Номер 641, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 641, страница 150.

641. (Для работы в парах.) Решите уравнение:

1) Обсудите, какие преобразования и в какой последовательности надо выполнить, чтобы найти корни уравнения.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли решено уравнение.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle 2+\frac{1}{5-x^2}}}}}=1\frac{7}{24} \\ 1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{2\left(5-x^2\right)+1}{5-x^2}}}}}=\frac{31}{24} \\ 1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1(5-x^2)}{10-2x^2+1}}}=\frac{31}{24} \\ 1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{5-x^2}{11-2x^2}}}=\frac{31}{24} \\ 1+\frac{1}{{\displaystyle \frac{3\left(11-2x^2\right)+5-x^2}{11-2x^2}}}=\frac{31}{24} \\ 1+\frac{11-2x^2}{33-6x^2+5-x^2}=\frac{31}{24} \\ 1+\frac{11-2x^2}{38-7x^2}=\frac{31}{24} \\ \frac{38-7x^2+11-2x^2}{38-7x^2}=\frac{31}{24} \\ \frac{-9x^2+49}{38-7x^2}=\frac{31}{24} \\ \left(-9x^2+49\right)·24=31\left(38-7x^2\right) \\ -216x^2+1176=1178-217x^2 \\ -216x^2+217x^2=1178-1176 \\ {x}^2=2 \\ x=-\sqrt{2}\text{ или }x=\sqrt{2} \end{gathered}$$

Проверка:

Если $x=-\sqrt{2}$, то

$$\begin{gathered} 1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{5-{(-\sqrt{2})}^2}}}}}=1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{3}}}}}= \\ =1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{7}{3}}}}}=1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{3}{7}}}= \\ =1+\frac{1}{{\displaystyle \frac{24}{7}}}=1+\frac{7}{24}=\frac{31}{24}=1\frac{7}{24}, \end{gathered}$$

Если $x=\sqrt{2}$, то

$1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{5-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}}}}}=1+\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{3}}}}}=1\frac{7}{24}$

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{10-x^2}}}}}=\frac{3}{5} \\ 1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{10-x^2+1}{10-x^2}}}}}=\frac{3}{5} \\ 1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{10-x^2}{11-x^2}}}=\frac{3}{5} \\ 1-\frac{1}{{\displaystyle \frac{2\left(11-x^2\right)+10-x^2}{11-x^2}}}=\frac{3}{5} \\ 1-\frac{1}{{\displaystyle \frac{22-2x^2+10-x^2}{11-x^2}}}=\frac{3}{5} \\ 1-\frac{11-x^2}{32-3x^2}=\frac{3}{5} \\ \frac{32-3x^2-11+x^2}{32-3x^2}=\frac{3}{5} \\ \frac{21-2x^2}{32-3x^2}=\frac{3}{5} \\ 5\left(21-2x^2\right)=3\left(32-3x^2\right) \\ 105-10x^2=96-9x^2 \\ 105-96=-9x^2+10x^2 \\ 9=x^2 \\ x=3\text{ или }x=-3 \end{gathered}$$

Если $x=3x=3$, то

$$\begin{gathered} 1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{10-3^2}}}}}=1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{1+1}}}= \\ =1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2}}}=1-\frac{1}{{\displaystyle \frac{5}{2}}}=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}, \end{gathered}$$

Если $x=-3x=-3$, то

$1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{10-{(-3)}^2}}}}}=1-\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{1+1}}}=\frac{3}{5}$

Ответ: -3; 3

Для решения данных уравнений используется метод последовательного упрощения многоэтажных (цепных) дробей. Преобразования выполняются "снаружи внутрь". На каждом шаге мы выделяем неизвестное выражение (которое само является дробью) как слагаемое, вычитаемое или делитель и находим его значение. Этот процесс повторяется, пока мы не дойдем до простейшего уравнения, содержащего $x^2$. Также в конце решения необходимо убедиться, что найденные корни не обращают знаменатели в ноль.

а) $1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}}} = 1\frac{7}{24}$

1. Перенесем 1 из левой части в правую. $1\frac{7}{24}$ представим как $\frac{31}{24}$.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}}} = \frac{31}{24} - 1 = \frac{31 - 24}{24} = \frac{7}{24}$

2. Если $\frac{1}{A} = \frac{B}{C}$, то $A = \frac{C}{B}$. "Перевернем" обе части уравнения:

$3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}} = \frac{24}{7}$

3. Перенесем 3 в правую часть:

$\frac{1}{2 + \frac{1}{5 - x^2}} = \frac{24}{7} - 3 = \frac{24 - 21}{7} = \frac{3}{7}$

4. Снова "перевернем" обе части:

$2 + \frac{1}{5 - x^2} = \frac{7}{3}$

5. Перенесем 2 в правую часть:

$\frac{1}{5 - x^2} = \frac{7}{3} - 2 = \frac{7 - 6}{3} = \frac{1}{3}$

6. И еще раз "перевернем" дроби:

$5 - x^2 = 3$

7. Решим полученное уравнение:

$x^2 = 5 - 3$

$x^2 = 2$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$

При этих значениях $x$ ни один из знаменателей в исходном уравнении не равен нулю, значит, корни подходят.

Ответ: $x = \pm\sqrt{2}$.

б) $1 - \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}} = \frac{3}{5}$

1. Выразим дробь из левой части:

$\frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

2. "Перевернем" обе части уравнения:

$2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}} = \frac{5}{2}$

3. Перенесем 2 в правую часть:

$\frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}} = \frac{5}{2} - 2 = \frac{5 - 4}{2} = \frac{1}{2}$

4. Снова "перевернем" обе части:

$1 + \frac{1}{10 - x^2} = 2$

5. Перенесем 1 в правую часть:

$\frac{1}{10 - x^2} = 1$

6. Отсюда следует, что знаменатель равен 1:

$10 - x^2 = 1$

7. Решим полученное уравнение:

$x^2 = 10 - 1$

$x^2 = 9$

$x_{1,2} = \pm 3$

При этих значениях $x$ ни один из знаменателей в исходном уравнении не равен нулю, значит, корни подходят.

Ответ: $x = \pm 3$.