Страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

705. Решите систему уравнений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{l}x+y=8\\ xy=-20\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=8-y\\ \left(8-y\right)y=-20\end{array}\right. \\ 8y-y^2+20=0 \\ -y^2+8y+20=0 \\ D=8^2-4·\left(-1\right)·20=64+80=144 \\ y=\frac{-8\pm \sqrt{144}}{-2}, y=\frac{-8\pm 12}{-2} \\ {y}_1=-2; y_2=10 \end{gathered}$$

Если y=-2, то x=8-(-2)=8+2=10,

если y=10, то x=8-10=-2

Ответ: (10; -2), (-2; 10)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{l}x-y=0,8\\ xy=2,4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=0,8+y\\ \left(0,8+y\right)y=2,4\end{array}\right. \\ 0,8y+y^2=2,4 \\ {y}^2+0,8y-2,4=0 \\ D=0,8^2-4·1·\left(-2,4\right)=0,64+9,6=10,24 \\ y=\frac{-0,8\pm \sqrt{10,24}}{2}, y=\frac{-0,8\pm 3,2}{2} \\ {y}_1=1,2; y_2=-2 \end{gathered}$$

Если y=1,2, то x=0,8+1,2=2,

если y=-2, то x=0,8+(-2)=-1,2

Ответ: (2; 1,2), (-1,2; -2)

$\mathbf{\text{в)}} \left\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=8\\ x-y=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\left(x-y\right)\left(x+y\right)=8\\ x-y=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4\left(x+y\right)=8\\ x-y=4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x-y=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x=6\\ x+y=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3\\ 3+y=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-1\end{array}\right.$

Ответ: (3; -1)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ x+y=-3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-3-y\\ {\left(-3-y\right)}^2+y^2=5\end{array}\right. \\ 9+6y+y^2+y^2=5 \\ 2y^2+6y+9-5=0 \\ 2y^2+6y+4=0 \\ D=36-4·2·4=36-32=4 \\ y=\frac{-6\pm \sqrt{4}}{4}, y=\frac{-6\pm 2}{4} \\ {y}_1=-1; y_2=-2 \end{gathered}$$

Если $y_1=-1$, то x=-3+1=-2,

если y=-2, то x=-3+2=-1

Ответ: (-2; -1), (-1; -2)

а) $ \begin{cases} x + y = 8 \\ xy = -20 \end{cases} $
Согласно теореме, обратной теореме Виета, переменные x и y являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим в это уравнение значения из системы:
$t^2 - 8t - 20 = 0$
Найдем корни этого уравнения, используя дискриминант:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$
$t_1 = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$t_2 = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(10; -2)$ и $(-2; 10)$.
Ответ: $(10; -2), (-2; 10)$.

б) $ \begin{cases} x - y = 0,8 \\ xy = 2,4 \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим x:
$x = y + 0,8$
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$(y + 0,8)y = 2,4$
$y^2 + 0,8y - 2,4 = 0$
Умножим все члены уравнения на 10, чтобы работать с целыми коэффициентами:
$10y^2 + 8y - 24 = 0$
Разделим на 2 для упрощения:
$5y^2 + 4y - 12 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2$
$y_1 = \frac{-4 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = 1,2$
$y_2 = \frac{-4 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$
Теперь найдем соответствующие значения x:
Если $y_1 = 1,2$, то $x_1 = 1,2 + 0,8 = 2$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 0,8 = -1,2$.
Решениями системы являются пары чисел $(2; 1,2)$ и $(-1,2; -2)$.
Ответ: $(2; 1,2), (-1,2; -2)$.

в) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ x - y = 4 \end{cases} $
Используем формулу разности квадратов для левой части первого уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Подставим в это выражение известные значения из системы:
$4 \cdot (x + y) = 8$
Отсюда находим $x + y$:
$x + y = \frac{8}{4} = 2$
Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 2 \end{cases} $
Сложим два уравнения почленно:
$(x - y) + (x + y) = 4 + 2$
$2x = 6$
$x = 3$
Подставим найденное значение x в любое из уравнений, например в $x + y = 2$:
$3 + y = 2$
$y = 2 - 3 = -1$
Решением системы является пара чисел $(3; -1)$.
Ответ: $(3; -1)$.

г) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x + y = -3 \end{cases} $
Возведем второе уравнение системы в квадрат:
$(x + y)^2 = (-3)^2$
$x^2 + 2xy + y^2 = 9$
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + y^2) + 2xy = 9$.
Из первого уравнения мы знаем, что $x^2 + y^2 = 5$. Подставим это значение:
$5 + 2xy = 9$
$2xy = 4$
$xy = 2$
Теперь мы получили новую систему, эквивалентную исходной:
$ \begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 2 \end{cases} $
По теореме, обратной теореме Виета, x и y являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-3)t + 2 = 0$, то есть $t^2 + 3t + 2 = 0$.
Корни этого уравнения легко находятся подбором: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(-1; -2)$ и $(-2; -1)$.
Ответ: $(-1; -2), (-2; -1)$.

706. Решите систему уравнений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{c}y-2x=2\\ 5x^2-y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=2+2x\\ 5x^2-\left(2+2x\right)=1\end{array}\right. \\ 5x^2-2-2x-1=0 \\ 5x^2-2x-3=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·5·\left(-3\right)=4+60=64 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{64}}{10}; x=\frac{2\pm 8}{10} \\ {x}_1=1, x_2=-0.6 \end{gathered}$$

Если $x=1x=1$, то $y=2+2·1=4y=2+2\; \backslash cdot\; 1\; =\; 4$,

если $x=-0.6x=-0.6$, то $y=2+2·\left(-0,6\right)=2-1,2=0,8$

Ответ: $\left(1; 4\right), \left(-0,6; 0,8\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{c}x-2y^2=2\\ 3x+y=7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x=2+2y^2\\ 3\left(2+2y^2\right)+y=7\end{array}\right. \\ 6+6y^2+y-7=0 \\ 6y^2+y-1=0 \\ D=1^2-4·6·\left(-1\right)=1+24=25 \\ y=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{12}; y=\frac{-1\pm 5}{12} \\ {y}_1=\frac{1}{3}; y_2=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Если $y={\displaystyle \frac{1}{3}}y\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$, то $x=2+2·{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=2+2·\frac{1}{9}=2\frac{2}{9},$

Если $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}y\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}$, то $x=2+2·{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=2+2·\frac{1}{4}=2\frac{2}{4}=2\frac{1}{2}$

Ответ: $\left(2\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right), \left(2\frac{2}{9};\frac{1}{3}\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} \left\{\begin{array}{c}3x^2-2y=1\\ 2x^2-y^2=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}2y=3x^2-1\\ 2x^2-y^2=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=\frac{3x^2-1}{2}\\ 2x^2-{\left({\displaystyle \frac{3x^2-1}{2}}\right)}^2=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=\frac{3x^2-1}{2}\\ 2x^2-{\left({\displaystyle \frac{3x^2-1}{4}}\right)}^2=1 /·4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=\frac{3x^2-1}{2}\\ 4·2x^2-{\left(3x^2-1\right)}^2=4\end{array}\right. \\ 8x^2-\left(9x^4-6x^2+1\right)=4 \\ 8x^2-9x^4+6x^2-1-4=0 \\ -9x^4+14x^2-5=0 \\ {x}^2=t, x^4=t^2, t\ge 0 \\ -9t^2+14t-5=0 \\ D=196-4·\left(-9\right)·\left(-5\right)=196-180=16 \\ t=\frac{-14\pm \sqrt{16}}{-18}, t=\frac{-14\pm 4}{-18} \\ {t}_1=\frac{10}{18}; t=1 \\ {x}^2=\frac{10}{18} \text{или }{x}^2=1 \end{gathered}$$

Если $x^2={\displaystyle \frac{10}{18}}x^2\; =\; \backslash frac\{10\}\{18\}$, то $y=\frac{3·{\displaystyle \frac{10}{18}}-1}{2}=\frac{{\displaystyle \frac{10}{6}}-1}{2}=\frac{{\displaystyle \frac{5}{3}}-1}{2}=\frac{{\displaystyle 2}}{3·2}=\frac{1}{3}$

Если $x^2=1x^2=1$, то $y={\displaystyle \frac{3·1-1}{2}}={\displaystyle \frac{3-1}{2}}=1y\; =\; \backslash frac\{3\; \backslash cdot\; 1\; -\; 1\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{3-1\}\{2\}\; =\; 1$

Если $y={\displaystyle \frac{1}{3}}y\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$, то

$\begin{array}{ccc}x=\sqrt{\frac{10}{18}}& \text{или}& x=-\sqrt{\frac{10}{18}}\\ x=\sqrt{\frac{5}{9}}& & x=-\sqrt{\frac{5}{9}}\\ x=\frac{\sqrt{5}}{3}& & x=-\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}$

Если $y=1y\; =\; 1$, то $x=1x\; =\; 1$ или $x=-1x\; =\; -1$

Ответ: $\left({\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}};{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)(\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}\}\{3\};\backslash frac\{1\}\{3\})$, $\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}};{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)(-\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}\}\{3\};\backslash frac\{1\}\{3\})$, $\left(1;1\right)(1;1)$, $\left(-1;1\right)(-1;1)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \left\{\begin{array}{l}{x}^2+2y^2=11\\ x+2y=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3-2y\\ 3{\left(3-2y\right)}^2+2y^2=11\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=3-2y\\ 3(9-12y+4y^2)+2y^2=11\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=3-2y\\ 27-36y+12y^2+2y^2-11=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=3-2y\\ 12y^2+2y^2-36y-16=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3-2y\\ 14y^2-36y+16=0\end{array}\right. \\ 14y^2-36y+16=0 /:2 \\ 7y^2-18y+8=0 \\ D={(-18)}^2-4·7·8=324-224=100 \\ y=\frac{18\pm \sqrt{100}}{14}; y=\frac{18\pm 10}{14} \\ {y}_1=2; y_2=\frac{8}{14}; y_2=\frac{4}{7} \end{gathered}$$

Если y=2, то $x=3-2·2=3-4=-1$,

если $y=\frac{4}{7}$, то $x=3-2·\frac{4}{7}=3-\frac{8}{7}=\frac{21-8}{7}=\frac{13}{7}=1\frac{6}{7}$

Ответ: (-1;2), $\left(1\frac{6}{7};\frac{4}{7}\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=100\\ 3x=4y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4y}{3}\\ {\left(\frac{4y}{3}\right)}^2+y^2=100\end{array}\right. \\ \frac{16}{9}{y}^2+y^2=100 \\ \frac{25}{9}{y}^2=100 \\ {y}^2=100:\frac{25}{9} \\ {y}^2=100·\frac{9}{25} \\ {y}^2=36 \\ y=6 \text{или }y=-6 \end{gathered}$$

Если $y=6y\; =\; 6$, то $x=\frac{4·6}{3}=8$

Если $y=-6y\; =\; -6$, то $x=\frac{4·\left(-6\right)}{3}=-8$

Ответ: $\left(8;6\right)(8;6)$, $\left(-8;-6\right)(-8;-6)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} \left\{\begin{array}{l}2x^2-y^2=32\\ 2x-y=8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=2x-8\\ 2x^2-{\left(2x-8\right)}^2=32\end{array}\right. \\ 2x^2-\left(4x^2-32x+64\right)=32 \\ 2x^2-4x^2+32x-64-32=0 \\ -2x^2+32x-96=0 /:(-2) \\ {x}^2-16x+48=0 \\ D={\left(-16\right)}^2-4·1·48=256-192=64 \\ x=\frac{16\pm \sqrt{64}}{2}, x=\frac{16\pm 8}{2} \\ {x}_1=12, x_2=4 \end{gathered}$$

Если $x=12x\; =\; 12$, то $y=2·12-8=24-8=16,$

Если $x=4x\; =\; 4$, то $y=2·4-8=8-8=0y\; =\; 2\; \backslash cdot\; 4\; -\; 8\; =\; 8\; -\; 8\; =\; 0$

Ответ: $\left(4;0\right)(4;0)$, $\left(12;16\right)(12;16)$

а)$\begin{cases}y - 2x = 2 \\5x^2 - y = 1\end{cases}$
Для решения этой системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2x + 2$.
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$5x^2 - (2x + 2) = 1$
$5x^2 - 2x - 2 = 1$
$5x^2 - 2x - 3 = 0$
Получили квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \pm 8}{10}$.
$x_1 = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
$x_2 = \frac{2 - 8}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в выражение $y = 2x + 2$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 2 \cdot 1 + 2 = 4$.
При $x_2 = -0.6$, $y_2 = 2 \cdot (-0.6) + 2 = -1.2 + 2 = 0.8$.
Ответ: $(1, 4)$, $(-0.6, 0.8)$.

б)$\begin{cases}x - 2y^2 = 2 \\3x + y = 7\end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$: $y = 7 - 3x$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x - 2(7 - 3x)^2 = 2$
$x - 2(49 - 42x + 9x^2) = 2$
$x - 98 + 84x - 18x^2 = 2$
$-18x^2 + 85x - 100 = 0$
Умножим обе части на -1 для удобства:
$18x^2 - 85x + 100 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения:
$D = (-85)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 100 = 7225 - 7200 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{85 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 18} = \frac{85 \pm 5}{36}$.
$x_1 = \frac{85 + 5}{36} = \frac{90}{36} = \frac{5}{2} = 2.5$.
$x_2 = \frac{85 - 5}{36} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9}$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 2.5$, $y_1 = 7 - 3 \cdot 2.5 = 7 - 7.5 = -0.5$.
При $x_2 = \frac{20}{9}$, $y_2 = 7 - 3 \cdot \frac{20}{9} = 7 - \frac{20}{3} = \frac{21}{3} - \frac{20}{3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $(2.5, -0.5)$, $(\frac{20}{9}, \frac{1}{3})$.

в)$\begin{cases}3x^2 - 2y = 1 \\2x^2 - y^2 = 1\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x^2$: $3x^2 = 1 + 2y \implies x^2 = \frac{1+2y}{3}$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2 \cdot \frac{1+2y}{3} - y^2 = 1$
Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$2(1+2y) - 3y^2 = 3$
$2 + 4y - 3y^2 - 3 = 0$
$-3y^2 + 4y - 1 = 0$
$3y^2 - 4y + 1 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения относительно $y$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.
$y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$.
$y_1 = \frac{4+2}{6} = 1$.
$y_2 = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 1$: $x^2 = \frac{1+2 \cdot 1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \implies x = \pm 1$. Получаем две пары решений: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.
При $y_2 = \frac{1}{3}$: $x^2 = \frac{1+2 \cdot (1/3)}{3} = \frac{1+2/3}{3} = \frac{5/3}{3} = \frac{5}{9} \implies x = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$. Получаем еще две пары решений: $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$ и $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$.
Ответ: $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$, $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$.

г)$\begin{cases}3x^2 + 2y^2 = 11 \\x + 2y = 3\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = 3 - 2y$.
Подставим в первое уравнение:
$3(3 - 2y)^2 + 2y^2 = 11$
$3(9 - 12y + 4y^2) + 2y^2 = 11$
$27 - 36y + 12y^2 + 2y^2 = 11$
$14y^2 - 36y + 27 - 11 = 0$
$14y^2 - 36y + 16 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$7y^2 - 18y + 8 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 8 = 324 - 224 = 100$.
$y_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{18 \pm 10}{14}$.
$y_1 = \frac{18+10}{14} = \frac{28}{14} = 2$.
$y_2 = \frac{18-10}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 2$, $x_1 = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1$.
При $y_2 = \frac{4}{7}$, $x_2 = 3 - 2 \cdot \frac{4}{7} = 3 - \frac{8}{7} = \frac{21-8}{7} = \frac{13}{7}$.
Ответ: $(-1, 2)$, $(\frac{13}{7}, \frac{4}{7})$.

д)$\begin{cases}x^2 + y^2 = 100 \\3x = 4y\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = \frac{4y}{3}$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(\frac{4y}{3})^2 + y^2 = 100$
$\frac{16y^2}{9} + y^2 = 100$
$\frac{16y^2 + 9y^2}{9} = 100$
$\frac{25y^2}{9} = 100$
$25y^2 = 900$
$y^2 = \frac{900}{25} = 36$
$y = \pm 6$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 6$, $x_1 = \frac{4 \cdot 6}{3} = \frac{24}{3} = 8$.
При $y_2 = -6$, $x_2 = \frac{4 \cdot (-6)}{3} = \frac{-24}{3} = -8$.
Ответ: $(8, 6)$, $(-8, -6)$.

е)$\begin{cases}2x^2 - y^2 = 32 \\2x - y = 8\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 2x - 8$.
Подставим в первое уравнение:
$2x^2 - (2x - 8)^2 = 32$
$2x^2 - (4x^2 - 32x + 64) = 32$
$2x^2 - 4x^2 + 32x - 64 = 32$
$-2x^2 + 32x - 96 = 0$
Разделим все уравнение на -2:
$x^2 - 16x + 48 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета. Сумма корней $x_1+x_2=16$, произведение корней $x_1 \cdot x_2=48$. Подбором находим корни: $x_1=4$ и $x_2=12$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 12$, $y_1 = 2 \cdot 12 - 8 = 24 - 8 = 16$.
При $x_2 = 4$, $y_2 = 2 \cdot 4 - 8 = 8 - 8 = 0$.
Ответ: $(12, 16)$, $(4, 0)$.

707. Решите систему уравнений, используя способ сложения или подстановки:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{l}2x^2+y^2=9\\ x^2-y^2=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x^2=12\\ x^2-y^2=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}^2=4\\ 4-y^2=3\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}^2=4\\ y^2=1\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}{x}_1=2\text{ или }{x}_2=-2\\ y_1=1\text{ или }{y}_2=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2;-1)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{l}2x^2-xy=33\\ 4x-y=17\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=4x-17\\ 2x^2-x\left(4x-17\right)=33\end{array}\right. \\ 2x^2-4x^2+17x-33=0 \\ -2x^2+17x-33=0 \\ D=17^2-4·\left(-2\right)·\left(-33\right)=289-264=25 \\ x=\frac{-17\pm \sqrt{25}}{-4}, x=\frac{-17\pm 5}{-4} \\ {x}_1=3; x_2=\frac{22}{4}=\frac{11}{2}=5.5 \end{gathered}$$

Если $x=3x\; =\; 3$, то $y=4·3-17=12-17=-5y\; =\; 4\; \backslash cdot\; 3\; -\; 17\; =\; 12\; -\; 17\; =\; -5$,

Если $x=5,5$, то $y=4·5,5-17=5$

Ответ: (3;-5), (5,5;5)

$\mathbf{\text{в) }}\left\{\begin{array}{l}3x^2-2y=1\\ 2x^2-y^2=1\end{array}\right.$

Аналогичная система решена в №706 (в).

Можно предложить 2-й способ решения: способ сложения

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3x^2-2y=1 /·2\\ 2x^2-y^2=1 /·(-3)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6x^2-4y=2\\ -6x^2+3y^2=-3\end{array}\right. \\ 3y^2-4y=-1 \\ 3y^2-4y+1=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·3·1=16-12=4 \\ y=\frac{4\pm \sqrt{4}}{6}; y=\frac{4\pm 2}{6} \\ {y}_1=1; y_2=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Если $y=1y\; =\; 1$, то $$\begin{gathered} 2x^2-1^2=1; 2x^2-1=1; 2x^2=2 \\ {x}^2=1; x=1\text{ или }x=-1 \end{gathered}$$

Если $y={\displaystyle \frac{1}{3}}y\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$, то

$$\begin{gathered} 2x^2-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1; 2x^2-\frac{1}{9}=1; 2x^2=1\frac{1}{9} \\ {x}^2=\frac{10}{9·2}; x^2=\frac{5}{9}; x_1=\frac{\sqrt{5}}{3}\text{ или }{x}_2=-\frac{\sqrt{5}}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(1,1\right), \left(-1,1\right), \left(\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{1}{3}\right), \left(-\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{1}{3}\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \left\{\begin{array}{l}x-y-4=0\\ x^2+y^2=8,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x-y=4\\ x^2+y^2=8,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=4+y\\ {\left(4+y\right)}^2+y^2=8,5\end{array}\right. \\ {\left(4+y\right)}^2+y^2=8,5 \\ 16+8y+y^2+y^2-8,5=0 \\ 2y^2+8y+7,5=0 \\ D=8^2-4·2·7,5=64-60=4 \\ y=\frac{-8\pm \sqrt{4}}{4}; y=\frac{-8\pm 2}{4} \\ {y}_1=\frac{-6}{4}=-1,5; y_2=\frac{-10}{4}=-2,5 \end{gathered}$$

Если $y=-1,5y\; =\; -1,5$, то $x=4+\left(-1,5\right)=2,5x\; =\; 4\; +\; (-1,5)\; =\; 2,5$,

Если $y=-2,5y\; =\; -2,5$, то $x=4+\left(-2,5\right)=1,5x\; =\; 4\; +\; (-2,5)\; =\; 1,5$

Ответ: $\left(2,5;-1,5\right), \left(1,5;-2,5\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} \left\{\begin{array}{l}{x}^2+4y=10\\ x-2y=-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-5+2y\\ {\left(2y-5\right)}^2+4y=10\end{array}\right. \\ {\left(2y-5\right)}^2+4y=10 \\ 4y^2-20y+25+4y=10 \\ 4y^2-16y+25-10=0 \\ 4y^2-16y+15=0 \\ D={\left(-16\right)}^2-4·4·15=256-240=16 \\ y=\frac{16\pm \sqrt{16}}{8}, y=\frac{16\pm 4}{8} \\ {y}_1=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}=2,5; y_2=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1,5 \end{gathered}$$

Если $y=2,5y\; =\; 2,5$, то $x=2·2,5-5=0x\; =\; 2\; \backslash cdot\; 2,5\; -\; 5\; =\; 0$,

Если $y=1,5y\; =\; 1,5$, то $x=2·1,5-5=-2x\; =\; 2\; \backslash cdot\; 1,5\; -\; 5\; =\; -2$

Ответ: $\left(0;2,5\right), \left(-2;1,5\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} \left\{\begin{array}{l}x-2y+1=0\\ 5xy+y^2=16\end{array}\left\{\begin{array}{l}x-2y=-1\\ 5xy+y^2=16\end{array}\right.\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2y-1\\ 5y\left(2y-1\right)+y^2=16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2y-1\\ 10y^2-5y+y^2=16\end{array}\right. \\ 11y^2-5y-16=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·11·\left(-16\right)=25+704=729 \\ y=\frac{5\pm \sqrt{729}}{22}; y=\frac{5\pm 27}{22} \\ {y}_1=\frac{32}{22}=\frac{16}{11}=1\frac{5}{11}; y_2=-1 \end{gathered}$$

Если $y={\displaystyle \frac{16}{11}}y\; =\; \backslash frac\{16\}\{11\}$, то $x=2·{\displaystyle \frac{16}{11}}-1={\displaystyle \frac{32}{11}}-1={\displaystyle \frac{21}{11}}={\displaystyle \frac{20}{11}}x\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{16\}\{11\}\; -\; 1\; =\; \backslash frac\{32\}\{11\}\; -\; 1\; =\; \backslash frac\{21\}\{11\}\; =\; \backslash frac\{20\}\{11\}$

Если $y=-1y\; =\; -1$, то $x=2·\left(-1\right)-1=-2-1=-3x\; =\; 2\; \backslash cdot\; (-1)\; -\; 1\; =\; -2\; -\; 1\; =\; -3$

Ответ: $\left(1\frac{10}{11}; 1\frac{5}{11}\right), \left(-3;-1\right)$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9, \\ x^2 - y^2 = 3; \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части уравнений системы:
$(2x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 9 + 3$
$3x^2 = 12$

Отсюда находим $x^2$:
$x^2 = \frac{12}{3} = 4$
Это дает два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Подставим найденное значение $x^2 = 4$ во второе уравнение системы $x^2 - y^2 = 3$, чтобы найти $y$:
$4 - y^2 = 3$
$y^2 = 4 - 3$
$y^2 = 1$
Это дает два значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Комбинируя найденные значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x^2 - xy = 33, \\ 4x - y = 17; \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 4x - 17$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$2x^2 - x(4x - 17) = 33$
$2x^2 - 4x^2 + 17x = 33$
$-2x^2 + 17x - 33 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$2x^2 - 17x + 33 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 33 = 289 - 264 = 25 = 5^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 5}{4} = \frac{22}{4} = 5,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 4x - 17$:
При $x_1 = 5,5$: $y_1 = 4 \cdot 5,5 - 17 = 22 - 17 = 5$.
При $x_2 = 3$: $y_2 = 4 \cdot 3 - 17 = 12 - 17 = -5$.

Ответ: $(5,5; 5)$, $(3; -5)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x^2 - 2y = 1, \\ 2x^2 - y^2 = 1; \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$2y = 3x^2 - 1 \implies y = \frac{3x^2 - 1}{2}$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$2x^2 - \left(\frac{3x^2 - 1}{2}\right)^2 = 1$
$2x^2 - \frac{9x^4 - 6x^2 + 1}{4} = 1$
Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$8x^2 - (9x^4 - 6x^2 + 1) = 4$
$8x^2 - 9x^4 + 6x^2 - 1 = 4$
$-9x^4 + 14x^2 - 5 = 0$
$9x^4 - 14x^2 + 5 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $u = x^2$ (где $u \ge 0$):
$9u^2 - 14u + 5 = 0$
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 196 - 180 = 16 = 4^2$
$u_1 = \frac{14 + 4}{18} = \frac{18}{18} = 1$
$u_2 = \frac{14 - 4}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

Оба значения $u$ положительны, поэтому возвращаемся к переменной $x$:
1) $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Найдем $y$: $y = \frac{3(1) - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем решения $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.
2) $x^2 = \frac{5}{9} \implies x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$. Найдем $y$: $y = \frac{3(\frac{5}{9}) - 1}{2} = \frac{\frac{5}{3} - 1}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$. Получаем решения $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$ и $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$, $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y - 4 = 0, \\ x^2 + y^2 = 8,5; \end{cases} $$

Решим методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = y + 4$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$(y + 4)^2 + y^2 = 8,5$
$y^2 + 8y + 16 + y^2 = 8,5$
$2y^2 + 8y + 16 - 8,5 = 0$
$2y^2 + 8y + 7,5 = 0$
Умножим уравнение на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:
$4y^2 + 16y + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $y$:
$D = 16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 - 240 = 16 = 4^2$
$y_1 = \frac{-16 + 4}{8} = \frac{-12}{8} = -1,5$
$y_2 = \frac{-16 - 4}{8} = \frac{-20}{8} = -2,5$

Найдем соответствующие значения $x$ из $x = y + 4$:
При $y_1 = -1,5$: $x_1 = -1,5 + 4 = 2,5$.
При $y_2 = -2,5$: $x_2 = -2,5 + 4 = 1,5$.

Ответ: $(2,5; -1,5)$, $(1,5; -2,5)$.

д)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 4y = 10, \\ x - 2y = -5; \end{cases} $$

Применим метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 2y - 5$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$(2y - 5)^2 + 4y = 10$
$4y^2 - 20y + 25 + 4y = 10$
$4y^2 - 16y + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $y$:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 - 240 = 16 = 4^2$
$y_1 = \frac{16 + 4}{8} = \frac{20}{8} = 2,5$
$y_2 = \frac{16 - 4}{8} = \frac{12}{8} = 1,5$

Найдем соответствующие значения $x$ из $x = 2y - 5$:
При $y_1 = 2,5$: $x_1 = 2 \cdot 2,5 - 5 = 5 - 5 = 0$.
При $y_2 = 1,5$: $x_2 = 2 \cdot 1,5 - 5 = 3 - 5 = -2$.

Ответ: $(0; 2,5)$, $(-2; 1,5)$.

е)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y + 1 = 0, \\ 5xy + y^2 = 16; \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 2y - 1$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$5(2y - 1)y + y^2 = 16$
$10y^2 - 5y + y^2 = 16$
$11y^2 - 5y - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $y$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-16) = 25 + 704 = 729 = 27^2$
$y_1 = \frac{5 + 27}{22} = \frac{32}{22} = \frac{16}{11}$
$y_2 = \frac{5 - 27}{22} = \frac{-22}{22} = -1$

Найдем соответствующие значения $x$ из $x = 2y - 1$:
При $y_1 = \frac{16}{11}$: $x_1 = 2 \cdot \frac{16}{11} - 1 = \frac{32}{11} - \frac{11}{11} = \frac{21}{11}$.
При $y_2 = -1$: $x_2 = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$.

Ответ: $(\frac{21}{11}, \frac{16}{11})$, $(-3, -1)$.

708. Решите систему уравнений:

$\mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{l}2x+4y=5\left(x-y\right)\\ x^2-y^2=6\end{array}\left\{\begin{array}{l}2x+4y=5x-5y\\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=6\end{array}\right.\right.$$\left\{\begin{array}{l}2x+4y-5x+5y=0\\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=6\end{array}\left\{\begin{array}{l}9y-3x=0 /:3\\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=6\end{array}\right.\right.$$\left\{\begin{array}{l}3y-x=0\\ x^2-y^2=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3y\\ {\left(3y\right)}^2-y^2=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3y\\ 8y^2=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3y\\ y^2=\frac{6}{8}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=3y\\ y^2=\frac{3}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3y\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ или }y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$

Если $y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}y\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$, то $x=3·\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2},$

Если $y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}y\; =\; -\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$, то $x=-3·{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}x\; =\; -3\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\; =\; -\backslash frac\{3\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$

Ответ: $\left({\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)(\backslash frac\{3\backslash sqrt\{3\}\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\})$, $\left(-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)(-\backslash frac\{3\backslash sqrt\{3\}\}\{2\},\; -\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\})$

$\mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{l}u-v=6\left(u+v\right)\\ u^2-v^2=6\end{array}\left\{\begin{array}{l}u-v=6\left(u+v\right)\\ \left(u-v\right)\left(u+v\right)=6\end{array}\right.\right.$$\left\{\begin{array}{l}u-v=6\left(u+v\right)\\ 6\left(u+v\right)\left(u+v\right)=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}u-v=6\left(u+v\right)\\ 6{\left(u+v\right)}^2=6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}u-v=6\left(u+v\right)\\ {\left(u+v\right)}^2=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}u+v=1\text{ или }u+v=-1\\ u-v=6\text{ или }u-v=-6\end{array}\right.$

$\begin{array}{lcl}\left\{\begin{array}{l}2u=7\\ u+v=1\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{l}2u=-7\\ u+v=-1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}u=3,5\\ 3,5+v=1\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}u=-3,5\\ -3,5+v=-1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}u=3,5\\ v=-2,5\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}u=-3,5\\ v=2,5\end{array}\right.\end{array}$

Ответ: $\left(3,5;-2,5\right)$, $\left(-3,5; 2,5\right)$

а) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 4y = 5(x - y) \\ x^2 - y^2 = 6 \end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$2x + 4y = 5x - 5y$

$4y + 5y = 5x - 2x$

$9y = 3x$

Отсюда выразим $x$ через $y$:

$x = 3y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(3y)^2 - y^2 = 6$

$9y^2 - y^2 = 6$

$8y^2 = 6$

$y^2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y_2 = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя соотношение $x = 3y$:

Если $y_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $x_1 = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Если $y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $x_2 = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, система имеет две пары решений.

Ответ: $(\frac{3\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

б) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} u - v = 6(u + v) \\ u^2 - v^2 = 6 \end{cases}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для второго уравнения:

$(u - v)(u + v) = 6$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $(u - v)$ из первого уравнения системы, то есть $u - v = 6(u + v)$:

$6(u + v) \cdot (u + v) = 6$

$6(u + v)^2 = 6$

Разделим обе части на 6:

$(u + v)^2 = 1$

Это уравнение распадается на два случая:

1. $u + v = 1$

2. $u + v = -1$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $u + v = 1$.

Подставив это в первое уравнение исходной системы, получим: $u - v = 6(1)$, то есть $u - v = 6$. Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} u + v = 1 \\ u - v = 6 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(u + v) + (u - v) = 1 + 6$, что дает $2u = 7$, откуда $u = \frac{7}{2}$.

Подставим найденное значение $u$ в уравнение $u + v = 1$: $\frac{7}{2} + v = 1$, откуда $v = 1 - \frac{7}{2} = \frac{2}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}$.

Первая пара решений: $(\frac{7}{2}; -\frac{5}{2})$.

Случай 2: $u + v = -1$.

Подставив это в первое уравнение исходной системы, получим: $u - v = 6(-1)$, то есть $u - v = -6$. Получаем систему:

$\begin{cases} u + v = -1 \\ u - v = -6 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(u + v) + (u - v) = -1 + (-6)$, что дает $2u = -7$, откуда $u = -\frac{7}{2}$.

Подставим найденное значение $u$ в уравнение $u + v = -1$: $-\frac{7}{2} + v = -1$, откуда $v = -1 + \frac{7}{2} = -\frac{2}{2} + \frac{7}{2} = \frac{5}{2}$.

Вторая пара решений: $(-\frac{7}{2}; \frac{5}{2})$.

Ответ: $(\frac{7}{2}; -\frac{5}{2})$, $(-\frac{7}{2}; \frac{5}{2})$.

709. Решите систему уравнений сначала графическим способом, а затем аналитическим.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}y=0,5x^2-2\\ y-x=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=0,5x^2-2\text{ - парабола}\\ y=x+2\text{ - прямая}\end{array}\right. \\ y=0,5x^2-2 \end{gathered}$$

y=x+2

(-2;0), (4;6)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}y=0,5x^2-2\\ y-x=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}0,5x^2-2-x=2\\ y-x=2\end{array}\right. \\ 0,5x^2-x-4=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·0,5·\left(-4\right)=1+8=9 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{9}}{1}; x=\frac{1\pm 3}{1} \\ {x}_1=4; x_2=-2 \end{gathered}$$

Если x=4, то y-4=2, y=6,

если x=-2, то y-(-2)=2; y=0

Ответ: (4;6), (-2;0)

сначала графическим способом

Решение системы уравнений графическим способом заключается в построении графиков каждой функции в одной системе координат и нахождении координат точек их пересечения.

1. Построим график первого уравнения $y = 0.5x^2 - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Коэффициент $a=0.5$ означает, что парабола будет "шире", чем стандартная парабола $y = x^2$. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -b/(2a) = 0/(2 \cdot 0.5) = 0$. Ордината вершины $y_v = 0.5 \cdot 0^2 - 2 = -2$. Итак, вершина находится в точке $(0, -2)$. Найдем еще несколько точек для построения:
при $x = 2$, $y = 0.5 \cdot 2^2 - 2 = 0$; точка $(2, 0)$.
при $x = -2$, $y = 0.5 \cdot (-2)^2 - 2 = 0$; точка $(-2, 0)$.
при $x = 4$, $y = 0.5 \cdot 4^2 - 2 = 8 - 2 = 6$; точка $(4, 6)$.
при $x = -4$, $y = 0.5 \cdot (-4)^2 - 2 = 8 - 2 = 6$; точка $(-4, 6)$.

2. Построим график второго уравнения $y - x = 2$. Преобразуем его к виду $y = x + 2$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:
при $x = 0$, $y = 0 + 2 = 2$; точка $(0, 2)$.
при $x = -2$, $y = -2 + 2 = 0$; точка $(-2, 0)$.

3. Построим параболу и прямую в одной системе координат. Точки, в которых графики пересекаются, и будут решениями системы. Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках с координатами $(-2, 0)$ и $(4, 6)$.

Ответ: $(-2, 0), (4, 6)$.

а затем аналитическим

Для решения системы аналитическим способом применим метод подстановки.

Исходная система: $$ \begin{cases} y = 0.5x^2 - 2 \\ y - x = 2 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим y: $y = x + 2$.

Подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:
$x + 2 = 0.5x^2 - 2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$0.5x^2 - x - 2 - 2 = 0$
$0.5x^2 - x - 4 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 2:
$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные значения x в уравнение $y = x + 2$:
Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 4 + 2 = 6$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 2 = 0$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(-2, 0)$ и $(4, 6)$.

Ответ: $(-2, 0), (4, 6)$.

710. Решите систему уравнений:

а) $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+3xy=-1\\ x+2y=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-2y\\ {\left(-2y\right)}^2+y^2+3y·\left(-2y\right)=-1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=-2y\\ 4y^2+y^2-6y^2=-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-2y\\ -y^2=-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-2y\\ y^2=1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=-2y\\ y=1\text{ или }y=-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=1\\ x=-2\end{array}\right.\text{ или }\left\{\begin{array}{l}y=-1\\ x=2\end{array}\right.$

Ответ: (-2;1), (2;-1)

б) $\left\{\begin{array}{l}u+2v=4\\ u^2+uv-v=-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}u=4-2v\\ {\left(4-2v\right)}^2+\left(4-2v\right)v-v=-5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}u=4-2v\\ 16-16v+4v^2+4v-2v^2-v=-5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}u=4-2v\\ 2v^2-13v+16+5=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}u=4-2v\\ 2v^2-13v+21=0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 2v^2-13v+21=0 \\ D={\left(-13\right)}^2-4·2·21=169-168=1 \\ v=\frac{13\pm 1}{4}; v_1=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}; v_2=3 \end{gathered}$$

Если $v={\displaystyle \frac{7}{2}}v=\backslash frac\{7\}\{2\}$, то $u=4-2·\frac{7}{2}=4-7=-3,$

если $v=3v=3$, то $u=4-2·3=4-6=-2u\; =\; 4-2\; \backslash cdot\; 3\; =\; 4-6\; =\; -2$

Ответ: (-3; 3,5), (-2;3)

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0; \end{cases} $$

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Из второго, более простого, уравнения выразим переменную $x$ через $y$.

$x + 2y = 0 \implies x = -2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(-2y)^2 + y^2 + 3(-2y)y = -1$

Упростим полученное уравнение, раскрыв скобки и возведя в степень:

$4y^2 + y^2 - 6y^2 = -1$

Приведем подобные члены в левой части уравнения:

$(4 + 1 - 6)y^2 = -1$

$-y^2 = -1$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$y^2 = 1$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя ранее полученное выражение $x = -2y$.

1. При $y_1 = 1$ получаем:

$x_1 = -2 \cdot 1 = -2$

Таким образом, первая пара решений: $(-2, 1)$.

2. При $y_2 = -1$ получаем:

$x_2 = -2 \cdot (-1) = 2$

Таким образом, вторая пара решений: $(2, -1)$.

Ответ: $(-2, 1)$, $(2, -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} u + 2v = 4, \\ u^2 + uv - v = -5. \end{cases} $$

Решим данную систему также методом подстановки. Из первого линейного уравнения выразим переменную $u$ через $v$.

$u + 2v = 4 \implies u = 4 - 2v$

Подставим это выражение для $u$ во второе, квадратное, уравнение системы:

$(4 - 2v)^2 + (4 - 2v)v - v = -5$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$(16 - 16v + 4v^2) + (4v - 2v^2) - v = -5$

Приведем подобные члены, группируя слагаемые с одинаковыми степенями $v$:

$(4v^2 - 2v^2) + (-16v + 4v - v) + 16 = -5$

$2v^2 - 13v + 16 = -5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $av^2 + bv + c = 0$:

$2v^2 - 13v + 16 + 5 = 0$

$2v^2 - 13v + 21 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $v$ с помощью формулы корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a = 2$, $b = -13$, $c = 21$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 - 168 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm 1}{4}$

Первый корень:

$v_1 = \frac{13 + 1}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$

Второй корень:

$v_2 = \frac{13 - 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $u$ для каждого найденного значения $v$, используя выражение $u = 4 - 2v$.

1. При $v_1 = 3.5$ получаем:

$u_1 = 4 - 2 \cdot 3.5 = 4 - 7 = -3$

Таким образом, первая пара решений: $(-3, 3.5)$.

2. При $v_2 = 3$ получаем:

$u_2 = 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$

Таким образом, вторая пара решений: $(-2, 3)$.

Ответ: $(-3; 3,5)$, $(-2, 3)$.

711. Решите систему уравнений:

$\mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{l}x-y=5\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6} /·6xy\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5+y\\ 6y+6x=xy\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=5+y\\ 6y+6\left(5+y\right)=\left(5+y\right)y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5+y\\ 6y+30+6y=5y+y^2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=5+y\\ y^2+5y-12y-30=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5+y\\ y^2-7y-30=0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} D={\left(-7\right)}^2-4·1·\left(-30\right)=49+120=169 \\ y=\frac{7\pm \sqrt{169}}{2}; y=\frac{7\pm 13}{2} \\ {y}_1=10; y_2=-3 \end{gathered}$$

Если $y=10y=10$, то $x=5+10=15,$

Если $y=-3y=-3$, то $x=5+\left(-3\right)=2x\; =\; 5\; +\; (-3)\; =\; 2$

Ответ: $\left(15; 10\right), \left(2;-3\right)$

$\mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{l}x+y=6\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{4} /·4xy\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=6-y\\ 4y-4x=xy\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=6-y\\ 4y-4\left(6-y\right)=y\left(6-y\right)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=6-y\\ 4y-24+4y=6y-y^2\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} y^2+8y-6y-24=0 \\ {y}^2+2y-24=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-24\right)=4+96=100 \\ y=\frac{-2\pm \sqrt{100}}{2}; y=\frac{-2\pm 10}{2} \\ {y}_1=4; y_2=-6 \end{gathered}$$

Если $y=4y\; =\; 4$, то $x=6-4=2x\; =\; 6\; -\; 4\; =\; 2$,

Если $y=-6y\; =\; -6$, то $x=6-\left(-6\right)=12x\; =\; 6\; -\; (-6)\; =\; 12$

Ответ: $\left(2;4\right), \left(12;-6\right)$

$\mathbf{\text{в)}} \left\{\begin{array}{l}3x+y=1\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-2,5 /·xy\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=1-3x\\ y+x=-2,5xy\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=1-3x\\ 1-3x+x=-2,5x\left(1-3x\right)\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 1-2x=-2,5x+7,5x^2 \\ 7,5x^2-0,5x-1=0 /·10 \\ 75x^2-5x-10=0 /:5 \\ 15x^2-x-2=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·15·\left(-2\right)=1+120=121 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{121}}{30}; x=\frac{1\pm 11}{30} \\ {x}_1=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}; x_2=-\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Если $x={\displaystyle \frac{2}{5}}x\; =\; \backslash frac\{2\}\{5\}$, то $y=1-3·\frac{2}{5}=1-\frac{6}{5}=-\frac{1}{5},$

Если $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x\; =\; -\backslash frac\{1\}\{3\}$, то $y=1-3·\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=1+1=2y\; =\; 1\; -\; 3\backslash cdot(-\backslash frac\{1\}\{3\})\; =\; 1\; +\; 1\; =\; 2$

Ответ: $\left(\frac{2}{5};-\frac{1}{5}\right), \left(-\frac{1}{3};2\right)$

$\mathbf{\text{г)}} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{3} /·3xy\\ x-2y=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x-3y=xy\\ x=2+2y\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3\left(2+2y\right)-3y=y\left(2+2y\right)\\ x=2+2y\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 6+6y-3y=2y+2y^2 \\ 2y^2+2y-3y-6=0 \\ 2y^2-y-6=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·2·\left(-6\right)=1+48=49 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{49}}{4}; y=\frac{1\pm 7}{4} \\ {y}_1=2; y_2=-1,5 \end{gathered}$$

Если $y=2y\; =\; 2$, то $x=2+2·2=6x\; =\; 2\; +\; 2\backslash cdot2\; =\; 6$

Если $y=-1,5$, то $x=2+2·\left(-1,5\right)=2-3=-1$

Ответ: $\left(6;2\right), \left(-1;-1,5\right)$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, y \neq 0$.

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = y + 5$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\frac{1}{y+5} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{y + (y+5)}{y(y+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2y+5}{y^2+5y} = \frac{1}{6}$

По свойству пропорции (перекрестное умножение):

$6(2y+5) = 1(y^2+5y)$

$12y + 30 = y^2 + 5y$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 + 5y - 12y - 30 = 0$

$y^2 - 7y - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-30$, а их сумма равна $7$. Корни: $y_1 = 10$ и $y_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня $y$:

1. При $y_1 = 10$, $x_1 = 10 + 5 = 15$.

2. При $y_2 = -3$, $x_2 = -3 + 5 = 2$.

Получаем две пары решений: $(15, 10)$ и $(2, -3)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(15; 10)$, $(2; -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y = 1 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -2,5 \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 1 - 3x$.

Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{1-3x} = -2,5$

Представим $-2,5$ в виде дроби $-\frac{5}{2}$ и приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{1-3x+x}{x(1-3x)} = -\frac{5}{2}$

$\frac{1-2x}{x-3x^2} = -\frac{5}{2}$

По свойству пропорции:

$2(1-2x) = -5(x-3x^2)$

$2 - 4x = -5x + 15x^2$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$15x^2 - 5x + 4x - 2 = 0$

$15x^2 - x - 2 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

Корни $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 11}{2 \cdot 15} = \frac{1 \pm 11}{30}$.

$x_1 = \frac{1+11}{30} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$.

$x_2 = \frac{1-11}{30} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3}$.

Найдем соответствующие значения $y$:

1. При $x_1 = \frac{2}{5}$, $y_1 = 1 - 3(\frac{2}{5}) = 1 - \frac{6}{5} = -\frac{1}{5}$.

2. При $x_2 = -\frac{1}{3}$, $y_2 = 1 - 3(-\frac{1}{3}) = 1 + 1 = 2$.

Получаем две пары решений: $(\frac{2}{5}; -\frac{1}{5})$ и $(-\frac{1}{3}; 2)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(\frac{2}{5}; -\frac{1}{5})$, $(-\frac{1}{3}; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 6 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 6 - y$.

Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{6-y} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{y - (6-y)}{y(6-y)} = \frac{1}{4}$

$\frac{2y-6}{6y-y^2} = \frac{1}{4}$

По свойству пропорции:

$4(2y-6) = 6y-y^2$

$8y - 24 = 6y - y^2$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$y^2 + 8y - 6y - 24 = 0$

$y^2 + 2y - 24 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета: произведение корней равно $-24$, сумма равна $-2$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -6$.

Найдем соответствующие значения $x$:

1. При $y_1 = 4$, $x_1 = 6 - 4 = 2$.

2. При $y_2 = -6$, $x_2 = 6 - (-6) = 12$.

Получаем две пары решений: $(2; 4)$ и $(12; -6)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2; 4)$, $(12; -6)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{3} \\ x - 2y = 2 \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 2 + 2y$.

Подставим в первое уравнение:

$\frac{1}{y} - \frac{1}{2+2y} = \frac{1}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{2+2y-y}{y(2+2y)} = \frac{1}{3}$

$\frac{y+2}{2y^2+2y} = \frac{1}{3}$

По свойству пропорции:

$3(y+2) = 2y^2+2y$

$3y + 6 = 2y^2 + 2y$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$2y^2 - y - 6 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

Корни $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4}$.

$y_1 = \frac{1+7}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$y_2 = \frac{1-7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

1. При $y_1 = 2$, $x_1 = 2 + 2(2) = 6$.

2. При $y_2 = -\frac{3}{2}$, $x_2 = 2 + 2(-\frac{3}{2}) = 2 - 3 = -1$.

Получаем две пары решений: $(6; 2)$ и $(-1; -\frac{3}{2})$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(6; 2)$, $(-1; -1,5)$.