Номер 717, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 717, страница 169.

717. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}9x^2-100=0 \\ 9x^2=100 \\ {x}^2=\frac{100}{9} \\ \begin{array}{ccc}{x}_1=\frac{10}{3}& \text{или}& x_2=-\frac{10}{3}\\ x_1=3\frac{1}{3}& & x_2=-3\frac{1}{3}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $-3\frac{1}{3}; 3\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2=7c^2 \\ {c}^2=\frac{2}{7} \\ \begin{array}{ccc}c=\sqrt{\frac{2}{7}}& \text{или}& c=-\sqrt{\frac{2}{7}} \\ \\ c=\frac{\sqrt{14}}{7}& & c=-\frac{\sqrt{14}}{7}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{7}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{7}}\backslash frac\{\backslash sqrt\{14\}\}\{7\};\; -\backslash frac\{\backslash sqrt\{14\}\}\{7\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}9m^2-4=0 \\ 9m^2=4 \\ {m}^2=\frac{4}{9} \\ m=\frac{2}{3} \text{или} m=-\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $-{\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{2}{3}}-\backslash frac\{2\}\{3\};\; \backslash frac\{2\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-0,8y^2+3y=0 \\ y\left(-0,8y+3\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}y=0& \text{или}& -0,8y+3=0\\ & & -0,8y=-3\\ & & y=\frac{-3}{-0,8}\\ & & y=\frac{30}{8}\\ & & y=\frac{15}{4}\\ & & y=3\frac{3}{4}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $0; 3\frac{3}{4}$

а) $9x^2 - 100 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$. Для его решения перенесем свободный член (-100) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$9x^2 = 100$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 9:

$x^2 = \frac{100}{9}$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у квадратного корня из положительного числа есть два значения: положительное и отрицательное.

$x = \pm\sqrt{\frac{100}{9}}$

$x = \pm\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{9}}$

$x = \pm\frac{10}{3}$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = -\frac{10}{3}$ и $x_2 = \frac{10}{3}$. Их можно также записать в виде смешанных чисел: $-3\frac{1}{3}$ и $3\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{10}{3}; \frac{10}{3}$.

б) $2 = 7c^2$

Это также неполное квадратное уравнение. Для удобства поменяем части уравнения местами:

$7c^2 = 2$

Разделим обе части уравнения на 7, чтобы выразить $c^2$:

$c^2 = \frac{2}{7}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$c = \pm\sqrt{\frac{2}{7}}$

В математике принято избавляться от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби под корнем на 7:

$c = \pm\sqrt{\frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 7}} = \pm\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{49}} = \pm\frac{\sqrt{14}}{7}$

Корни уравнения: $c_1 = -\frac{\sqrt{14}}{7}$ и $c_2 = \frac{\sqrt{14}}{7}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{14}}{7}; \frac{\sqrt{14}}{7}$.

в) $9m^2 - 4 = 0$

Это уравнение решается аналогично пункту а). Перенесем -4 в правую часть:

$9m^2 = 4$

Разделим обе части на 9:

$m^2 = \frac{4}{9}$

Извлечем квадратный корень:

$m = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$

$m = \pm\frac{2}{3}$

Корни уравнения: $m_1 = -\frac{2}{3}$ и $m_2 = \frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}; \frac{2}{3}$.

г) $-0.8y^2 + 3y = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+bx=0$, в котором свободный член равен нулю. Такие уравнения решаются разложением на множители. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(-0.8y + 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $y_1 = 0$. Это первый корень.

2) $-0.8y + 3 = 0$. Решим это линейное уравнение.

$-0.8y = -3$

Умножим обе части на -1:

$0.8y = 3$

$y_2 = \frac{3}{0.8}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$y_2 = \frac{30}{8}$

Сократим полученную дробь на 4:

$y_2 = \frac{15}{4}$

Этот корень можно также записать в виде десятичной дроби $3.75$.

Ответ: $0; \frac{15}{4}$.