Номер 714, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 714, страница 169.

714. Докажите, что парабола y = 2x² – 5x + 1 и прямая 2x + y + 3 = 0 не пересекаются.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}y=2x^2-5x+1\\ 2x+y+3=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=-2x-3\\ 2x^2-5x+1=-2x-3\end{array}\right. \\ 2x^2-5x+1+2x+3=0 \\ 2x^2-3x+4=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·2·4=9-32=-23<0 \end{gathered}$$

Ответ: нет корней во втором уравнении системы. Значит, парабола и прямая не пересекаются.

Чтобы определить, пересекаются ли парабола и прямая, необходимо найти их общие точки. Координаты общих точек $(x, y)$ должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнений параболы и прямой:
$ \begin{cases} y = 2x^2 - 5x + 1 \\ 2x + y + 3 = 0 \end{cases} $

Проще всего решить эту систему методом подстановки. Выразим переменную y из второго уравнения (уравнения прямой):
$y = -2x - 3$

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение (уравнение параболы). Это позволит нам получить уравнение с одной переменной x, решения которого будут абсциссами точек пересечения:
$2x^2 - 5x + 1 = -2x - 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - 5x + 1 + 2x + 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + (-5x + 2x) + (1 + 3) = 0$
$2x^2 - 3x + 4 = 0$

Количество точек пересечения параболы и прямой равно количеству действительных корней полученного квадратного уравнения. Чтобы определить количество корней, вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.
В нашем уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = -3$, $c = 4$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$

Поскольку дискриминант $D = -23$ меньше нуля ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого действительного значения x, при котором парабола и прямая имели бы общую точку. Следовательно, графики данных функций не пересекаются.

Ответ: Дискриминант квадратного уравнения, полученного в результате приравнивания уравнений параболы и прямой, отрицателен ($D = -23$). Это означает, что система уравнений не имеет действительных решений, следовательно, парабола и прямая не пересекаются, что и требовалось доказать.