Номер 718, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 718, страница 169.

718. При каких значениях x:

а) трёхчлен –x² – 2x + 168 принимает положительные значения;

б) трёхчлен 15x² + x – 2 принимает отрицательные значения;

в) дробь x + 143 - 2x принимает отрицательные значения;

г) дробь 6 - 5xx + 25 принимает положительные значения?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}-x^2-2x+168=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·168=4+672=676 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{676}}{-2}; x=\frac{2\pm 26}{-2} \\ {x}_1=-14; x_2=12 \\ -x^2-2x+168=-\left(x+14\right)\left(x-12\right)>0 \end{gathered}$$

при

Это возможно при

$\left\{\begin{array}{l}x+14<0\\ x-12>0\end{array}\right.\text{или} \left\{\begin{array}{l}x+14>0\\ x-12<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<-14\\ x>12\end{array}\right.$- нет решений

или

$\left\{\begin{array}{l}x>-14\\ x<12\end{array}\right. -14<x<12$

Ответ: при трёхчлен принимает положительные значения

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}15x^2+x-2=0 \\ D=1^2-4·15·\left(-2\right)=1+120=121 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{121}}{30}; x=\frac{-1\pm 11}{30} \\ {x}_1=\frac{1}{3}; x_2=-\frac{12}{30}=-\frac{2}{5} \\ 15x^2+x-2=15\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{2}{5}\right)= \\ =3·5\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{2}{5}\right)=\left(3x-1\right)\left(5x+2\right)<0 \end{gathered}$$

$\begin{array}{cl}\text{при}& \left\{\begin{array}{l}3x-1<0\\ 5x+2>0\end{array}\right.\\ & \left\{\begin{array}{l}x<\frac{1}{3}\\ x>-\frac{2}{5}\end{array}\right.\end{array}$ $\begin{array}{cl}\text{или}& \left\{\begin{array}{l}3x-1>0\\ 5x+2<0\end{array}\right.\\ & \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{3}\\ x<-\frac{2}{5}\end{array}- \text{нет решений}\right.\end{array}$

Ответ: при трёхчлен принимает отрицательные значения

в)

$\begin{array}{clcl}\text{при}& \left\{\begin{array}{l}x+14>0\\ 3-2x<0\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{l}x+14<0\\ 3-2x>0\end{array}\right.\\ & \left\{\begin{array}{l}x>-14\\ x>\frac{3}{2}\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x<-14\\ x<\frac{3}{2}\end{array}\right.\end{array}$

Ответ: дробь принимает отрицательные значения при и при $x>1,5$

г) ${\displaystyle \frac{6-5x}{x+25}}>0\backslash frac\{6-5x\}\{x+25\}>0$

$\begin{array}{cl}\text{при}& \left\{\begin{array}{l}6-5x>0\\ x+25>0\end{array}\right.\\ & \left\{\begin{array}{l}x<1,2\\ x>-25\end{array}\right.\end{array}$$\begin{array}{cl}\text{или}& \left\{\begin{array}{l}6-5x<0\\ x+25<0\end{array}\right.\\ & \left\{\begin{array}{l}x>1,2\\ x<-25\end{array}\right.\text{ - нет решений}\end{array}$

Ответ: дробь принимает положительные значения при -25<x<1,2

а) Чтобы трёхчлен $-x^2 - 2x + 168$ принимал положительные значения, должно выполняться неравенство:

$-x^2 - 2x + 168 > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 2x - 168 < 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 2x - 168 = 0$, чтобы найти корни трёхчлена. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 26}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 26}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Мы решаем неравенство $x^2 + 2x - 168 < 0$. Графиком функции $y = x^2 + 2x - 168$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля). Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-14; 12)$.

Ответ: $x \in (-14; 12)$.

б) Чтобы трёхчлен $15x^2 + x - 2$ принимал отрицательные значения, должно выполняться неравенство:

$15x^2 + x - 2 < 0$

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $15x^2 + x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 1 + 120 = 121$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 15} = \frac{-1 - 11}{30} = \frac{-12}{30} = -\frac{2}{5}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 15} = \frac{-1 + 11}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

Графиком функции $y = 15x^2 + x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=15 > 0$). Значения функции будут отрицательными на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства есть интервал $(-\frac{2}{5}; \frac{1}{3})$.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{5}; \frac{1}{3})$.

в) Чтобы дробь $\frac{x+14}{3-2x}$ принимала отрицательные значения, должно выполняться неравенство:

$\frac{x+14}{3-2x} < 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого найдём значения $x$, при которых числитель и знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $x + 14 = 0 \Rightarrow x = -14$.

Нуль знаменателя: $3 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5$.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 1.5$.

Отметим точки $-14$ и $1.5$ на числовой оси. Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -14)$, $(-14; 1.5)$ и $(1.5; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале, выбрав в каждом по одной контрольной точке:

- При $x < -14$ (например, $x = -15$): $\frac{-15+14}{3-2(-15)} = \frac{-1}{33} < 0$. Этот интервал является решением.

- При $-14 < x < 1.5$ (например, $x = 0$): $\frac{0+14}{3-2(0)} = \frac{14}{3} > 0$. Этот интервал не является решением.

- При $x > 1.5$ (например, $x = 2$): $\frac{2+14}{3-2(2)} = \frac{16}{-1} < 0$. Этот интервал является решением.

Объединяя найденные интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -14) \cup (1.5; +\infty)$.

г) Чтобы дробь $\frac{6-5x}{x+25}$ принимала положительные значения, должно выполняться неравенство:

$\frac{6-5x}{x+25} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $6 - 5x = 0 \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{5} = 1.2$.

Нуль знаменателя: $x + 25 = 0 \Rightarrow x = -25$.

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq -25$.

Отметим точки $-25$ и $1.2$ на числовой оси, которые разбивают её на интервалы: $(-\infty; -25)$, $(-25; 1.2)$ и $(1.2; +\infty)$.

Определим знак дроби в каждом из интервалов:

- При $x < -25$ (например, $x = -30$): $\frac{6-5(-30)}{-30+25} = \frac{156}{-5} < 0$. Интервал не подходит.

- При $-25 < x < 1.2$ (например, $x = 0$): $\frac{6-5(0)}{0+25} = \frac{6}{25} > 0$. Интервал подходит.

- При $x > 1.2$ (например, $x = 2$): $\frac{6-5(2)}{2+25} = \frac{-4}{27} < 0$. Интервал не подходит.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-25; 1.2)$.

Ответ: $x \in (-25; 1.2)$.