Страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

634. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{3x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2}=1/\cdot \left(x+2\right)\left(x-2\right) \\ \left(3x+1\right)\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x+2\right)\left(x-2\right) \\ 3x^2-6x+x-2-\left(x^2+2x-x-2\right)=x^2-4 \\ 3x^2-5x-2-\left(x^2+x-2\right)=x^2-4 \\ 3x^2-5x-2-x^2-x+2-x^2+4=0 \\ {x}^2-6x+4=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=36-16=20 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{20}}{2};x=\frac{6\pm 2\sqrt{5}}{2} \\ {x}_1=3+\sqrt{5};x_2=3-\sqrt{5} \end{gathered}$$

Если $x=3+\sqrt{5}x\; =\; 3\; +\; \backslash sqrt\{5\}$, то $$\begin{gathered} \left(x+2\right)\left(x-2\right)=x^2-4={\left(3+\sqrt{5}\right)}^2-4= \\ =9+6\sqrt{5}+5-4=10+6\sqrt{5}\ne 0, \end{gathered}$$

если $x=3-\sqrt{5}x\; =\; 3\; -\; \backslash sqrt\{5\}$, то $$\begin{gathered} x^2-4={\left(3-\sqrt{5}\right)}^2-4=9-6\sqrt{5}+ \\ +5-4=10-6\sqrt{5}\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $3+\sqrt{5}3\; +\; \backslash sqrt\{5\}$; $3-\sqrt{5}3\; -\; \backslash sqrt\{5\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2y-2}{y+3}+\frac{y+3}{y-3}=5/\cdot \left(y+3\right)\left(y-3\right) \\ \left(2y-2\right)\left(y-3\right)+{\left(y+3\right)}^2=5\left(y+3\right)\left(y-3\right) \\ 2y^2-6y-2y+6+y^2+6y+9=5\left(y^2-9\right) \\ 3y^2-2y+15-5y^2+45=0 \\ -2y^2-2y+60=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 60=4+480=484 \\ y=\frac{2\pm \sqrt{484}}{-4};y=\frac{2\pm 22}{-4} \\ {y}_1=-6;y_2=5 \end{gathered}$$

Если $y=-6y\; =\; -6$, то $\left(y+3\right)\left(y-3\right)=y^2-9={\left(-6\right)}^2-9=36-9=27\ne 0,$

если $y=5y\; =\; 5$, то $y^2-9=5^2-9=25-9=16\ne 0$

Ответ: -6; 5

$\mathbf{\text{в) }}\frac{4}{9y^2-1}-\frac{4}{3y+1}=\frac{5}{1-3y}$
$\frac{4}{\left(3y-1\right)\left(3y+1\right)}-\frac{4}{3y+1}=-\frac{5}{3y-1}$$\mathrm{/}\left(3y-1\right)\left(3y+1\right)$

$$\begin{gathered} 4-4\left(3y-1\right)=-5\left(3y+1\right) \\ 4-12y+4=-15y-5 \\ -12y+15y=-5-8 \\ 3y=-13 \\ y=-\frac{13}{3} \\ y=-4\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Если $y=-4{\displaystyle \frac{1}{3}}y\; =\; -4\backslash frac\{1\}\{3\}$, то

$$\begin{gathered} \left(3y-1\right)\left(3y+1\right)=9y^2-1= \\ =9·{\left(-\frac{13}{3}\right)}^2-1=9·\frac{169}{9}-1=168\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $-4{\displaystyle \frac{1}{3}}-4\backslash frac\{1\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{4}{x+3}-\frac{5}{3-x}=\frac{1}{x-3}-1 \\ \frac{4}{x+3}+\frac{5}{x-3}=\frac{1}{x-3}-1\mathrm{/}\cdot \left(x+3\right)\left(x-3\right) \\ 4\left(x-3\right)+5\left(x+3\right)=x+3-\left(x+3\right)\left(x-3\right) \\ 4x-12+5x+15=x+3-\left(x^2-9\right) \\ 9x+3=x+3-x^2+9 \\ {x}^2+9x+3-x-12=0 \\ {x}^2+8x-9=0 \\ D=8^2-4·1·\left(-9\right)=64+36=100 \\ x=\frac{-8\pm \sqrt{100}}{2},x=\frac{-8\pm 10}{2} \\ x=1\text{или}x=-9 \end{gathered}$$

Если $x=1x\; =\; 1$, то $\left(x+3\right)\left(x-3\right)=x^2-9=1^2-9=-8\mathrm{\ne }0(x+3)(x-3)\; =\; x^2\; -\; 9\; =\; 1^2\; -\; 9\; =\; -8\; \backslash neq\; 0$,

если $x=-9x\; =\; -9$, то $x^2-9={\left(-9\right)}^2-9=81-9=72\ne 0$

Ответ: $-9;1-9;\; 1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{3}{x}+\frac{4}{x-1}=\frac{5-x}{x^2-x} \\ \frac{3}{x}+\frac{4}{x-1}=\frac{5-x}{x\left(x-1\right)} \mathrm{/}\cdot x\left(x-1\right) \\ 3\left(x-1\right)+4x=5-x \\ 3x-3+4x+x=5 \\ 8x=8 \\ x=1 \end{gathered}$$

Если $x=1 x=1$, то $x\left(x-1\right)=1·\left(1-1\right)=0$

Ответ: нет корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{3y-2}{y}-\frac{1}{y-2}=\frac{3y+4}{y^2-2y} \\ \frac{3y-2}{y}-\frac{1}{y-2}=\frac{3y+4}{y\left(y-2\right)} \mathrm{/}\cdot y\left(y-2\right) \\ \left(3y-2\right)\left(y-2\right)-y=3y+4 \\ 3y^2-6y-2y+4-y-3y=4 \\ 3y^2-12y=0 \\ 3y\left(y-4\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}y=0& \text{или}& y-4=0\\ & & y=4\end{array} \end{gathered}$$

Если $y=0 y\; =\; 0$, то $y\left(y-2\right)=0·\left(0-2\right)=0,$,

если $y=4 y\; =\; 4$, то $y\left(y-2\right)=4\left(4-2\right)=4·2=8\ne 0$

Ответ: 4

a) $\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель:

$(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2) = 1 \cdot (x+2)(x-2)$

Раскроем скобки:

$(3x^2 - 6x + x - 2) - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4$

$(3x^2 - 5x - 2) - (x^2 + x - 2) = x^2 - 4$

$3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 6x = x^2 - 4$

$x^2 - 6x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.

Оба корня, $3 + \sqrt{5}$ и $3 - \sqrt{5}$, не равны 2 или -2, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3 + \sqrt{5}; 3 - \sqrt{5}$.

б) $\frac{2y-2}{y+3} + \frac{y+3}{y-3} = 5$

ОДЗ: $y+3 \neq 0$ и $y-3 \neq 0$, следовательно, $y \neq -3$ и $y \neq 3$.

Общий знаменатель: $(y+3)(y-3) = y^2 - 9$. Умножим обе части уравнения на него:

$(2y-2)(y-3) + (y+3)(y+3) = 5(y^2 - 9)$

Раскроем скобки:

$(2y^2 - 6y - 2y + 6) + (y^2 + 6y + 9) = 5y^2 - 45$

Приведем подобные слагаемые:

$3y^2 - 2y + 15 = 5y^2 - 45$

$2y^2 + 2y - 60 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$y^2 + y - 30 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно -30, а сумма -1. Корни уравнения: $y_1 = -6$ и $y_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq \pm 3$).

Ответ: -6; 5.

в) $\frac{4}{9y^2 - 1} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y}$

Разложим знаменатели на множители: $9y^2-1 = (3y-1)(3y+1)$ и $1-3y = -(3y-1)$.

ОДЗ: $3y-1 \neq 0$ и $3y+1 \neq 0$, следовательно, $y \neq \frac{1}{3}$ и $y \neq -\frac{1}{3}$.

Перепишем уравнение:

$\frac{4}{(3y-1)(3y+1)} - \frac{4}{3y+1} = -\frac{5}{3y-1}$

Общий знаменатель: $(3y-1)(3y+1)$. Умножим обе части на него:

$4 - 4(3y-1) = -5(3y+1)$

Раскроем скобки:

$4 - 12y + 4 = -15y - 5$

$8 - 12y = -15y - 5$

$15y - 12y = -5 - 8$

$3y = -13$

$y = -\frac{13}{3}$

Корень $y = -13/3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{13}{3}$.

г) $\frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1$

ОДЗ: $x+3 \neq 0$ и $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$ и $x \neq 3$.

Заметим, что $3-x = -(x-3)$. Перепишем уравнение:

$\frac{4}{x+3} - \frac{5}{-(x-3)} = \frac{1}{x-3} - 1$

$\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} - 1$

Перенесем дроби в одну сторону:

$\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} - \frac{1}{x-3} = -1$

$\frac{4}{x+3} + \frac{4}{x-3} = -1$

Общий знаменатель: $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$. Умножим обе части на него:

$4(x-3) + 4(x+3) = -1(x^2 - 9)$

$4x - 12 + 4x + 12 = -x^2 + 9$

$8x = -x^2 + 9$

$x^2 + 8x - 9 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно -9, а сумма -8. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 3$).

Ответ: -9; 1.

д) $\frac{3}{x} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2 - x}$

Разложим знаменатель в правой части: $x^2 - x = x(x-1)$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Общий знаменатель: $x(x-1)$. Умножим обе части на него:

$3(x-1) + 4x = 5-x$

$3x - 3 + 4x = 5-x$

$7x - 3 = 5-x$

$8x = 8$

$x = 1$

Найденный корень $x=1$ не входит в ОДЗ, так как при $x=1$ знаменатели $x-1$ и $x^2-x$ обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: корней нет.

е) $\frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2 - 2y}$

Разложим знаменатель в правой части: $y^2 - 2y = y(y-2)$.

ОДЗ: $y \neq 0$ и $y-2 \neq 0$, следовательно, $y \neq 0$ и $y \neq 2$.

Общий знаменатель: $y(y-2)$. Умножим обе части на него:

$(3y-2)(y-2) - 1 \cdot y = 3y+4$

$3y^2 - 6y - 2y + 4 - y = 3y+4$

$3y^2 - 9y + 4 = 3y+4$

$3y^2 - 12y = 0$

Вынесем общий множитель $3y$ за скобки:

$3y(y-4) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $y_1=0$ или $y_2=4$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $y_1=0$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ. Корень $y_2=4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

635. При каком значении х:

а) значение функции y =2x - 1x + 6 равно 5; –3; 0; 2;

б) значение функции y =x² + x - 2x + 3 равно –10; 0; –5?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} y=\frac{2x-1}{x+6} \\ y=5; \\ \frac{2x-1}{x+6}=5 /·(x+6) \\ 2x-1=5(x+6) \\ 2x-1=5x+30 \\ 2x-5x=30+1 \\ -3x=31 \\ x=-\frac{31}{3} \\ x=-10\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Если $x=-{\displaystyle \frac{31}{3}}x=-\backslash frac\{31\}\{3\}$, то $x+6=-{\displaystyle \frac{31}{3}}+6={\displaystyle \frac{-31+18}{3}}=-{\displaystyle \frac{13}{3}}\mathrm{\ne }0x+6\; =\; -\backslash frac\{31\}\{3\}\; +\; 6\; =\; \backslash frac\{-31+18\}\{3\}\; =\; -\backslash frac\{13\}\{3\}\; \backslash neq\; 0$

Ответ: при $x=-10\frac{1}{3}; y=5$

$$\begin{gathered} y=-3; \\ \frac{2x-1}{x+6}=-3/\cdot \left(x+6\right) \\ 2x-1=-3\left(x+6\right) \\ 2x-1=-3x-18 \\ 2x+3x=-18+1 \\ 5x=-17 \\ x=-\frac{17}{5} \\ x=-3\frac{2}{5} \end{gathered}$$

Если $x=-{\displaystyle \frac{17}{5}}x\; =\; -\backslash frac\{17\}\{5\}$, то $x+6=-{\displaystyle \frac{17}{5}}+6={\displaystyle \frac{-17+30}{5}}={\displaystyle \frac{13}{5}}=2{\displaystyle \frac{3}{5}}\mathrm{\ne }0x+6\; =\; -\backslash frac\{17\}\{5\}\; +\; 6\; =\; \backslash frac\{-17+30\}\{5\}\; =\; \backslash frac\{13\}\{5\}\; =\; 2\backslash frac\{3\}\{5\}\; \backslash neq\; 0$

Ответ: при $x=-3\frac{2}{5}; y=-3$

$$\begin{gathered} y=0; \\ \frac{2x-1}{x+6}=0/\cdot \left(x+6\right) \\ 2x-1=0 \\ 2x=1 \\ x=0,5 \end{gathered}$$

Если $x=0,5x\; =\; 0,5$, то $x+6=0,5+6=6,5\mathrm{\ne }0x+6\; =\; 0,5\; +\; 6\; =\; 6,5\; \backslash neq\; 0$

Ответ: при $x=0,5x\; =\; 0,5$; $y=0y\; =\; 0$

$$\begin{gathered} y=2; \\ \frac{2x-1}{x+6}=2 /·(x+6) \\ 2x-1=2(x+6) \\ 2x-1=2x+12 \\ 2x-2x=12+1 \\ 0x=13 \end{gathered}$$

Ответ: ни при каком значении х

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{x^2+x-2}{x+3} \\ y=-10; \\ \frac{x^2+x-2}{x+3}=-10 /·(x+3) \\ {x}^2+x-2=-10\left(x+3\right) \\ {x}^2+x-2=-10x-30 \\ {x}^2+x+10x-2+30=0 \\ {x}^2+11x+28=0 \\ D=11^2-4\cdot 1\cdot 28=121-112=9 \\ x=\frac{-11\pm \sqrt{9}}{2}; \frac{-11\pm 3}{2} \\ x=-4 \text{или} x=-7 \end{gathered}$$

Если х=-4, то x+3=-4+3=-1≠0,

если х=-7, то x+3=-7+3=-4≠0

Ответ: при x=-4 и при x=-7; y=-10

$$\begin{gathered} y=0; \\ \frac{x^2+x-2}{x+3}=0 /·(x+3) \\ {x}^2+x-2=0 \\ D=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{-1\pm 3}{2} \\ x=1 \text{или }x=-2 \end{gathered}$$

Если х=1, то x+3=1+3=4≠0,

если х=-2, то x+3=-2+3=1≠0,

Ответ: при x=-2 и при x=1; y=0

$$\begin{gathered} y=-5; \\ \frac{x^2+x-2}{x+3}=-5 /·(x+3) \\ {x}^2+x-2=-5(x+3) \\ {x}^2+x-2=-5x-15 \\ {x}^2+x-2+5x+15=0 \\ {x}^2+6x+13=0 \\ D=6^2-4·1·13=36-52=-16<0 \end{gathered}$$

Ответ: ни при каких x

а) Для того чтобы найти, при каком значении $x$ значение функции $y = \frac{2x - 1}{x + 6}$ равно заданным числам, нужно поочередно приравнять функцию к этим числам и решить полученные уравнения. Область допустимых значений переменной $x$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x + 6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.

1. Найдем $x$, при котором $y = 5$:

$\frac{2x - 1}{x + 6} = 5$

Умножим обе части уравнения на $(x+6)$:

$2x - 1 = 5(x + 6)$

$2x - 1 = 5x + 30$

$2x - 5x = 30 + 1$

$-3x = 31$

$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3}$

Это значение не равно -6, поэтому является решением.

2. Найдем $x$, при котором $y = -3$:

$\frac{2x - 1}{x + 6} = -3$

$2x - 1 = -3(x + 6)$

$2x - 1 = -3x - 18$

$2x + 3x = -18 + 1$

$5x = -17$

$x = -\frac{17}{5} = -3,4$

Это значение не равно -6, поэтому является решением.

3. Найдем $x$, при котором $y = 0$:

$\frac{2x - 1}{x + 6} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$

При $x = \frac{1}{2}$ знаменатель $x+6 \neq 0$, значит, это корень уравнения.

4. Найдем $x$, при котором $y = 2$:

$\frac{2x - 1}{x + 6} = 2$

$2x - 1 = 2(x + 6)$

$2x - 1 = 2x + 12$

$-1 = 12$

Получено неверное равенство, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: при $x = -10\frac{1}{3}$ значение функции равно 5; при $x = -3,4$ значение функции равно -3; при $x = 0,5$ значение функции равно 0; не существует такого значения $x$, при котором значение функции равно 2.

б) Для того чтобы найти, при каком значении $x$ значение функции $y = \frac{x^2 + x - 2}{x + 3}$ равно заданным числам, нужно поочередно приравнять функцию к этим числам и решить полученные уравнения. Область допустимых значений переменной $x$ определяется условием $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

1. Найдем $x$, при котором $y = -10$:

$\frac{x^2 + x - 2}{x + 3} = -10$

$x^2 + x - 2 = -10(x + 3)$

$x^2 + x - 2 = -10x - 30$

$x^2 + 11x + 28 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна -11, а их произведение равно 28. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -7$. Оба значения удовлетворяют условию $x \neq -3$.

2. Найдем $x$, при котором $y = 0$:

$\frac{x^2 + x - 2}{x + 3} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю.

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -2. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Оба значения удовлетворяют условию $x \neq -3$.

3. Найдем $x$, при котором $y = -5$:

$\frac{x^2 + x - 2}{x + 3} = -5$

$x^2 + x - 2 = -5(x + 3)$

$x^2 + x - 2 = -5x - 15$

$x^2 + 6x + 13 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: при $x=-4$ или $x=-7$ значение функции равно -10; при $x=1$ или $x=-2$ значение функции равно 0; не существует такого значения $x$, при котором значение функции равно -5.

636. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x-4}{x-5}+\frac{x-6}{x+5}=2\mathrm{/}\left(x-5\right)\left(x+5\right) \\ \left(x-4\right)\left(x+5\right)+\left(x-6\right)\left(x-5\right)=2\left(x-5\right)\left(x+5\right) \\ {x}^2+5x-4x-20+x^2-5x-6x+30=2\left(x^2-25\right) \\ 2x^2-10x+10-2x^2+50=0 \\ -10x+60=0 \\ -10x=-60 \\ x=6 \end{gathered}$$

Если x=6, то $\left(x-5\right)\left(x+5\right)=x^2-25=6^2-25=36-25=11\ne 0$

Ответ: 6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3x^2-12} \\ -\frac{1}{x-2}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3\left(x^2-4\right)} \end{gathered}$$

$-\frac{1}{x-2}-1-\frac{1}{x-2}+\frac{6-x}{3\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=0$ $\mathrm{/}\cdot \left(x-2\right)\left(x+2\right)$

$$\begin{gathered} -\left(x+2\right)-\left(x-2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)+\frac{6-x}{3}=0\mathrm{/}\cdot 3 \\ -3\left(x+2\right)-3\left(x^2-4\right)-3\left(x+2\right)+6-x=0 \\ -3x-6-3x^2+12-3x-6+6-x=0 \\ -3x²-7x+6=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(+6\right)=49+72=+121 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{121}}{-6}; x=\frac{7\pm 11}{-6} \\ x=-3 \text{или} x=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Если x=-3, то (x-2)(x+2)=x²-4=(-3)²-4=9-4=5≠0,

если $x=\frac{2}{3},$ то $x^2-4={\left(\frac{2}{3}\right)}^2-4=\frac{4}{9}-4=\frac{4-36}{9}=\frac{-32}{9}\ne 0$

Ответ: -3; $\frac{2}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{7y-3}{y-y^2}=\frac{1}{y-1}-\frac{5}{y\left(y-1\right)} \\ \frac{7y-3}{y\left(1-y\right)}=\frac{1}{y-1}-\frac{5}{y\left(y-1\right)} \\ -\frac{7y-3}{y\left(y-1\right)}=\frac{1}{y-1}-\frac{5}{y\left(y-1\right)} /\cdot y\left(y-1\right) \\ -\left(7y-3\right)=y-5 \\ -7y+3-y+5=0 \\ -8y=-8 \\ y=1 \end{gathered}$$

Если y=1, то $y(y-1)=1·(1-1)=0$

Ответ: нет корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{3}{y-2}+\frac{7}{y+2}=\frac{10}{y} /\cdot y\left(y-2\right)\left(y+2\right) \\ 3y\left(y+2\right)+7y\left(y-2\right)=10\left(y-2\right)\left(y+2\right) \\ 3y^2+6y+7y^2-14y=10\left(y^2-4\right) \\ 10y^2-8y=10y^2+40=0 \\ -8y=-40 \\ y=5 \end{gathered}$$

Если y=5, то $$\begin{gathered} y\left(y-2\right)\left(y+2\right)=y\left(y^2-4\right)=5\left(5^2-4\right)= \\ =5·21=105\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: 5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} \frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=3\frac{1}{3} \\ \frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{10}{3} /·3\left(x-3\right)\left(x+3\right) \\ 3{\left(x+3\right)}^2+3{\left(x-3\right)}^2=10\left(x-3\right)\left(x+3\right) \\ 3\left(x^2+6x+9\right)+3\left(x^2-6x+9\right)=10\left(x^2-9\right) \\ 3x^2+18x+27+3x^2-18x+27-10x^2+90=0 \\ -4x^2+144=0 \\ -4x^2=-144 \\ {x}^2=36 \\ x=6 \text{или} x=-6 \end{gathered}$$

Если $x=6x\; =\; 6$, то $$\begin{gathered} 3\left(x-3\right)\left(x+3\right)=3\left(x^2-9\right)=3\left(6^2-9\right)= \\ =3\left(36-9\right)=3\cdot 27=81\ne 0, \end{gathered}$$

Если $x=-6x\; =\; -6$, то $3\left(x^2-9\right)=3\left({\left(-6\right)}^2-9\right)=3\left(36-9\right)=3·27=81\ne 0$

Ответ: -6; 6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{5x+7}{x-2}-\frac{2x+21}{x+2}=\frac{26}{3} /\cdot 3\left(x-2\right)\left(x+2\right) \\ 3\left(5x+7\right)\left(x+2\right)-3\left(2x+21\right)\left(x-2\right)=26\left(x-2\right)\left(x+2\right) \\ 3\left(5x^2+10x+7x+14\right)-3\left(2x^2-4x+21x-42\right)= \\ =26\left(x^2-4\right) \\ 15x^2+51x+42-6x^2-51x+126-26x^2+104=0 \\ -17x^2+272=0 \\ -17x^2=-272 \\ {x}^2=16 \\ x=4 \text{или} x=-4 \end{gathered}$$

Если x=-4, то $(x-2)(x+2)=x^2-4={(-4)}^2-4=16-4=12\ne 0,$

Если x=4, то $x^2-4=4^2-4=16-4=12\ne 0$

Ответ: -4; 4

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x-4}{x-5} + \frac{x-6}{x+5} = 2 $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны равняться нулю, поэтому $ x-5 \neq 0 $ и $ x+5 \neq 0 $. Отсюда $ x \neq 5 $ и $ x \neq -5 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-5)(x+5) = x^2 - 25 $:

$ (x-4)(x+5) + (x-6)(x-5) = 2(x-5)(x+5) $

Раскроем скобки:

$ (x^2 + 5x - 4x - 20) + (x^2 - 5x - 6x + 30) = 2(x^2 - 25) $

Приведем подобные слагаемые:

$ (x^2 + x - 20) + (x^2 - 11x + 30) = 2x^2 - 50 $

$ 2x^2 - 10x + 10 = 2x^2 - 50 $

Перенесем члены с $ x $ в одну сторону, а константы в другую:

$ 2x^2 - 2x^2 - 10x = -50 - 10 $

$ -10x = -60 $

$ x = \frac{-60}{-10} $

$ x = 6 $

Найденный корень $ x=6 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 5 $ и $ x \neq -5 $).

Ответ: 6.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{2-x} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2 - 12} $.

Преобразуем знаменатели: $ 2-x = -(x-2) $ и $ 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2) $.

Перепишем уравнение:

$ \frac{1}{-(x-2)} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} $

$ -\frac{1}{x-2} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} $

ОДЗ: $ x-2 \neq 0 $ и $ x+2 \neq 0 $, т.е. $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ -\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-2} - 1 + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0 $

$ -\frac{2}{x-2} - 1 + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0 $

Умножим обе части на общий знаменатель $ 3(x-2)(x+2) $:

$ -2 \cdot 3(x+2) - 1 \cdot 3(x-2)(x+2) + (6-x) = 0 $

$ -6(x+2) - 3(x^2-4) + 6 - x = 0 $

$ -6x - 12 - 3x^2 + 12 + 6 - x = 0 $

$ -3x^2 - 7x + 6 = 0 $

Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$ 3x^2 + 7x - 6 = 0 $

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 11}{2 \cdot 3} = \frac{-7 \pm 11}{6} $

$ x_1 = \frac{-7+11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

$ x_2 = \frac{-7-11}{6} = \frac{-18}{6} = -3 $

Оба корня, $ x_1 = \frac{2}{3} $ и $ x_2 = -3 $, удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq \pm 2 $).

Ответ: -3; $ \frac{2}{3} $.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{7y-3}{y-y^2} = \frac{1}{y-1} - \frac{5}{y(y-1)} $.

Преобразуем знаменатель $ y-y^2 = y(1-y) = -y(y-1) $.

Уравнение принимает вид: $ \frac{7y-3}{-y(y-1)} = \frac{1}{y-1} - \frac{5}{y(y-1)} $.

ОДЗ: $ y \neq 0 $ и $ y-1 \neq 0 $, т.е. $ y \neq 0 $ и $ y \neq 1 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ -y(y-1) $:

$ 7y-3 = -y(y-1) \cdot \frac{1}{y-1} - (-y(y-1)) \cdot \frac{5}{y(y-1)} $

$ 7y-3 = -y - (-5) $

$ 7y-3 = -y + 5 $

$ 7y+y = 5+3 $

$ 8y = 8 $

$ y = 1 $

Полученный корень $ y=1 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ y \neq 1 $). Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{3}{y-2} + \frac{7}{y+2} = \frac{10}{y} $.

ОДЗ: $ y \neq 2 $, $ y \neq -2 $, $ y \neq 0 $.

Общий знаменатель: $ y(y-2)(y+2) $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:

$ 3y(y+2) + 7y(y-2) = 10(y-2)(y+2) $

Раскроем скобки:

$ 3y^2 + 6y + 7y^2 - 14y = 10(y^2 - 4) $

Приведем подобные слагаемые:

$ 10y^2 - 8y = 10y^2 - 40 $

$ -8y = -40 $

$ y = \frac{-40}{-8} $

$ y = 5 $

Корень $ y=5 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5.

д)

Исходное уравнение: $ \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 3\frac{1}{3} $.

Переведем смешанную дробь в неправильную: $ 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3} $.

ОДЗ: $ x-3 \neq 0 $ и $ x+3 \neq 0 $, т.е. $ x \neq \pm 3 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \frac{x+3}{x-3} $, тогда $ \frac{x-3}{x+3} = \frac{1}{t} $.

Уравнение примет вид: $ t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3} $.

Умножим на $ 3t $ (при $ t \neq 0 $):

$ 3t^2 + 3 = 10t $

$ 3t^2 - 10t + 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение относительно $ t $:

$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $

$ t_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{6} $

$ t_1 = \frac{18}{6} = 3 $

$ t_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

Вернемся к исходной переменной $ x $.

Случай 1: $ \frac{x+3}{x-3} = 3 $

$ x+3 = 3(x-3) \implies x+3 = 3x-9 \implies 2x = 12 \implies x = 6 $.

Случай 2: $ \frac{x+3}{x-3} = \frac{1}{3} $

$ 3(x+3) = x-3 \implies 3x+9 = x-3 \implies 2x = -12 \implies x = -6 $.

Оба корня, $ x=6 $ и $ x=-6 $, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -6; 6.

е)

Исходное уравнение: $ \frac{5x+7}{x-2} - \frac{2x+21}{x+2} = 8\frac{2}{3} $.

Переведем смешанную дробь в неправильную: $ 8\frac{2}{3} = \frac{26}{3} $.

ОДЗ: $ x-2 \neq 0 $ и $ x+2 \neq 0 $, т.е. $ x \neq \pm 2 $.

Общий знаменатель: $ 3(x-2)(x+2) $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:

$ 3(x+2)(5x+7) - 3(x-2)(2x+21) = 26(x-2)(x+2) $

Раскроем скобки:

$ 3(5x^2 + 10x + 7x + 14) - 3(2x^2 + 21x - 4x - 42) = 26(x^2 - 4) $

$ 3(5x^2 + 17x + 14) - 3(2x^2 + 17x - 42) = 26x^2 - 104 $

$ 15x^2 + 51x + 42 - 6x^2 - 51x + 126 = 26x^2 - 104 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 9x^2 + 168 = 26x^2 - 104 $

Перенесем члены с $ x^2 $ в одну сторону, а константы в другую:

$ 168 + 104 = 26x^2 - 9x^2 $

$ 272 = 17x^2 $

$ x^2 = \frac{272}{17} $

$ x^2 = 16 $

$ x = \pm \sqrt{16} $

$ x_1 = 4 $, $ x_2 = -4 $

Оба корня, $ x=4 $ и $ x=-4 $, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -4; 4.

637. Найдите значение переменной y, при котором:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} \frac{3y+9}{3y-1}+\frac{2y-13}{2y+5}=2 /·\left(3y-1\right)\left(2y+5\right) \\ \left(3y+9\right)\left(2y+5\right)+\left(2y-13\right)\left(3y-1\right)=2\left(3y-1\right)\left(2y+5\right) \\ 6y^2+15y+18y+45+6y^2-2y-39y+13= \\ =2\left(6y^2+15y-2y-5\right) \\ 12y^2-8y+58=12y^2+26y-10 \\ 12y^2-8y+58-12y^2-26y+10=0 \\ -34y+68=0 \\ -34y=-68 \\ y=2 \end{gathered}$$

Если y=2, то $\left(3y-1\right)\left(2y+5\right)=\left(3·2-1\right)\left(2·2+5\right)=5\cdot 9=45\ne 0$

Ответ: 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{5y+13}{5y+4}-\frac{4-6y}{3y-1}=3 /·\left(5y+4\right)\left(3y-1\right) \\ \left(5y+13\right)\left(3y-1\right)-\left(4-6y\right)\left(5y+4\right)=3\left(5y+4\right)\left(3y-1\right) \\ 15y^2-5y+39y-13-\left(20y+16-30y^2-24\right)= \\ =3\left(15y^2-5y+12y-4\right) \\ 15y^2+34y-13-20y+30y^2+8=45y^2+21y-12 \\ 45y^2+14y-5=45y^2+21y-12 \\ 45y^2-45y^2+14y-21y-5+12=0 \\ -7y+7=0 \\ -7y=-7 \\ y=1 \end{gathered}$$

Если у=1, то (5*1+4)(3*1-1)=9*2=18≠0

Ответ: 1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{y+1}{y-5}+\frac{10}{y+5}=\frac{y+1}{y-5}\cdot \frac{10}{y+5} /\cdot \left(y-5\right)\left(y+5\right) \\ \left(y+1\right)\left(y+5\right)+10\left(y-5\right)=10\left(y+1\right) \\ {y}^2+5y+y+5+10y-50=10y+10 \\ {y}^2+16y-45-10y-10=0 \\ {y}^2+6y-55=0 \\ D=6^2-4\cdot 1\cdot \left(-55\right)=36+220=256 \\ y=\frac{-6\pm \sqrt{256}}{2}; y=\frac{-6\pm 16}{2} \\ y=5\text{ или }y=-11 \end{gathered}$$

Если $y=5y=5$, то $\left(y-5\right)\left(y+5\right)=y^2-25=5^2-25=0(y-5)(y+5)=y^2-25=5^2-25=0$,

если $y=-11y=-11$, то $y^2-25={\left(-11\right)}^2-25=121-25=96\ne 0$

Ответ: -11

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{6}{y-4}-\frac{y}{y+2}=\frac{6}{y-4}\cdot \frac{y}{y+2} /\cdot \left(y-4\right)\left(y+2\right) \\ 6\left(y+2\right)-y\left(y-4\right)=6y \\ 6y+12-y^2+4y-6y=0 \\ -y^2+4y+12=0 \\ D=4^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 12=16+48=64 \\ y=\frac{-4\pm \sqrt{64}}{-2};y=\frac{-4\pm 8}{-2} \\ y=-2\text{ или }y=6 \end{gathered}$$

Если $y=-2y=-2$, то $\left(y-4\right)\left(y+2\right)=\left(-2-4\right)\left(-2+2\right)=0(y-4)(y+2)\; =\; (-2-4)\; (-2+2)=0$,

если $y=6y=6$, то $\left(y-4\right)\left(y+2\right)=\left(6-4\right)·\left(6+2\right)=2·8=16\ne 0$

Ответ: 6

а)

Составим уравнение согласно условию задачи: сумма дробей $\frac{3y+9}{3y-1}$ и $\frac{2y-13}{2y+5}$ равна 2.

$\frac{3y+9}{3y-1} + \frac{2y-13}{2y+5} = 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели дробей не равны нулю:

$3y-1 \neq 0 \implies 3y \neq 1 \implies y \neq \frac{1}{3}$

$2y+5 \neq 0 \implies 2y \neq -5 \implies y \neq -2.5$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(3y-1)(2y+5)$:

$\frac{(3y+9)(2y+5) + (2y-13)(3y-1)}{(3y-1)(2y+5)} = 2$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $y$ входит в ОДЗ:

$(3y+9)(2y+5) + (2y-13)(3y-1) = 2(3y-1)(2y+5)$

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

$(6y^2 + 15y + 18y + 45) + (6y^2 - 2y - 39y + 13) = 2(6y^2 + 15y - 2y - 5)$

Приведем подобные слагаемые:

$(6y^2 + 33y + 45) + (6y^2 - 41y + 13) = 2(6y^2 + 13y - 5)$

$12y^2 - 8y + 58 = 12y^2 + 26y - 10$

Перенесем все слагаемые с $y$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$58 + 10 = 26y + 8y$

$68 = 34y$

$y = \frac{68}{34}$

$y = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. $y=2$ не равно $\frac{1}{3}$ и не равно $-2.5$. Следовательно, корень является решением уравнения.

Ответ: 2.

б)

Составим уравнение согласно условию: разность дробей $\frac{5y+13}{5y+4}$ и $\frac{4-6y}{3y-1}$ равна 3.

$\frac{5y+13}{5y+4} - \frac{4-6y}{3y-1} = 3$

ОДЗ: $5y+4 \neq 0 \implies y \neq -\frac{4}{5}$ и $3y-1 \neq 0 \implies y \neq \frac{1}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(5y+4)(3y-1)$:

$\frac{(5y+13)(3y-1) - (4-6y)(5y+4)}{(5y+4)(3y-1)} = 3$

Умножим обе части на знаменатель:

$(5y+13)(3y-1) - (4-6y)(5y+4) = 3(5y+4)(3y-1)$

Раскроем скобки:

$(15y^2 - 5y + 39y - 13) - (20y + 16 - 30y^2 - 24y) = 3(15y^2 - 5y + 12y - 4)$

Приведем подобные слагаемые:

$(15y^2 + 34y - 13) - (-30y^2 - 4y + 16) = 3(15y^2 + 7y - 4)$

$15y^2 + 34y - 13 + 30y^2 + 4y - 16 = 45y^2 + 21y - 12$

$45y^2 + 38y - 29 = 45y^2 + 21y - 12$

Сократим $45y^2$ в обеих частях и решим линейное уравнение:

$38y - 29 = 21y - 12$

$38y - 21y = 29 - 12$

$17y = 17$

$y = 1$

Найденный корень $y=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \neq -4/5$ и $1 \neq 1/3$).

Ответ: 1.

в)

Составим уравнение: сумма дробей $\frac{y+1}{y-5}$ и $\frac{10}{y+5}$ равна их произведению.

$\frac{y+1}{y-5} + \frac{10}{y+5} = \frac{y+1}{y-5} \cdot \frac{10}{y+5}$

ОДЗ: $y-5 \neq 0 \implies y \neq 5$ и $y+5 \neq 0 \implies y \neq -5$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(y-5)(y+5)$, а правую часть перемножим:

$\frac{(y+1)(y+5) + 10(y-5)}{(y-5)(y+5)} = \frac{10(y+1)}{(y-5)(y+5)}$

Поскольку знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:

$(y+1)(y+5) + 10(y-5) = 10(y+1)$

Раскроем скобки:

$y^2 + 5y + y + 5 + 10y - 50 = 10y + 10$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 16y - 45 = 10y + 10$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 + 16y - 10y - 45 - 10 = 0$

$y^2 + 6y - 55 = 0$

Решим уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна -6, а произведение -55. Это числа 5 и -11.

$y_1 = 5$, $y_2 = -11$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $y_1=5$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $y-5$ обращается в ноль. Это посторонний корень. Корень $y_2=-11$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -11.

г)

Составим уравнение: разность дробей $\frac{6}{y-4}$ и $\frac{y}{y+2}$ равна их произведению.

$\frac{6}{y-4} - \frac{y}{y+2} = \frac{6}{y-4} \cdot \frac{y}{y+2}$

ОДЗ: $y-4 \neq 0 \implies y \neq 4$ и $y+2 \neq 0 \implies y \neq -2$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(y-4)(y+2)$, а правую перемножим:

$\frac{6(y+2) - y(y-4)}{(y-4)(y+2)} = \frac{6y}{(y-4)(y+2)}$

Приравняем числители, так как знаменатели одинаковы и не равны нулю:

$6(y+2) - y(y-4) = 6y$

Раскроем скобки:

$6y + 12 - y^2 + 4y = 6y$

Приведем подобные слагаемые:

$-y^2 + 10y + 12 = 6y$

Перенесем все в левую часть:

$-y^2 + 10y - 6y + 12 = 0$

$-y^2 + 4y + 12 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$y^2 - 4y - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 4, а произведение -12. Это числа 6 и -2.

$y_1 = 6$, $y_2 = -2$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $y_1=6$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $y_2=-2$ не входит в ОДЗ, так как знаменатель $y+2$ обращается в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: 6.

638. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5}{y-2}-\frac{4}{y-3}=\frac{1}{y}\mathrm{/}y\cdot \left(y-2\right)\left(y-3\right) \\ 5y\left(y-3\right)-4y\left(y-2\right)=\left(y-2\right)\left(y-3\right) \\ 5y^2-15y-4y^2+8y=y^2-3y-2y+6 \\ {y}^2-7y=y^2-5y+6 \\ {y}^2-7y-y^2+5y-6=0 \\ -2y-6=0 \\ -2y=6 \\ y=-3 \end{gathered}$$

Если $y=-3y\; =\; -3$, то $-3·\left(-3-2\right)\left(-3-3\right)=-3·\left(-5\right)·\left(-6\right)=-90\ne 0$

Ответ: -3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{x+2}=\frac{3}{x+3}\mathrm{/}·2\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right) \\ \left(x+2\right)\left(x+3\right)+2\left(x+1\right)\left(x+3\right)=3·2\left(x+1\right)\left(x+2\right) \\ {x}^2+3x+2x+6+2\left(x^2+3x+x+3\right)=6\left(x^2+2x+x+2\right) \\ {x}^2+5x+6+2x^2+8x+6=6x^2+18x+12 \\ 3x^2+13x+12=6x^2+18x+12 \\ 3x^2+13x+12-6x^2-18x-12=0 \\ -3x^2-5x=0 \\ -x\left(3x+5\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}-x=0& \text{или}& 3x+5=0\\ x=0& & 3x=-5\\ & & x=-\frac{5}{3}\\ & & x=-1\frac{2}{3}\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=0x\; =\; 0$, то $$\begin{gathered} \left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=\left(0+1\right)\left(0+2\right)\left(0+3\right)= \\ =1·2·3=6\ne 0 \end{gathered}$$

если $x=-1{\displaystyle \frac{2}{3}}x\; =\; -1\backslash frac\{2\}\{3\}$, то

$$\begin{gathered} \left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=\left(\frac{-5}{3}+1\right)\left(\frac{-5}{3}+2\right)\left(\frac{-5}{3}+3\right)= \\ =-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{4}{3}=-\frac{8}{27}\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $-1{\displaystyle \frac{2}{3}};0-1\backslash frac\{2\}\{3\};\; 0$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x^2-2x}=\frac{8}{x^3-4x} \\ \frac{1}{x+2}+\frac{1}{x\left(x-2\right)}=\frac{8}{x\left(x^2-4\right)} \\ \frac{1}{x+2}+\frac{1}{x\left(x-2\right)}=\frac{8}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)} /\cdot x\left(x-2\right)\left(x+2\right) \\ x\left(x-2\right)+x+2=8 \\ {x}^2-2x+x+2-8=0 \\ {x}^2-x-6=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{25}}{2};x=\frac{1\pm 5}{2} \\ x=3\text{или}x=-2 \end{gathered}$$

Если $x=3x=3$, то $x\left(x-2\right)\left(x+2\right)=x\left(x^2-4\right)=3·\left(3^2-4\right)=3·5=15\ne 0,$

Если $x=-2x\; =\; -2$, то $x\left(x^2-4\right)=-2\left({\left(-2\right)}^2-4\right)=-2·0=0$

Ответ: 3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{10}{y^3-y}+\frac{1}{y-y^2}=\frac{1}{1+y} \\ \frac{10}{y\left(y^2-1\right)}+\frac{1}{y\left(1-y\right)}=\frac{1}{1+y} \\ \frac{10}{y\left(y-1\right)\left(y+1\right)}-\frac{1}{y\left(y-1\right)}=\frac{1}{1+y} /·y\left(y-1\right)\left(y+1\right) \\ 10-\left(y+1\right)=y\left(y-1\right) \\ 10-y-1=y^2-y \\ {y}^2-y+y-10+1=0 \\ {y}^2-9=0 \\ {y}^2=9 \\ y=-3\text{ или }y=3 \end{gathered}$$

Если $y=-3y=-3$, то $$\begin{gathered} y\left(y-1\right)\left(y+1\right)=y\left(y^2-1\right)=-3\left({\left(-3\right)}^2-1\right)= \\ =-3\cdot 8=-24\ne 0 \end{gathered}$$,

если $y=3y=3$, то $y\left(y^2-1\right)=3·\left(3^2-1\right)=3·8=24\ne 0$

Ответ: -3;3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}1+\frac{45}{x^2-8x+16}=\frac{14}{x-4} \\ 1+\frac{45}{{\left(x-4\right)}^2}=\frac{14}{x-4} /·{\left(x-4\right)}^2 \\ {\left(x-4\right)}^2+45=14\left(x-4\right) \\ {x}^2-8x+16+45=14x-56 \\ {x}^2-8x-14x+61+56=0 \\ {x}^2-22x+117=0 \\ D={\left(-22\right)}^2-4·1·117=484-468=16 \\ x=\frac{22\pm \sqrt{16}}{2}; x=\frac{22\pm 4}{2} \\ x=13\text{ или }x=9 \end{gathered}$$

Если $x=13x\; =\; 13$, то ${\left(x-4\right)}^2={\left(13-4\right)}^2=9^2=81\ne 0$,

если $x=9x\; =\; 9$, то ${\left(x-4\right)}^2={\left(9-4\right)}^2=5^2=25\ne 0$

Ответ: 9 и 13

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{5}{x-1}-\frac{4}{3-6x+3x^2}=3 \\ \frac{5}{x-1}-\frac{4}{3\left(1-2x+x^2\right)}=3 \\ \frac{5}{x-1}-\frac{4}{3{\left(x-1\right)}^2}=3 /·3{\left(x-1\right)}^2 \\ 5·3\left(x-1\right)-4=3·3{\left(x-1\right)}^2 \\ 15x-15-4=9\left(x^2-2x+1\right) \\ 15x-19=9x^2-18x+9 \\ 9x^2-18x+9-15x+19=0 \\ 9x^2-33x+28=0 \\ D={(-33)}^2-4·9·28=1089-1008=81 \\ x=\frac{33\pm \sqrt{81}}{18}; x=\frac{33\pm 9}{18} \\ \begin{array}{lcl}x=\frac{42}{18}& \text{или}& x=\frac{24}{18}\\ x=\frac{7}{3}& & x=\frac{4}{3}\\ x=2\frac{1}{3}& & x=1\frac{1}{3}\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=\frac{7}{3}$, то ${\left(x-1\right)}^2={\left(\frac{7}{3}-1\right)}^2={\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}\ne 0,$

если $x=\frac{4}{3}$, то ${\left(x-1\right)}^2={\left(\frac{4}{3}-1\right)}^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}\ne 0$

Ответ: $1\frac{1}{3}; 2\frac{1}{3}$

а) $\frac{5}{y-2} - \frac{4}{y-3} = \frac{1}{y}$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $y-2 \neq 0$, $y-3 \neq 0$ и $y \neq 0$. Отсюда получаем $y \neq 2$, $y \neq 3$ и $y \neq 0$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $y(y-2)(y-3)$. Для этого умножим обе части уравнения на этот знаменатель:

$5y(y-3) - 4y(y-2) = 1(y-2)(y-3)$

Раскроем скобки:

$5y^2 - 15y - 4y^2 + 8y = y^2 - 3y - 2y + 6$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$y^2 - 7y = y^2 - 5y + 6$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числа - в другую:

$-7y + 5y = 6$

$-2y = 6$

$y = -3$

Найденный корень $y = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = -3$.

б) $\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}$

ОДЗ: $x+1 \neq 0$, $x+2 \neq 0$, $x+3 \neq 0$. Следовательно, $x \neq -1$, $x \neq -2$, $x \neq -3$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $2(x+1)(x+2)(x+3)$:

$\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} - \frac{3}{x+3} = 0$

$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3) - 3 \cdot 2(x+1)(x+2)}{2(x+1)(x+2)(x+3)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).

$(x^2 + 3x + 2x + 6) + 2(x^2 + 3x + x + 3) - 6(x^2 + 2x + x + 2) = 0$

$x^2 + 5x + 6 + 2(x^2 + 4x + 3) - 6(x^2 + 3x + 2) = 0$

$x^2 + 5x + 6 + 2x^2 + 8x + 6 - 6x^2 - 18x - 12 = 0$

Сгруппируем подобные члены:

$(1+2-6)x^2 + (5+8-18)x + (6+6-12) = 0$

$-3x^2 - 5x = 0$

$-x(3x + 5) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$3x + 5 = 0 \Rightarrow 3x = -5 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{3}$

Оба корня ($0$ и $-\frac{5}{3}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -\frac{5}{3}$.

в) $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^3-4x}$

Разложим знаменатели на множители: $x^2-2x = x(x-2)$, $x^3-4x = x(x^2-4) = x(x-2)(x+2)$.

Уравнение принимает вид: $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-2)} = \frac{8}{x(x-2)(x+2)}$

ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2$.

Общий знаменатель: $x(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$1 \cdot x(x-2) + 1 \cdot (x+2) = 8$

$x^2 - 2x + x + 2 = 8$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или дискриминанта. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{1+5}{2} = 3$

$x_2 = \frac{1-5}{2} = -2$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: $x = 3$.

г) $\frac{10}{y^3-y} + \frac{1}{y-y^2} = \frac{1}{1+y}$

Разложим знаменатели на множители: $y^3-y = y(y^2-1) = y(y-1)(y+1)$, $y-y^2 = y(1-y) = -y(y-1)$.

Уравнение принимает вид: $\frac{10}{y(y-1)(y+1)} - \frac{1}{y(y-1)} = \frac{1}{y+1}$

ОДЗ: $y \neq 0, y \neq 1, y \neq -1$.

Общий знаменатель: $y(y-1)(y+1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$10 - 1 \cdot (y+1) = 1 \cdot y(y-1)$

$10 - y - 1 = y^2 - y$

$9 - y = y^2 - y$

$y^2 = 9$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $y_1 = 3, y_2 = -3$.

д) $1 + \frac{45}{x^2-8x+16} = \frac{14}{x-4}$

Заметим, что знаменатель $x^2-8x+16$ является полным квадратом: $(x-4)^2$.

Уравнение принимает вид: $1 + \frac{45}{(x-4)^2} = \frac{14}{x-4}$

ОДЗ: $x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-4)^2$:

$1 \cdot (x-4)^2 + 45 = 14 \cdot (x-4)$

$x^2 - 8x + 16 + 45 = 14x - 56$

$x^2 - 8x + 61 = 14x - 56$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x - 14x + 61 + 56 = 0$

$x^2 - 22x + 117 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 117 = 484 - 468 = 16$.

$x_{1,2} = \frac{22 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{22 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{22+4}{2} = 13$

$x_2 = \frac{22-4}{2} = 9$

Оба корня ($13$ и $9$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = 13$.

е) $\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3-6x+3x^2} = 3$

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $3-6x+3x^2 = 3(1-2x+x^2) = 3(x-1)^2$.

Уравнение принимает вид: $\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3(x-1)^2} = 3$

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $3(x-1)^2$:

$5 \cdot 3(x-1) - 4 = 3 \cdot 3(x-1)^2$

$15(x-1) - 4 = 9(x-1)^2$

$15x - 15 - 4 = 9(x^2 - 2x + 1)$

$15x - 19 = 9x^2 - 18x + 9$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 9x^2 - 18x - 15x + 9 + 19$

$9x^2 - 33x + 28 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-33)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 28 = 1089 - 1008 = 81$.

$x_{1,2} = \frac{33 \pm \sqrt{81}}{18} = \frac{33 \pm 9}{18}$

$x_1 = \frac{33+9}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{33-9}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$

Оба корня ($\frac{7}{3}$ и $\frac{4}{3}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{7}{3}, x_2 = \frac{4}{3}$.