Номер 713, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 713, страница 169.

713. Докажите, что прямая x – y = 4 имеет одну общую точку с параболой y = x² – 5x + 5, и найдите координаты этой общей точки.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-y=4\\ y=x^2-5x+5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x-4\\ x^2-5x+5=x-4\end{array}\right. \\ {x}^2-5x-x+5+4=0 \\ {x}^2-6x+9=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4·1·9=36-36=0 \\ x=\frac{6}{2}=3 \\ y=3-4=-1 \end{gathered}$$

Ответ: (3;-1)

Чтобы доказать, что прямая и парабола имеют одну общую точку, и найти ее координаты, необходимо решить систему уравнений, задающих эти кривые.

Система уравнений имеет вид:

$\begin{cases} y = x^2 - 5x + 5 \\ x - y = 4 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим y:

$y = x - 4$

Подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$x - 4 = x^2 - 5x + 5$

Теперь приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в одну сторону:

$x^2 - 5x - x + 5 + 4 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Количество общих точек прямой и параболы равно количеству действительных корней этого квадратного уравнения. Чтобы определить количество корней, найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения коэффициенты равны $a=1$, $b=-6$, $c=9$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

Поскольку дискриминант равен нулю ($D=0$), квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Это доказывает, что прямая и парабола имеют ровно одну общую точку (то есть прямая является касательной к параболе).

Теперь найдем координаты этой точки. Сначала решим уравнение $x^2 - 6x + 9 = 0$ для нахождения абсциссы точки. Это уравнение представляет собой полный квадрат:

$(x - 3)^2 = 0$

Отсюда получаем:

$x = 3$

Для нахождения ординаты y подставим значение $x=3$ в уравнение прямой $y = x - 4$:

$y = 3 - 4 = -1$

Таким образом, единственная общая точка прямой и параболы имеет координаты $(3, -1)$.

Ответ: Координаты общей точки: $(3, -1)$.