Номер 712, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 712, страница 169.

712. Не выполняя построения:

а) определите, пересекает ли парабола y = x² – 8x + 16 прямую 2x – 3y = 0 и если да, то в каких точках;

б) найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции y = 2x² + 9x – 5.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{l}y=x^2-8x+16\\ 2x-3y=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y={\left(x-4\right)}^2\\ 2x-3{\left(x-4\right)}^2=0\end{array}\right. \\ 2x-3\left(x^2-8x+16\right)=0 \\ 2x-3x^2+24x-48=0 \\ -3x^2+26x-48=0 \\ D=26^2-4·\left(-3\right)·\left(-48\right)=676-576=100 \\ x=\frac{-26\pm \sqrt{100}}{-6}, x=\frac{-26\pm 10}{-6} \\ {x}_1=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}; x_2=6 \end{gathered}$$

Если $x={\displaystyle \frac{8}{3}}x=\backslash frac\{8\}\{3\}$, то $y={\left(\frac{8}{3}-4\right)}^2={\left(\frac{8-12}{3}\right)}^2={\left(\frac{-4}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}=1\frac{7}{9},$

Если $x=6x=6$, то $y={\left(6-4\right)}^2=4$

Ответ: пересекает в точках $\left(2{\displaystyle \frac{2}{3}};1{\displaystyle \frac{7}{9}}\right)(2\; \backslash frac\{2\}\{3\};\; 1\; \backslash frac\{7\}\{9\})$, $\left(6;4\right)(6;4)$

б) $y=2x^2+9x-5y=2x^2+9x-5$

С осью x; y=0;

$$\begin{gathered} 2x^2+9x-5=0 \\ D=9^2-4·2·\left(-5\right)=81+40=121 \\ x=\frac{-9\pm \sqrt{121}}{4}; x=\frac{-9\pm 11}{4} \\ {x}_1=\frac{1}{2}; x_2=-5 \\ \left(\frac{1}{2};0\right) \text{и} (-5;0) \end{gathered}$$

С осью y: x=0;

$$\begin{gathered} y=2·0^2+9·0-5=-5y\; =\; 2\; \backslash cdot\; 0^2\; +\; 9\; \backslash cdot\; 0\; -\; 5\; =\; -5 \\ \left(0;-5\right)(0;-5) \end{gathered}$$

Ответ: $\left({\displaystyle \frac{1}{2}};0\right)(\backslash frac\{1\}\{2\};0)$, $\left(-5;0\right)(-5;0)$; $\left(0;-5\right)(0;-5)$

а)

Чтобы определить, пересекаются ли парабола $y = x^2 - 8x + 16$ и прямая $2x - 3y = 0$, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 - 8x + 16 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases} $

Сначала выразим $y$ из второго уравнения:

$3y = 2x$

$y = \frac{2}{3}x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$\frac{2}{3}x = x^2 - 8x + 16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение. Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

$2x = 3(x^2 - 8x + 16)$

$2x = 3x^2 - 24x + 48$

$3x^2 - 24x - 2x + 48 = 0$

$3x^2 - 26x + 48 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения, чтобы определить количество решений.

$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 48 = 676 - 576 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Найдем абсциссы ($x$) точек пересечения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{26 \pm 10}{6}$

$x_1 = \frac{26 + 10}{6} = \frac{36}{6} = 6$

$x_2 = \frac{26 - 10}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в уравнение прямой $y = \frac{2}{3}x$:

При $x_1 = 6$:

$y_1 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$

При $x_2 = \frac{8}{3}$:

$y_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{9}$

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(6, 4)$ и $(\frac{8}{3}, \frac{16}{9})$.

Ответ: Да, парабола и прямая пересекаются в двух точках: $(6, 4)$ и $(\frac{8}{3}, \frac{16}{9})$.

б)

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции $y = 2x^2 + 9x - 5$ с осями координат, нужно рассмотреть два случая.

1. Пересечение с осью ординат (осью Oy):

В точке пересечения с осью Oy абсцисса $x = 0$. Подставим это значение в уравнение функции:

$y = 2(0)^2 + 9(0) - 5 = -5$

Следовательно, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -5)$.

2. Пересечение с осью абсцисс (осью Ox):

В точках пересечения с осью Ox ордината $y = 0$. Подставим это значение в уравнение функции и решим полученное квадратное уравнение:

$2x^2 + 9x - 5 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm 11}{4}$

$x_1 = \frac{-9 + 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-9 - 11}{4} = \frac{-20}{4} = -5$

Следовательно, точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(\frac{1}{2}, 0)$ и $(-5, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, -5)$. Точки пересечения с осью Ox: $(\frac{1}{2}, 0)$ и $(-5, 0)$.