Номер 716, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 716, страница 169.

716. Построив схематически графики уравнений, выясните, сколько решений имеет система уравнений:

а) $\left\{\begin{array}{l}y=x^3\\ y=15x\end{array}\right.$

Ответ: 3 решения

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}xy=10 \\ y=x \\ \left\{\begin{array}{l}y=\frac{10}{x}\\ y=x\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: 2 решения

а) Для того чтобы выяснить, сколько решений имеет система уравнений, построим схематически графики функций $y = x^3$ и $y = 15x$ и найдем количество точек их пересечения.

График уравнения $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат (0,0) и расположенная в I и III координатных четвертях.

График уравнения $y = 15x$ — это прямая линия, которая также проходит через начало координат (0,0) и расположена в I и III координатных четвертях. Угловой коэффициент $k=15$ показывает, что прямая имеет большой наклон.

Поскольку оба графика проходят через точку (0,0), это одна из точек их пересечения. Чтобы найти другие точки пересечения, приравняем правые части уравнений:
$x^3 = 15x$
$x^3 - 15x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^2 - 15) = 0$
Это уравнение имеет три корня:
1) $x_1 = 0$
2) $x^2 - 15 = 0 \implies x^2 = 15 \implies x_2 = \sqrt{15}$
3) $x_3 = -\sqrt{15}$

Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$, следовательно, система имеет три решения. Графически это означает, что прямая $y=15x$ пересекает кубическую параболу $y=x^3$ в трех точках: в начале координат, в первой координатной четверти (при $x = \sqrt{15}$) и в третьей координатной четверти (при $x = -\sqrt{15}$).

Ответ: 3 решения.

б) Рассмотрим систему уравнений: $\begin{cases} xy = 10, \\ y = x. \end{cases}$
Для определения количества решений построим графики этих уравнений.

График уравнения $xy = 10$, или $y = \frac{10}{x}$, — это гипербола. Так как коэффициент $10 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

График уравнения $y = x$ — это прямая линия, являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей. Прямая проходит через начало координат.

Прямая $y=x$ проходит через те же четверти, что и ветви гиперболы $y=\frac{10}{x}$. Следовательно, прямая пересечет каждую ветвь гиперболы по одному разу. Одна точка пересечения будет в I четверти (где $x > 0$ и $y > 0$), а вторая — в III четверти (где $x < 0$ и $y < 0$).

Чтобы убедиться в этом, решим систему аналитически. Подставим $y=x$ в первое уравнение:
$x \cdot x = 10$
$x^2 = 10$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{10}$ и $x_2 = -\sqrt{10}$.
Соответствующие значения $y$ равны $y_1 = \sqrt{10}$ и $y_2 = -\sqrt{10}$.

Таким образом, система имеет два решения, что соответствует двум точкам пересечения графиков.

Ответ: 2 решения.