Номер 2, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 2, страница 145.

2. Покажите на примере выражения Зx² - 12x + 32, как можно выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена.

$$\begin{gathered} 3x^2-12x+32=3(x^2-4x+\frac{32}{3})= \\ =3(x^2-2·2·x+2^2-2^2+\frac{32}{3})= \\ =3({(x-2)}^2-4+\frac{32}{3})=3({(x-2)}^2-\frac{12-32}{3})= \\ =3({(x-2)}^2+\frac{20}{3})=3{(x-2)}^2+20 \end{gathered}$$

Процесс выделения квадрата двучлена из квадратного трёхчлена $3x^2 - 12x + 32$ заключается в преобразовании выражения к виду $a(x-h)^2 + k$. Рассмотрим этот процесс по шагам.

1. Сначала вынесем за скобки коэффициент при $x^2$ (в данном случае это 3) из тех членов, которые содержат переменную $x$:

$3x^2 - 12x + 32 = 3(x^2 - 4x) + 32$

2. Теперь сосредоточимся на выражении в скобках: $x^2 - 4x$. Чтобы превратить его в полный квадрат, мы воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае, $a=x$, а член $-4x$ соответствует $-2ab$. Отсюда мы можем найти $b$:

$-2 \cdot x \cdot b = -4x$

Разделив обе части на $-2x$, получим $b=2$.

3. Для завершения полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 2^2 = 4$. Чтобы не изменить значение выражения, мы добавим и сразу же вычтем это число внутри скобок:

$3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 32$

4. Теперь первые три слагаемых в скобках образуют полный квадрат $(x-2)^2$. Сгруппируем их:

$3((x^2 - 4x + 4) - 4) + 32 = 3((x-2)^2 - 4) + 32$

5. Раскроем внешние скобки, умножив коэффициент 3 на каждый член внутри них:

$3(x-2)^2 - 3 \cdot 4 + 32$

6. Выполним последние арифметические действия, чтобы упростить выражение:

$3(x-2)^2 - 12 + 32 = 3(x-2)^2 + 20$

В результате мы преобразовали исходный трёхчлен, выделив в нём квадрат двучлена.

Ответ: $3(x-2)^2 + 20$