Номер 609, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 609, страница 140.

609. (Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении x квадратный трёхчлен:

а) x² – 6x + 10 принимает положительное значение;

б) 5x² – 10x + 5 принимает неотрицательное значение;

в) –x² + 20x – 100 принимает неположительное значение;

г) –2x² + 16x – 33 принимает отрицательное значение;

д) x² – 0,32x + 0,0256 принимает неотрицательное значение;

е) 4x² + 0,8x + 2 принимает положительное значение.

1) Обсудите, какие преобразования трёхчленов надо выполнить для доказательства высказанных утверждений.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в) и д), а кто — задания б), г) и е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность проведённых доказательств и исправьте ошибки, если они допущены.

a) $$\begin{gathered} x^2-6x+10=x^2-2·3x+3^2-3^2+10= \\ ={(x-3)}^2-9+10={(x-3)}^2+1>0 \end{gathered}$$

б) $5x^2-10x+5=5(x^2-2x+1)=5{(x-1)}^2\ge 0$

в) $$\begin{gathered} -x^2+20x-100=-(x^2-20x+100)= \\ =-(x^2-2·10x+{10}^2)=-{(x-10)}^2\le 0 \end{gathered}$$

г) $-2x^2+16x-33=-2(x^2-8x+\frac{33}{2})=$
$$\begin{gathered} =-2(x^2-2·4·x+4^2-4^2+\frac{33}{2})= \\ =-2({(x-4)}^2-16+\frac{33}{2})=-2({(x-4)}^2+\frac{1}{2})= \\ =-2{(x-4)}^2-1=-(2{(x-4)}^2+1)<0 \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} x^2-0,32x+0,0256=x^2-2·0,16x+0,{16}^2= \\ ={(x-0,16)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

е) $4x^2+0,8x+2=4(x^2+\frac{1}{5}x+\frac{1}{2})=$
$$\begin{gathered} =4\left(x^2+2·\frac{1}{10}·1x+{\left(\frac{1}{10}\right)}^2-{\left(\frac{1}{10}\right)}^2+\frac{1}{2}\right)= \\ =4({(x+0,1)}^2+0,49)=4{(x+0,1)}^2+1,96>0 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $x^2 - 6x + 10$ принимает положительное значение при любом $x$, выделим в нём полный квадрат. Для этого представим $-6x$ как $-2 \cdot x \cdot 3$. Тогда для полного квадрата $(x-3)^2$ нам понадобится слагаемое $3^2=9$.

Выполним преобразование:

$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 10 = (x - 3)^2 + 1$.

Выражение $(x - 3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(x - 3)^2 + 1$ достигается при $(x-3)^2 = 0$ и равно $0 + 1 = 1$.

Поскольку наименьшее значение трёхчлена равно 1 (что является положительным числом), то выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Чтобы доказать, что трёхчлен $5x^2 - 10x + 5$ принимает неотрицательное значение, вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5x^2 - 10x + 5 = 5(x^2 - 2x + 1)$.

Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.

Таким образом, $5x^2 - 10x + 5 = 5(x - 1)^2$.

Так как $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого $x$, а множитель 5 положителен, то их произведение $5(x - 1)^2$ всегда будет неотрицательным, то есть $5(x - 1)^2 \ge 0$.

Ответ: Утверждение доказано.

в) Чтобы доказать, что трёхчлен $-x^2 + 20x - 100$ принимает неположительное значение, вынесем минус за скобки:

$-x^2 + 20x - 100 = -(x^2 - 20x + 100)$.

Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = (x - 10)^2$.

Следовательно, $-x^2 + 20x - 100 = -(x - 10)^2$.

Поскольку выражение $(x - 10)^2$ всегда неотрицательно ($(x - 10)^2 \ge 0$), то выражение $-(x - 10)^2$ будет всегда неположительным, то есть $-(x - 10)^2 \le 0$.

Ответ: Утверждение доказано.

г) Чтобы доказать, что трёхчлен $-2x^2 + 16x - 33$ принимает отрицательное значение, выделим в нём полный квадрат. Сначала вынесем за скобки коэффициент -2:

$-2x^2 + 16x - 33 = -2(x^2 - 8x) - 33$.

Для выделения полного квадрата в скобках добавим и вычтем $4^2 = 16$:

$-2(x^2 - 8x + 16 - 16) - 33 = -2((x - 4)^2 - 16) - 33 = -2(x - 4)^2 + 32 - 33 = -2(x - 4)^2 - 1$.

Выражение $(x - 4)^2$ всегда неотрицательно, $(x - 4)^2 \ge 0$. При умножении на -2, выражение $-2(x - 4)^2$ становится неположительным, то есть $-2(x - 4)^2 \le 0$. Его наибольшее значение равно 0 (при $x=4$).

Следовательно, наибольшее значение всего выражения $-2(x - 4)^2 - 1$ равно $0 - 1 = -1$.

Так как максимальное значение трёхчлена равно -1 (что является отрицательным числом), то выражение $-2x^2 + 16x - 33$ всегда принимает отрицательные значения.

Ответ: Утверждение доказано.

д) Чтобы доказать, что трёхчлен $x^2 - 0,32x + 0,0256$ принимает неотрицательное значение, проверим, не является ли он полным квадратом.

Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$. Тогда $b^2 = 0,0256$, откуда $b = \sqrt{0,0256} = 0,16$.

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 0,16 = 0,32x$. Это совпадает с нашим выражением.

Следовательно, $x^2 - 0,32x + 0,0256 = (x - 0,16)^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому $(x - 0,16)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Ответ: Утверждение доказано.

е) Чтобы доказать, что трёхчлен $4x^2 + 0,8x + 2$ принимает положительное значение, выделим полный квадрат.

$4x^2 = (2x)^2$. Представим средний член как $0,8x = 2 \cdot (2x) \cdot 0,2$. Для полного квадрата нам понадобится $(0,2)^2 = 0,04$.

Выполним преобразование:

$4x^2 + 0,8x + 2 = (4x^2 + 0,8x + 0,04) - 0,04 + 2 = (2x + 0,2)^2 + 1,96$.

Выражение $(2x + 0,2)^2$ всегда неотрицательно, $(2x + 0,2)^2 \ge 0$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(2x + 0,2)^2 + 1,96$ достигается при $(2x+0,2)^2=0$ и равно $0 + 1,96 = 1,96$.

Поскольку наименьшее значение трёхчлена равно 1,96 (что является положительным числом), то выражение $4x^2 + 0,8x + 2$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Утверждение доказано.

1) Для доказательства всех этих утверждений необходимо выполнить преобразование, которое называется выделением полного квадрата. Суть этого метода заключается в том, чтобы представить исходный квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ в виде $a(x-h)^2 + k$.

Эта форма удобна тем, что знак всего выражения легко определить, зная знаки $a$ и $k$, поскольку выражение $(x-h)^2$ всегда неотрицательно (то есть $(x-h)^2 \ge 0$).

• Если $a > 0$, то парабола $y = a(x-h)^2 + k$ имеет ветви, направленные вверх, и её наименьшее значение равно $k$. Если $k > 0$, трёхчлен всегда положителен. Если $k = 0$, трёхчлен неотрицателен.
• Если $a < 0$, то парабола имеет ветви, направленные вниз, и её наибольшее значение равно $k$. Если $k < 0$, трёхчлен всегда отрицателен. Если $k = 0$, трёхчлен неположителен.

В некоторых из приведённых заданий (б, в, д) трёхчлен после вынесения общего множителя сразу оказывается полным квадратом, что является частным случаем этого метода при $k=0$.