Номер 711, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 711, страница 168.

711. Решите систему уравнений:

$\mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{l}x-y=5\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6} /·6xy\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5+y\\ 6y+6x=xy\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=5+y\\ 6y+6\left(5+y\right)=\left(5+y\right)y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5+y\\ 6y+30+6y=5y+y^2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=5+y\\ y^2+5y-12y-30=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5+y\\ y^2-7y-30=0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} D={\left(-7\right)}^2-4·1·\left(-30\right)=49+120=169 \\ y=\frac{7\pm \sqrt{169}}{2}; y=\frac{7\pm 13}{2} \\ {y}_1=10; y_2=-3 \end{gathered}$$

Если $y=10y=10$, то $x=5+10=15,$

Если $y=-3y=-3$, то $x=5+\left(-3\right)=2x\; =\; 5\; +\; (-3)\; =\; 2$

Ответ: $\left(15; 10\right), \left(2;-3\right)$

$\mathbf{\text{б)}} \left\{\begin{array}{l}x+y=6\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{4} /·4xy\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=6-y\\ 4y-4x=xy\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=6-y\\ 4y-4\left(6-y\right)=y\left(6-y\right)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=6-y\\ 4y-24+4y=6y-y^2\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} y^2+8y-6y-24=0 \\ {y}^2+2y-24=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-24\right)=4+96=100 \\ y=\frac{-2\pm \sqrt{100}}{2}; y=\frac{-2\pm 10}{2} \\ {y}_1=4; y_2=-6 \end{gathered}$$

Если $y=4y\; =\; 4$, то $x=6-4=2x\; =\; 6\; -\; 4\; =\; 2$,

Если $y=-6y\; =\; -6$, то $x=6-\left(-6\right)=12x\; =\; 6\; -\; (-6)\; =\; 12$

Ответ: $\left(2;4\right), \left(12;-6\right)$

$\mathbf{\text{в)}} \left\{\begin{array}{l}3x+y=1\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-2,5 /·xy\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=1-3x\\ y+x=-2,5xy\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=1-3x\\ 1-3x+x=-2,5x\left(1-3x\right)\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 1-2x=-2,5x+7,5x^2 \\ 7,5x^2-0,5x-1=0 /·10 \\ 75x^2-5x-10=0 /:5 \\ 15x^2-x-2=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·15·\left(-2\right)=1+120=121 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{121}}{30}; x=\frac{1\pm 11}{30} \\ {x}_1=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}; x_2=-\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Если $x={\displaystyle \frac{2}{5}}x\; =\; \backslash frac\{2\}\{5\}$, то $y=1-3·\frac{2}{5}=1-\frac{6}{5}=-\frac{1}{5},$

Если $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x\; =\; -\backslash frac\{1\}\{3\}$, то $y=1-3·\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=1+1=2y\; =\; 1\; -\; 3\backslash cdot(-\backslash frac\{1\}\{3\})\; =\; 1\; +\; 1\; =\; 2$

Ответ: $\left(\frac{2}{5};-\frac{1}{5}\right), \left(-\frac{1}{3};2\right)$

$\mathbf{\text{г)}} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{3} /·3xy\\ x-2y=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x-3y=xy\\ x=2+2y\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3\left(2+2y\right)-3y=y\left(2+2y\right)\\ x=2+2y\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 6+6y-3y=2y+2y^2 \\ 2y^2+2y-3y-6=0 \\ 2y^2-y-6=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·2·\left(-6\right)=1+48=49 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{49}}{4}; y=\frac{1\pm 7}{4} \\ {y}_1=2; y_2=-1,5 \end{gathered}$$

Если $y=2y\; =\; 2$, то $x=2+2·2=6x\; =\; 2\; +\; 2\backslash cdot2\; =\; 6$

Если $y=-1,5$, то $x=2+2·\left(-1,5\right)=2-3=-1$

Ответ: $\left(6;2\right), \left(-1;-1,5\right)$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, y \neq 0$.

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = y + 5$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\frac{1}{y+5} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{y + (y+5)}{y(y+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2y+5}{y^2+5y} = \frac{1}{6}$

По свойству пропорции (перекрестное умножение):

$6(2y+5) = 1(y^2+5y)$

$12y + 30 = y^2 + 5y$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 + 5y - 12y - 30 = 0$

$y^2 - 7y - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-30$, а их сумма равна $7$. Корни: $y_1 = 10$ и $y_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня $y$:

1. При $y_1 = 10$, $x_1 = 10 + 5 = 15$.

2. При $y_2 = -3$, $x_2 = -3 + 5 = 2$.

Получаем две пары решений: $(15, 10)$ и $(2, -3)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(15; 10)$, $(2; -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y = 1 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -2,5 \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 1 - 3x$.

Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{1-3x} = -2,5$

Представим $-2,5$ в виде дроби $-\frac{5}{2}$ и приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{1-3x+x}{x(1-3x)} = -\frac{5}{2}$

$\frac{1-2x}{x-3x^2} = -\frac{5}{2}$

По свойству пропорции:

$2(1-2x) = -5(x-3x^2)$

$2 - 4x = -5x + 15x^2$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$15x^2 - 5x + 4x - 2 = 0$

$15x^2 - x - 2 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

Корни $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 11}{2 \cdot 15} = \frac{1 \pm 11}{30}$.

$x_1 = \frac{1+11}{30} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$.

$x_2 = \frac{1-11}{30} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3}$.

Найдем соответствующие значения $y$:

1. При $x_1 = \frac{2}{5}$, $y_1 = 1 - 3(\frac{2}{5}) = 1 - \frac{6}{5} = -\frac{1}{5}$.

2. При $x_2 = -\frac{1}{3}$, $y_2 = 1 - 3(-\frac{1}{3}) = 1 + 1 = 2$.

Получаем две пары решений: $(\frac{2}{5}; -\frac{1}{5})$ и $(-\frac{1}{3}; 2)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(\frac{2}{5}; -\frac{1}{5})$, $(-\frac{1}{3}; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 6 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 6 - y$.

Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{6-y} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{y - (6-y)}{y(6-y)} = \frac{1}{4}$

$\frac{2y-6}{6y-y^2} = \frac{1}{4}$

По свойству пропорции:

$4(2y-6) = 6y-y^2$

$8y - 24 = 6y - y^2$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$y^2 + 8y - 6y - 24 = 0$

$y^2 + 2y - 24 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета: произведение корней равно $-24$, сумма равна $-2$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -6$.

Найдем соответствующие значения $x$:

1. При $y_1 = 4$, $x_1 = 6 - 4 = 2$.

2. При $y_2 = -6$, $x_2 = 6 - (-6) = 12$.

Получаем две пары решений: $(2; 4)$ и $(12; -6)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2; 4)$, $(12; -6)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{3} \\ x - 2y = 2 \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 2 + 2y$.

Подставим в первое уравнение:

$\frac{1}{y} - \frac{1}{2+2y} = \frac{1}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{2+2y-y}{y(2+2y)} = \frac{1}{3}$

$\frac{y+2}{2y^2+2y} = \frac{1}{3}$

По свойству пропорции:

$3(y+2) = 2y^2+2y$

$3y + 6 = 2y^2 + 2y$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$2y^2 - y - 6 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

Корни $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4}$.

$y_1 = \frac{1+7}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$y_2 = \frac{1-7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

1. При $y_1 = 2$, $x_1 = 2 + 2(2) = 6$.

2. При $y_2 = -\frac{3}{2}$, $x_2 = 2 + 2(-\frac{3}{2}) = 2 - 3 = -1$.

Получаем две пары решений: $(6; 2)$ и $(-1; -\frac{3}{2})$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(6; 2)$, $(-1; -1,5)$.