Страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

687. Выясните, имеет ли система решения и сколько:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-6y=10\\ 8y=7-2x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6y=2x-10\\ y=\frac{7-2x}{8}\end{array}\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2x-10}{6}\\ y=-\frac{2x}{8}+\frac{7}{8}\end{array}\right.\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2x}{6}-\frac{10}{6}\\ y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{8}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}\\ y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{8}\end{array}\right.$

Т.к. $k_1={\displaystyle \frac{1}{3}}k\_1\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$, $k_2=-{\displaystyle \frac{1}{4}}k\_2\; =\; -\backslash frac\{1\}\{4\}$, $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются.

Ответ: одно решение

б) $\left\{\begin{array}{l}3x-12=8y\\ 1,5x-4y=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3x-12}{8}\\ 4y=1,5x-6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{8}x-\frac{12}{8}\\ y=\frac{1,5x-6}{4}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{8}x-\frac{3}{2}\\ y=\frac{1,5}{4}x-\frac{6}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{8}x-\frac{3}{2}\\ y=\frac{15}{40}x-\frac{3}{2}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{8}x-\frac{3}{2}\\ y=\frac{3}{8}x-\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=k_2={\displaystyle \frac{3}{8}}k\_1\; =\; k\_2\; =\; \backslash frac\{3\}\{8\}$; $b_1=b_2=-{\displaystyle \frac{3}{2}}b\_1\; =\; b\_2\; =\; -\backslash frac\{3\}\{2\}$, то прямые совпадают.

Ответ: бесконечно много решений

в) $\left\{\begin{array}{l}y=4x\\ x-8=-6y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=4x\\ y=\frac{x-8}{-6}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=4x\\ y=-\frac{1}{6}x+\frac{8}{6}\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=4k\_1\; =\; 4$, $k_2=-{\displaystyle \frac{1}{6}}k\_2\; =\; -\backslash frac\{1\}\{6\}$, $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются.

Ответ: одно решение

г) $\left\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 3x-2y=8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=5-x\\ 2y=3x-8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=5-x\\ y=\frac{3x-8}{2}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=-x+5\\ y=\frac{3}{2}x-4\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=-1k\_1\; =\; -1$, $k_2={\displaystyle \frac{3}{2}}k\_2\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}$, $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются.

Ответ: одно решение

д) $\left\{\begin{array}{l}3-3y=4x\\ -8x=6y-6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3y=3-4x\\ 6y=-8x+6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{-4x+3}{3}\\ y=\frac{-8x+6}{6}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{4}{3}x+1\\ y=-\frac{8}{6}x+1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{4}{3}x+1\\ y=-\frac{4}{3}x+1\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=k_2=-{\displaystyle \frac{4}{3}}k\_1\; =\; k\_2\; =\; -\backslash frac\{4\}\{3\}$, $b_1=b_2=1b\_1\; =\; b\_2\; =\; 1$, то прямые совпадают

Ответ: бесконечно много решений

е) $\left\{\begin{array}{l}x+4y=5\\ x-y+3=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4y=5-x\\ y=x+3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{5-x}{4}\\ y=x+3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\\ y=x+3\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=-{\displaystyle \frac{1}{4}}k\_1\; =\; -\backslash frac\{1\}\{4\}$, $k_2=1k\_2\; =\; 1$, $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются

Ответ: одно решение

Чтобы выяснить, сколько решений имеет система линейных уравнений, можно привести оба уравнения к виду $y = kx + m$ и сравнить их угловые коэффициенты $k$ и смещения $m$.

• Если $k_1 \ne k_2$, прямые пересекаются, и система имеет одно решение.
• Если $k_1 = k_2$ и $m_1 \ne m_2$, прямые параллельны, и система не имеет решений.
• Если $k_1 = k_2$ и $m_1 = m_2$, прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений.

Другой способ — привести уравнения к виду $Ax + By = C$ и сравнить отношения коэффициентов.

• Если $\frac{A_1}{A_2} \ne \frac{B_1}{B_2}$, система имеет одно решение.
• Если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \ne \frac{C_1}{C_2}$, система не имеет решений.
• Если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, система имеет бесконечно много решений.

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - 6y = 10, \\ 8y = 7 - 2x; \end{cases} $

Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.

Первое уравнение: $2x - 6y = 10$. Здесь $A_1=2$, $B_1=-6$, $C_1=10$.

Второе уравнение: $8y = 7 - 2x$. Перенесем $2x$ в левую часть: $2x + 8y = 7$. Здесь $A_2=2$, $B_2=8$, $C_2=7$.

Сравним отношения коэффициентов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{2} = 1$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Поскольку $\frac{A_1}{A_2} \ne \frac{B_1}{B_2}$ ($1 \ne -\frac{3}{4}$), то система имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 12 = 8y, \\ 1,5x - 4y = 6; \end{cases} $

Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.

Первое уравнение: $3x - 12 = 8y$. Перенесем $8y$ и $-12$: $3x - 8y = 12$. Здесь $A_1=3$, $B_1=-8$, $C_1=12$.

Второе уравнение: $1,5x - 4y = 6$. Здесь $A_2=1,5$, $B_2=-4$, $C_2=6$.

Сравним отношения коэффициентов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{1,5} = 2$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-8}{-4} = 2$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{12}{6} = 2$

Поскольку $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, уравнения описывают одну и ту же прямую. Следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = 4x, \\ x - 8 = -6y; \end{cases} $

Используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x - 8 = -6(4x)$

$x - 8 = -24x$

$x + 24x = 8$

$25x = 8$

$x = \frac{8}{25}$

Так как мы нашли единственное значение для $x$, то и для $y$ будет единственное соответствующее значение ($y = 4 \cdot \frac{8}{25} = \frac{32}{25}$). Это означает, что система имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 5, \\ 3x - 2y = 8; \end{cases} $

Оба уравнения уже в стандартном виде. Сравним отношения коэффициентов:

$A_1=1$, $B_1=1$, $C_1=5$.

$A_2=3$, $B_2=-2$, $C_2=8$.

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{3}$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

Поскольку $\frac{A_1}{A_2} \ne \frac{B_1}{B_2}$, система имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение.

д)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3 - 3y = 4x, \\ -8x = 6y - 6; \end{cases} $

Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.

Первое уравнение: $3 - 3y = 4x \implies 4x + 3y = 3$.

Второе уравнение: $-8x = 6y - 6 \implies -8x - 6y = -6$.

Сравним отношения коэффициентов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, уравнения эквивалентны (второе уравнение можно получить из первого умножением на -2). Система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

е)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 4y = 5, \\ x - y + 3 = 0. \end{cases} $

Приведем второе уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$: $x - y = -3$.

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x + 4y = 5, \\ x - y = -3. \end{cases} $

Сравним отношения коэффициентов:

$A_1=1$, $B_1=4$.

$A_2=1$, $B_2=-1$.

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{4}{-1} = -4$

Поскольку $\frac{A_1}{A_2} \ne \frac{B_1}{B_2}$, система имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение.

688. (Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:

1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.

2) Выполните совместно задание а).

3) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.

4) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

a) $\left\{\begin{array}{l}7x+y=8\\ x-y+3=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=8-7x\\ y=x+3\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=-7$, $k_2=1$, $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются.

Ответ: одно решение

б) $\left\{\begin{array}{l}6y-4x=7\\ 8x-12y=-14\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6y=7+4x\\ 12y=8x+14\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4x+7}{6}\\ y=\frac{8x+14}{12}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{6}x+\frac{7}{6}\\ y=\frac{8}{12}x+\frac{14}{12}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{6}\\ y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{6}\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=k_2=\frac{2}{3}$; $b_1=b_2=\frac{7}{6}$, то прямые совпадают.

Ответ: бесконечно много решений

в) $\left\{\begin{array}{l}x-2y=6\\ y=-4x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2y=x-6\\ y=-4x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x-6}{2}\\ y=-4x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-3\\ y=-4x\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=\frac{1}{2}$, $k_2=-4$, $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются.

Ответ: одно решение

Ответ на вопрос о количестве решений системы линейных уравнений зависит от соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов в этих уравнениях. Для системы общего вида:

существует три возможных варианта:

1. Если отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$, то есть $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, то система имеет одно единственное решение. Графически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке.
2. Если отношения коэффициентов при переменных равны между собой, но не равны отношению свободных членов, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, то система не имеет решений. Графически это означает, что прямые параллельны и не совпадают.
3. Если отношения коэффициентов при переменных и свободных членов равны, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, то система имеет бесконечно много решений. Графически это означает, что прямые совпадают.

а)

Рассмотрим систему:

Приведем второе уравнение к стандартному виду $ax+by=c$, перенеся свободный член в правую часть:

Теперь система имеет вид:

Для определения количества решений сравним отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{7}{1} = 7$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-1} = -1$.

Так как $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (поскольку $7 \neq -1$), система имеет одно решение. Найдем его методом алгебраического сложения. Сложим два уравнения системы:

$(7x+y) + (x-y) = 8 + (-3)$

$8x = 5$

$x = \frac{5}{8}$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение:

$7\left(\frac{5}{8}\right) + y = 8$

$\frac{35}{8} + y = 8$

$y = 8 - \frac{35}{8} = \frac{64 - 35}{8} = \frac{29}{8}$

Таким образом, система имеет одно решение $(\frac{5}{8}, \frac{29}{8})$.

Ответ: система имеет одно решение.

б)

Рассмотрим систему:

Приведем оба уравнения к стандартному виду $ax+by=c$:

Сравним отношения коэффициентов при переменных и свободных членов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{6}{-12} = -\frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{-14} = -\frac{1}{2}$

Поскольку все три отношения равны ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$), система имеет бесконечно много решений. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Чтобы убедиться в этом, можно разделить второе уравнение на -2:

$(8x-12y) \div (-2) = -14 \div (-2)$

$-4x+6y = 7$

Полученное уравнение идентично первому уравнению системы.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

в)

Рассмотрим систему:

Данная система удобна для решения методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x - 2(-4x) = 6$

$x + 8x = 6$

$9x = 6$

$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:

$y = -4 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}$

Система имеет одно решение $(\frac{2}{3}, -\frac{8}{3})$.

Можно также проверить это, используя анализ коэффициентов. Приведем систему к стандартному виду:

Отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{4}$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{1} = -2$.

Так как $\frac{1}{4} \neq -2$, система имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение.