35 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 9 + 280 = 289 = 17^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3,5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -3,5; 5.